Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
4. Metody estymacji
Ćw. 4.1 Dana jest próba prosta X1, . . . , Xn z rozkładu:
(a) P oiss(θ),
(b) jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N }, gdzie θ=N , (c) ujemnego wykładniczego E(a, λ) o gęstości
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0, gdzie θ = (a, λ).
Stosując metodę momentów, wyznacz estymator parametru θ.
Ćw. 4.2 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu:
(a) jednostajnego U (0, θ),
(b) normalnego N (µ, σ2), gdzie θ = (µ, σ).
Stosując metodę kwantyli, wyznacz estymator parametru θ.
Ćw. 4.3 Entomolog pobierał próbkę losową z dużej populacji pewnych owadów. Notował płeć chwytanych osobników i przerwał pobieranie próbki, gdy otrzymał M (M > 1) osobników męskich. Otrzymał próbkę o liczności x. Niech θ będzie frakcją osobników męskich w populacji. Wyznacz estymator największej wiarogodności parametru θ.
Ćw. 4.4 Dysponując próbą prostą X1, . . . , Xn, znajdź estymator największej wiarogod- ności (ENW) parametru θ dla rozkładu:
(a) geometrycznego G(p), gdzie θ = p oraz θ =√ p, (b) Weibulla W e(2, θ) o gęstości
f (x) = 2θ−2xe−(x/θ)21(0,∞)(x), θ > 0, (d) jednostajnego U (θ, θ + 1), θ ∈ R,
(e) Laplace’a Lapl(µ, λ) o gęstości
f (x) = λ
2e−λ|x−µ|, gdzie θ = (µ, λ).
Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
4’. Metody estymacji
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 4’.1 Mając daną próbę prostą X1, . . . , Xn z danego rozkładu, wyznacz estymator parametru θ dla:
(a) rozkładu geometrycznego G(θ), (b) rozkładu wykładniczego E (θ),
(c) θ=(α, λ) dla rozkładu gamma G(α, λ), α > 0, λ > 0, o gęstości f (x) = 1
λαΓ(α)xα−1e−x/λ1(0,∞)(x), stosując metodę momentów.
Zad. 4’.2 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu (a) o gęstości f (x) = θx−21[θ,∞)(x), θ > 0,
(b) Cauchy’ego o gęstości
f (x) = 1
πβ · 1
1 +
x−α β
2, gdzie θ = (α, β).
Stosując metodę kwantyli, wyznacz estymator parametru θ.
Zad. 4’.3 Dysponując próbą prostą X1, . . . , Xn, znajdź estymator największej wiarogod- ności (ENW) parametru θ dla rozkładu:
(a) dwumianowego B(m, p), gdzie θ = p2, (b) o gęstości f (x) = θx−21[θ,∞)(x), θ > 0,
(c) ujemnego wykładniczego E (a, λ) o gęstości
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0, gdzie θ = (a, λ).
Zad. 4’.4 (*) Mierzymy k razy ciężar każdego z n różnych obiektów. Niech Xi,j (i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n) będzie wynikiem i-tego pomiaru j-tego obiektu. Po- miary Xi,j, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, są niezależne o rozkładach normalnych N (µj, σ2). Skonstruuj ENW[(µ1, . . . , µn, σ2)].
