Zastosowanie całek podwójnych i potrójnych w matematyce - miara na hiperpowierzchni
1. Obliczyć długość krzywej zadanej we współrzednych biegunowych r = g(θ), dla danej funkcji g : [α, β] → (0,∞) klasy C1.
2. Obliczyć długość krzywej danej równaniami parametrycznymi x = x(t), y = y(t), t ∈ (α, β) w R2 i x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ (α, β) w R3.
3. Obliczyć długośc łuku krzywej zadanej we współrzednych biegunowych: (i) r(θ) = a(cosθ + 1) (kardioida),
(ii) r2(θ) = 2a2cos(2θ) (lemniskata) (wsk. sprowadzić do całki eliptycznej), (iii) r = aekθ, θ ∈ (0, α), α ∈ (0, 2π) (spirala logarytmiczna),
(iv) r = aθ, 0 θ 2π (spirala Archimedesa), (v) r = asin3θ (rozeta trójkata, trójlistek).
4. Obliczyć długość:
(i) cykloidy x(t) = r(t− sint), y(t) = r(1 − cost), 0 t 2π,
(ii) łuku określonego równaniami: x(t) = a(cost + tsint), y(t) = a(sint− tcost), 0 t 2π, (iii) linii śrubowej φ(t) = (cost, sint, t), t∈ [0, a],
(iv) łuku x(t) = acost, y(t) = bsint, 0 t 2π, (v) asteroidy x(t) = acos3t, y(t) = bsin3t, 0 t 2π, (vi) liścia Kartezjusza x(t) = 1+t3at3, y(t) = 1+t3at23, t 0,
(vii) cisoidy Dioklesa x(ϕ) = 2rsin2ϕ, y(ϕ) = 2rsin2ϕtgϕ, 121π ϕ < 16π, (viii) prostej φ(t) = (t, t, t), t∈ [0, a].
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi z dwóch poprzednich zadań.
6. Obliczyć długość krzywej:
(i) x = 3t, y = 3t2, z = 2t3 łacz acej punkty (0, 0, 0) i (3, 3, 2), (ii) x = e−tcost, y = e−tsint, z = e−t, przy 0 < t < +∞.
7. Obliczyć długość łuku:
(i) paraboli y = x2p2, 0 x c,
(ii) linii łańcuchowej y = 12a(exa + e−xa ), 0 x c, (iii) prostej y = 2x, x∈ [−1, 0],
(iv) paraboli y = x2, x ∈ [0, a].
8. Obliczyć długość okregu S 1(0, 1) ∈ R2 o promieniu 1 oraz długość elipsy ax22 + yb22 = 1. (Wsk. W dru- gim przypadku sprowadzić do całki eliptycznej).
Arkusz 1
9. Obliczyć długość łuku paraboli f (x) = x2, |x| 1, przy nastepuj acym jej przedstawieniu: (i) y = x2, |x| 1,
(ii) x(t) = t, y(t) = t2, |t| 1,
(iii) x(t) = sint, y(t) = 1− cos2t, |t| π2, (iv) x(t) = 1− t, y(t) = t2− 2t + 1, 0 t 2.
10. Obliczyć pole hiperpowierzchi z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D (D jest rzutem hiperpowierzchni na płaszczyzne Oxy) oraz gdy hiperpowierzchnia zadana jest równaniami parametrycznymi x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
11. Obliczyć pole powierzchni walca o równaniu f (x, y) = √
R2− y2, znajdujacej si e powyżej prostok ata P = {(x, y) ∈R2 : 0 x h, |y| R}.
12. Obliczyć pole cześci powierzchni z = x − y 2 nad obszarem Ω ={(x, y) ∈R2 : 0 x y2, 0 y 1} .
13. Obliczyć pole powierzchni ograniczonej:
(i) parabola r(θ) = 1−cosθp , dla θ ∈ [π4,π2],
(ii) helikoida x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = hϕ, r ∈ (0, a), ϕ ∈ (0, 2π) (powierzchnia śrubowa),
(iii) x = (b + acosψ)cosϕ, y = (b + acosψ)sinϕ, z = asinψ, gdzie 0 < a b, ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2], ψ ∈ [ψ1, ψ2] (cześć torusa),
(iv) torusem.
14. Niech P (t) oznacza pole obszaru ograniczonego krzywa: R(θ), θ ∈ [ϕ(0), ϕ(t)], dla pewnej rosn acej funkcji ϕ : [0, t0]→ [0, 2π] oraz odcinkami łacz acymi punkt (0, 0) z punktami (ϕ(0), R(ϕ(0)), (ϕ(t), R(ϕ(t)). Wykazać, że P(t)≡ const, jeśli (R(ϕ(t)))2ϕ(t)≡ const.
15. Obliczyć pole powierzchni ograniczonej krzywa: (i) (x2+ y2)2 = 2ax3,
(ii) (x2+ y2)3 = a2(x4 + y4) , (iii) xa22 + y2b22 = xyc2,
(iv)xa22 + y2b22 = x2 + y2.
16. Obliczyć pole hiperpowierzchni:
(i) z(x, y) = x, x, y∈ [0, 1],
(ii) S2(0, 1) - sfera jednostkowa w R3, (iii) z = x2 + y2, x2+ y2 1,
(iv) x2+ y2 = 1, z ∈ [0, 1], ( walec),
(v) (x2+ y2+ z2)2 = 2xy, ( po zamianie na współrzedne sferyczne r = sin(ϕ) sin(θ)),
Arkusz 2
(vi) xa22 + yb22 +zc22 = 1, (vii) r(θ, ϕ)3 = sin(θ).
17. Obliczyć objetość zbioru ograniczonego powierzchni a:
(i) ((r1+ r2cos(θ))cos(ϕ), (r1+ r2cos(θ))sin(ϕ), r2sin(θ)) (r1 > r2 > 0 torus), (ii) r(θ, ϕ)3 = sin(θ).
18. Obliczyć pola części powierzchni z = f (x, y) odciętych podanycmi powierzchniami:
(i) f (x, y) = 8− 2x − 2y, x = 0, y = 0, z = 0, (ii) f (x, y) =√
x2+ y2, x2+ y2 = 2x, (iii) f (x, y) =√
16− x2− y2, z = 1, z = 2, (iv) f (x, y) = 12(x2+ y2) , x2+ y2 = 8, (v) f (x, y) = 1− x2− y2, z = 0, (vi) f (x, y) =√
x2+ y2, z = 1, z = 2.
Arkusz 3
