gdzie α jest ustalon¸ a liczb¸ a rzeczywist¸ a.

0.1 Funkcja pot¸ egowa

Definicja 1. Funkcj¸ a pot¸ egow¸ a nazywamy ka˙zd¸ a funkcj¸ e f postaci f (x) = x ^α ,

gdzie α jest ustalon¸ a liczb¸ a rzeczywist¸ a.

Dziedzina funkcji pot¸ egowej zale˙zy od parametru α. I tak np.:

• je˙zeli α ∈ N + , to D f = R,

• je˙zeli α ∈ Z, α ≤ 0, to D f = R \ {0},

• je˙zeli α = _n ¹ , gdzie n jest liczb¸ a naturalna parzyst¸ a, to D f = [0, +∞),

• je˙zeli α = − ¹ _n , gdzie n jest liczb¸ a naturaln¸ a parzyst¸ a, to D f = (0, +∞).

Uwaga 1. Dziedziny wszystkich funkcji pot¸ egowych zawieraj¸ a w sobie przedzia l (0, +∞).

Przyk lad 1. Narysuj wykres funkcji 1. f (x) = x ² ;

2. f (x) = x ³ ; 3. f (x) = ¹ _x ; 4. f (x) = _x ¹

; 5. f (x) = √

x;

6. f (x) = √

x.

0.2 Funkcja wyk ladnicza

Definicja 2. Funkcj¸ a wyk ladnicz¸ a nazywamy ka˙zd¸ a funkcj¸ e f postaci f (x) = a ^x ,

gdzie a jest ustalon¸ a liczb¸ a rzeczywist¸ a tak¸ a, ˙ze a > 0 i a 6= 1.

Naszkicujemy wykresy funkcji wyk ladniczej w dw´ och przypadkach 0 < a < 1 oraz a > 1. Z wykres´ ow mo˙zemy ju˙z odczyta´ c podstawowe w lasno´ sci funkcji wyk ladniczej:

1. D _f = R;

2. f (R) = (0, +∞);

3. funkcja wyk ladnicza nie posiada miejsc zerowych;

1

4. f (0) = a ⁰ = 1, a zatem wykres ka˙zdej funkcji wyk ladniczej przechodzi przez punkt (0, 1);

5. dla 0 < a < 1 funkcja wyk ladnicza o podstawie a jest malej¸ aca, za´ s dla a > 1 jest rosn¸ aca;

6. funkcja wyk ladnicza jest r´ o˙znowarto´ sciowa;

7. funkcja wyk ladnicza nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, nie jest okre- sowa.

Uwaga 2. Wa˙zn¸ a, ze wzgl¸ edu na rozliczne zastosowania, jest funkcja wyk ladnicza, kt´ orej podstaw¸ a jest liczba e. Warto´ s´ c przybli˙zona liczby e wynosi

e ∼ 2, 718281828459045.

Funkcj¸ e tak¸ a nazywamy funkcj¸ a eksponencjaln¸ a.

Przyk lad 2. Rozwi¸ a˙z r´ ownanie:

1. 27 ^3x−4 = ₂₇ ¹ ·  ^√

3 9

 6−5x

;

2. 8 ^x

^−x = ¹ ₂
−2x

−2x+6

. Przyk lad 3. Rozwi¸ a˙z nier´ owno´ s´ c:

1. ¹ ₄

≤ 4

;

2. 5 ^x − 3 ^x+1 > 2(5 ^x−1 − 3 ^x−2 ).

0.3 Logarytm

Logarytm

Definicja 3. Logarytmem dodatniej liczby x przy dodatniej i r´ o˙znej od jedno´ sci podstawie a nazywamy wyk ladnik y pot¸ egi, do kt´ orej nale˙zy podnie´ s´ c podstaw¸ e a, aby otrzyma´ c liczb¸ e x.

y = log _a x ⇔ a ^y = x, gdzie x > 0, a > 0, a 6= 1.

Przy stosownych za lo˙zeniach

• log _a (x · y) = log _a x + log _a y;

• log _a 

x y



= log _a x − log _a y;

• log _a (x ^r ) = r log _a x, gdzie r ∈ R;

• log _a x = ^log _log

^x

b

a .

2

Przyk lad 4. 1. Liczba log 5 + log 8 − 2 log 2 jest r´ owna A. 10 B. 2 C. 1 D. 0

Odp. C

2. Wiemy, ˙ze log ₂ a = √

2 i log ₂ b = − √

2. Liczb¸ a niewymiern¸ a jest liczba

A. log ₂ (ab) B. log ₂ ( √

2ab) C. ^log _log

^a

2

b D. log ₂ ^a _b . Odp. D

Przyk lad 5. 1. Dane s¸ a liczby x = log ₃ 9, y = log ₁₆ ¹ ₄ , z = log

5

25, t = log ₄ 2. Najmniejsz¸ a z tych liczb jest

A. x B. y C. z D. t Odp. C

2. Oblicz log ₃ (2 + log ₄ 0, 25).

Odp. 0

3. Oblicz x korzystaj¸ ac z w lasno´ sci logarytm´ ow log ₆ x = 2 log ₂ √

3 − log ₂ 12

Odp. x = ₃₆ ¹ .

0.4 Funkcja logarytmiczna

Definicja 4. Funkcj¸ a logarytmiczn¸ a nazywamy ka˙zd¸ a funkcj¸ e f postaci f (x) = log _a x,

gdzie a jest ustalon¸ a liczb¸ a rzeczywist¸ a tak¸ a, ˙ze a > 0 i a 6= 1.

Uwaga 3. Funkcja logarytmiczna o podstawie a jest funkcj¸ a odwrotn¸ a wzgl¸ edem funkcji wyk ladniczej o podstawie a. Zatem mo˙zemy, opieraj¸ ac si¸ e na wykresie funkcji wyk ladniczej, naszkicowa´ c wykresy funkcji logarytmicznych.

Podobnie jak w przypadku funkcji wyk ladniczej, z wykres´ ow mo˙zemy od- czyta´ c podstawowe w lasno´ sci funkcji logarytmicznej:

1. D f = (0, +∞);

2. f (D f ) = R;

3

3. jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest 1;

4. dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna o podstawie a jest malej¸ aca, za´ s dla a > 1 jest rosn¸ aca;

5. funkcja logarytmiczna jest r´ o˙znowarto´ sciowa;

6. funkcja logarytmiczna nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, nie jest okre- sowa.

Przyk lad 6. Rozwi¸ a˙z r´ ownanie 1. log

5

{5 log ₂ [1 + log ₉ (1 + 4 log ₃ x)]} = −1;

2. x ^{log x} = 100x.

Przyk lad 7. Rozwi¸ a˙z nier´ owno´ s´ c 1. log ₅ (3x − 4) < 1;

2. log(x − 2) + log(9 − x) < 1.

Funkcje elementarne

• wielomiany;

• funkcje wymierne;

• funkcja pot¸egowa;

• funkcje trygonometryczne sin, cos, tg, ctg;

• funkcje cyklometryczne;

• funkcje wyk ladnicza i logarytmiczna;

• wszystkie funkcje jakie mo˙zna otrzyma´ c z powy˙zszych funkcji za pomoc¸ a dzia la´ n arytmetycznych i operacji sk ladania.

4