Zastosowanie całek podwójnych i potrójnych w matematyce

Zastosowanie całek podwójnych i potrójnych w matematyce

1. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

(i) f (x, y) = x, D =
(x, y) ∈^R2 : 0 x  1, 0  y √

1− x^2, (ii) f (x, y) = sin(x + y), D =
(x, y) ∈R² : 0 x, y  ^π₂^,

(iii) f (x, y, z) = xy²z³, U = [0, 1] × [0, 2] × [0, 3],

(iv) f (x, y, z) = x + y + z, U = {(x, y, z) ∈^R3 : 0 x  1, 0  y  x, 0  z  x + y} .

2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

(i) x + y = 3, x = 0, y = 0, (ii) x = y², x = 1,

(iii) y = cosx, y = sinx, x = −^π₄, x = ^π₄, (iv) xy = 1, y = x, y = 2x, (x, y > 0), (v) y =

|x|, y = x², (vi) x²+ y² = 2, y = x√

x,

(vii) x²+ (y − 2)² = 4, y = x (y  x).

3. Prostopadłościan, którego dolna podstaw_ a jest prostok_ at D położony na płaszczyźnie Oxy_

(i) i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ściety od góry powierzchni_ a z = 6 − x_ ²− y², (ii) i ograniczony prostymi x = c, x = d (c < d), y = e, y = f, (e < f ), został ściety od góry powierzchni_ a_ z = ^x_a²2 + ^y_b²₂.

Obliczyć (za pomoca całki podwójnej) obj_ etość powstałej bryły._

4. Obliczyć (za pomoca całki podwójnej) obj_ etość bryły ograniczonej powierzchniami:_ (i) z = 1 + x + y, x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1,

(ii) z = 4x² + 2y²+ 1, x + y − 3 = 0 i płaszczyznami układu współrzednych,_ (iii) z = a²− x², y = 2x, x + y = a, z = 0, y = 0,

(iv) y = x², z = x²+ y², y = 1, z = 0, (v) z = sin_2x^y π, z = 0, y = x, y = 0, x = π,

(vi) z = cosxcosy, z = 0, |x + y|  ¹₂π, |x − y|  ¹₂π, (vii) z = sinπxy, z = 0, xy = 1, y = x, y = 2x, x > 0, (viii) z = xy, x + y + z = 1, z = 0.

5. Stosujac zamian_ e zmiennych w całce podwójnej, obliczyć obj_ etość bryły ograniczonej powierzchniami:_ (i) z = 3x, x² + y²= 4, płaszczyznami Oxy i Oxz oraz leżacej nad płaszczyzn_ a Oxy,_

(ii) x + y + z = 10, x²+ y²= 4, x = 0, y = 0, z = 0,

(iii) z = aexp(−x²− y²), płaszczyzna Oxy i walcem x_ ²+ y² = R²,

(iv) płaszczyzna Oxy, walcem x_ ² + y²− ax = 0 i paraboloida obrotow_ a x_ ²+ y²− cz = 0, (v) x² + y²− 4z² = 0, x²+ y²− 8x = 0 i płaszczyzna Oxy,_

(vi) paraboloida obrotow_ a x_ ²+ y²+ Rz = R², R > 0, z = 0.

Arkusz 1

6. Obliczyć objetość tej cz_ eści elipsoidy_ ^x_a2²+^y_b2²+^z_c²₂ = 1, która jest ograniczona płaszczyznami współrzednych_ i płaszczyzna_ ^x_a+ ^y_b = 1.

7. Walec o równaniu x²+ y² = 2Rx wycina z połówki sfery o równaniu x²+ y²+ z² = R², z > 0 powierzchnie_ σ zwana oknem Vivianiego. Obliczyć obj_ etość bryły V zawartej mi_ edzy powierzchni_ a σ a płaszczyzn_ a z = 0._

8. Obliczyć (za pomoca całki potrójnej) obj_ etość zbioru w_ R³ ograniczonego powierzchniami:

(i) z = x²+ y², y = x², y = 1, z = 0, (ii) z² = xy, x²+ y² = a², gdzie a > 0, (iii) ^x_a²₂ +^y_b2² +^z_c²₂ = 1, gdzie a, b, c > 0, (iv) 2z = x²+ y², z =√

x²+ y²,

(v) 2z = 4 − x²− y², z = 2 − x − y, z = 0, y = 0, x = 0, (vi) 3x + 6y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0,

(vii) y = x², y + z = 4, x = 0, z = 0, (viii) x²+ y²+ z² = 9, z =√

x²+ y²,

(ix) x²+ y² = 9, x + y = 3, x + y = −3, x − y = 3, x − y = −3.

9. Prostopadłościan, którego podstawa na płaszczyźnie Oxy jest kwadrat o wierzchołkach A(1, 0), B(3, 1), C(2, 3),_ D(0, 2), rozcieto płaszczyzn_ a_ ¹₈x + ₄¹y +¹₂z = 1. Obliczyć objetość dolnej cz_ eści prostopadłościanu._

10. Przyjmujac płaszczyzn_ e Oxy za płaszczyzn_ e równika kuli x_ ² + y²+ z² = R² (R > 0), obliczyć objetość_ warstwy kulistej zawartej miedzy płaszczyznami dwóch równoleżników o szerokościach geograficznych φ_{ 1} i φ2, gdzie 0 < φ1 < φ2 < 90^◦.

Arkusz 2