ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ 2
Maciej Burnecki
Spis treści
1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju 1
2 Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 2
3 Szeregi liczbowe 2
4 Szeregi potęgowe 2
5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych 3
6 Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych 3
7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 4
8 Ogólne własności całek podwójnych 4
9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych 4
10 Ogólne własności całek potrójnych 5
11 Współrzędne walcowe 5
12 Współrzędne sferyczne 6
13 Przekształcenie Laplace’a 6
14 Przekształcenie Fouriera 6
15 Przykładowe egzaminy 6
1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
1. Korzystając z kryterium porównawczego, zbadaj zbieżność całki (a)
∞
Z
1
2 + cos x
x32 dx, (b)
∞
Z
0
x2arc tg x
√1 + x7 dx, (c)
∞
Z
1
√ dx
x3+π2arc tg x2, (d)
∞
Z
2
cos2xπ x + sin x2 dx.
2. Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadaj zbieżność całki (a)
∞
Z
1
sin4 1
√8
x dx, (b)
∞
Z
1
2 − sinx1
√3
x2 dx, (c)
∞
Z
1
25x8− 9x2+ 3
x7− x2+ 1 dx, (d)
∞
Z
0
1000x
(2x+ 1)10 dx, (e)
∞
Z
1
ln 1 + 1x
x dx.
3. Zbadaj zbieżność całki (a)
∞
Z
1
√x sin1
x dx, (b)
∞
Z
1
ex1 − 1
√x dx.
4. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki (a)
∞
Z
0
3 cos(4x) − 2 sin x6
x2− x + 1 dx, (b)
∞
Z
0
x2− 5 arc tg x
√x5+ cos x + 1 dx, (c)
∞
Z
0
sin x x2 dx.
5. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:
(a)
∞
Z
−∞
dx
1 + x2, (b)
∞
Z
−∞
e−|x| dx, (c)
∞
Z
−∞
x sin x dx, (d)
∞
Z
−∞
x cos x dx.
2 Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
1. Dwoma sposobami, za pomocą kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbadaj zbieżność całki
π 2
Z
0
dx
cos x, (b)
1
Z
0
dx
sin (x4), (c)
1
Z
0
dx sin√
x.
2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki
π
Z
0
x sin1
x dx, (b)
1
Z
0
cos1x x arc tg x dx.
3. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:
1
Z
−1
dx x, (b)
1
Z
−1
dx x2, (c)
1
Z
−1
dx
√3
x2.
3 Szeregi liczbowe
1. Wykorzystując warunek konieczny zbieżności, wykaż rozbieżność szeregu (a)
∞
X
n=1
arc tg n arc cosn1, (b)
∞
X
n=2
n
1 − n
n .
2. Korzystając z kryterium d’Alemberta, zbadaj zbieżność szeregu (a)
∞
X
n=2
(−1)n n10 10n, (b)
∞
X
n=1
(−1)n (2n)!
6n(n!)2, (c)
∞
X
n=1
n sin 1 3n. 3. Korzystając z kryterium Cauchy’ego, zbadaj zbieżność szeregu
(a)
∞
X
n=1
(−1)n
(arctg(2n+ 1))n, (b)
∞
X
n=1
−3n+ 7n 2n+ 5n . 4. Zbadaj zbieżność szeregu
(a)
∞
X
n=1
(−1)n
√n
2 n , (b)
∞
X
n=1
cos(nπ) tg 1 n , (c)
∞
X
n=1
n
n + 1
n2
2n, (d)
∞
X
n=1
n! (−2)n πn , (e)
∞
X
n=1
1 5n
n + 2 n
n2 .
4 Szeregi potęgowe
1. Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego (a)
∞
X
n=1
(x + 2)n 2n , (b)
∞
X
n=1
n
6n xn, (c)
∞
X
n=1
(6 − 2x)n
√n + 1 , (d)
∞
X
n=1
(−4x − 8)n n 8n , (e)
∞
X
n=1
n(2 − 4x)n.
2. Dla zadanej funkcji f wyznacz szereg Maclaurina, przedział jego zbieżności oraz wzór na n-ty współczynnik w tym rozwinięciu, jeśli
(a) f (x) = 4x
x − 4, (b) f (x) = 2x
16 + x4, (c) f (x) = x3ln
1 −1
4x2
, (d) f (x) = x2e−5x3. 3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych, oblicz
(a) f(4)(0) dla f (x) = x2cos(2x), (b) f(12)(0) dla f (x) = x2sin(3x), (c) f(5)(0) dla f (x) = x3 1 + 4x . 4. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz sumę
(a)
∞
X
n=0
3n + 4 3n , (b)
∞
X
n=1
n2n 3n , (c)
∞
X
n=0
(−1)n
(n + 2)5n, (d)
∞
X
n=1
1 n(n + 3)2n.
5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. Niech x, y, z oznaczają zmienne rzeczywiste. Wyznacz dziedzinę D naturalną funkcji f , opisz zadaną poziomicę oraz określ kształt pozostałych poziomic, jeśli
(a) f (x, y) = e1/(x2+y2−3), poziomica f (x, y) = e, (b) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2
x2+ y2+ z2− 0, 5, poziomica f (x, y, z) = 2.
2. Zbadaj istnienie i ewentualnie oblicz lim
(x,y,z)→(0,0,0)
2 −p
4 − x2− y2− z2 x2+ y2+ z2 . 3. Wyznacz zbiór A punktów ciągłości funkcji f : Rn → R, określonej wzorami
(a) f (x, y) =
( xy, gdy y ¬ x2
2x3− 1, gdy x2< y, (b) f (x, y) =
( arc tg(xy), gdy |xy| < 1
x, gdy 1 ¬ |xy|,
(c) f (x, y) =
( cos(x − y), gdy |x − y| < π4
y, gdy π4 ¬ |x − y|, (d) f (x, y, z) =
( z−7
x2+y2+z2−25, gdy x2+ y2+ z26= 25
1
2, gdy x2+ y2+ z2= 25.
6 Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji f (x, y) = sin(xy3) + x
√y w punkcie (π, 1).
2. Dla funkcji f (x, y, z) = x2ln(y + 2z) oblicz ∂4f
∂x2∂z∂y(7, 1, 0).
3. Sprawdź, czy spełniony jest warunek wystarczający dla istnienia płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P0= (x0, y0, z0), a następnie wyznacz równanie tej płaszczyzny, jeśli
(a) f (x, y) = tg2(x + y2), (x0, y0) =
0,
√π 2
, (b) f (x, y) = ln(x + y2), (x0, y0) = (0, e),
(c) f (x, y) = ln y
arc cos x, (x0, y0) = 1 2,√
e
, (d) f (x, y) = 3y−4x, (x0, y0) = (1, 4),
(e) f (x, y) = 4 arc tg 2xy2 , (x0, y0) = 1 4,√
2
.
4. Wyznacz kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P0, jeśli (a) f (x, y) = 2x−y, P0=
1 ln 4, 1
ln 2
, (b) f (x, y, z) = sin (x√
y) + arc tg z, P0= π 4,16
9 , 1
. 5. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P0 i w kierunku wektora v, jeśli
(a) f (x, y) = x sin (y2+ x3), P0= −√3
π, 0 , v = 1 π,
r 1 − 1
π2
! ,
(b) f (x, y, z) = x sin(y + z), P0= 1,π
4,π 4
, v =
1, −1,√ 2
.
6. Za pomocą różniczki funkcji dwóch zmiennych podaj przybliżoną wartość wyrażenia (a)p
1, 002 · 0, 9994, (b) arc tg0, 01 + 0, 072 1 − 0, 0007 .
7. Oszacuj, o ile mogliśmy się pomylić obliczając pole powierzchni całkowitej ścian prostopadłościanu, jeśli krawędzie mierzyliśmy z dokładnością 0,1 mm i otrzymaliśmy wyniki 10.0 mm, 20.0 mm, 30.0 mm.
7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji
(a) f (x, y) = −4x3− 3xy2+ 12xy, (b) f (x, y) = (x2+ 2y2) e−y, (c∗) f (x, y) = x2− 2y3+ 3y2 e−x, (d∗) f (x, y) = xn+ yn− nxy, gdzie n 2 jest ustaloną liczbą naturalną.
2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D, jeśli
(a) f (x, y) = y2x + 2yx + x2− 2x, D = [1, 2] × [−2, 0], (b) f (x, y) = (x + y2)√
ex, D = [−3, −1] × [−1, 1], (c) f (x, y) = x2− x + y2+1
4, D = {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ¬ 1}, (d) f (x, y) = 3(x − 2)y, D = {(x, y) ∈ R2: x2− 4x + y2¬ 0}.
3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) przy warunku g(x, y) = 0, jeśli
(a) f (x, y) = 2x2− y2, g(x, y) = x − y − 1, (b) f (x, y) = x2− ln x4y2 , g(x, y) = xy − 1.
8 Ogólne własności całek podwójnych
1. Zmień kolejność całkowania w całce iterowanej (a)
2
Z
1
dy
y2
Z
2−y
f (x, y) dx, (b)
1
Z
−1
dx
x2
Z
−x2
f (x, y) dy. Sporządź
rysunek.
2. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach
(a) y2= −5x, y = −x, (b) y = −1, y2= 4x, xy = −2, (c) xy = 10, x + y + 7 = 0, (d) y = ex−1, y = 1 x, x = 2, (e) y = sin x, y = 2
π|x|, (f) y = 3x, y = 2x + 1, (g) y = ex, y = (e − 1)x + 1.
Sporządź rysunek.
3. Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej σ, jeśli (a) D =n
(x, y) ∈ R2: −π
3 ¬ x ¬ −π
4, sin x ¬ y ¬ 0o
, σ(x, y) = −x, (b) D jest ograniczony przez krzywe xy = 3, x + y − 4 = 0, a σ(x, y) = y.
Na płaszczyźnie zaznacz obszar D.
9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych
1. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz
(a) Z Z
D
y dxdy, jeśli D = {(x, y) ∈ R2: y ¬
√ 3
3 x, x2+ y2¬ 9}, (b)
Z Z
D
3x2+y2 dx dy, jeśli D =(x, y) ∈ R2: x 0, y ¬ 0, x2+ y2¬ 4 ,
(c) Z Z
D
x2+ y2
dx dy, jeśli D =n
(x, y) ∈ R2:√
3 x ¬ y ¬ 0, x2+ y2¬ 4o .
Obszar D zaznacz na płaszczyźnie.
2. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz masę obszaru D ⊆ R2 o gęstości powierzchniowej σ(x, y), jeśli D jest ograniczony krzywymi
(a) y = 0, y =√
3 x, x =p
1 − y2, x =p
9 − y2, a σ(x, y) =p
x2+ y2, (b) x = 0, y = −
√3
3 x, y = −p
4 − x2, y = −p
16 − y2, a σ(x, y) = x2+ y2, (c) x = 0, y =√
3 x, y =p
4 − x2, a σ(x, y) = x.
Obszar D zaznacz na płaszczyźnie.
10 Ogólne własności całek potrójnych
1. Zmień kolejność całkowania na dzdydx oraz dzdxdy w całce
(a)
2
Z
0
dx
0
Z
−2+x
dy
4−2x+2y
Z
0
f (x, y, z) dz, (b)
0
Z
−2
dx
2+x
Z
0
dy
3+32x−32y
Z
0
f (x, y, z) dz,
(c)
1
Z
0
dy
4−4y
Z
0
dz
1−y−14z
Z
0
f (x, y, z) dx, (d)
4
Z
0
dy
4−y
Z
0
dz
0
Z
−1+14y+14z
f (x, y, z) dx.
Sporządź rysunek obszaru całkowania.
2. Oblicz objętość obszaru w przestrzeni, ograniczonego przez powierzchnie
(a) z = 2, z = 8, x = 5 − y2, x = 3 + y2, (b) x = 0, y = 2, y = 2x, x + y + z = 0, 2x + y − z = 0.
Sporządź rysunek.
11 Współrzędne walcowe
1. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość obszaru U ⊆ R3, ograniczonego powierzchniami (a) x2+ y2− z = 0,p
x2+ y2− z + 2 = 0, (b) x2+ y2+ z = 0,p
x2+ y2− z − 6 = 0.
Sporządź rysunek.
2. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, o gęstości objętościowej masy γ, jeśli
(a) γ(x, y, z) =p
x2+ y2, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach 5p
x2+ y2+ z = 0, z + 5 = 0,
(b) γ(x, y, z) = x2+ y2, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach x2+ y2− z + 1 = 0, 2x2+ 2y2− z = 0.
Sporządź rysunek.
12 Współrzędne sferyczne
1. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość obszaru U ⊆ R3, ograniczonego powierzchniami (a)√
3 z −p
x2+ y2= 0, z −p
9 − x2− y2= 0, (b)p
x2+ y2− z = 0,p
9 − x2− y2− z = 0,p
4 − x2− y2− z = 0.
Naszkicuj obszar całkowania.
2. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz masę kuli K =
(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2¬ 1 4
, o gęstości objętościowej masy γ(x, y, z) = z +1
2.
3. Oblicz masę obszaru U ⊆ R3, wyciętego z pierścienia kulistego P = {(x, y, z) ∈ R3: 1 ¬ x2+ y2+ z2¬ 4} przez stożek S = {(x, y, z) ∈ R3: z =√
3p
x2+ y2}, jeśli gęstość objętościowa masy γ(x, y, z) = 5 x2+ y2+ z2.
13 Przekształcenie Laplace’a
1. Niech a > 0. Wyznacz transformatę Laplace’a funkcji
(a) f (t) =
1 dla 0 ¬ t < a
0 dla a ¬ t, (b) f (t) =
t dla 0 ¬ t < a
0 dla a ¬ t, (c) f (t) =
t dla 0 ¬ t < a
−t + 2a dla a ¬ t < 2a 0 dla 2a ¬ t.
2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y0+ 5y = −10t, y(0) = 2
5, (b) y0+ 7y = −14t, y(0) = 2 7, (c) y00+ y0− 2y = 4e2t, y(0) = 0, y0(0) = 1, (d)
x0 = 3x + y y0= −x + y,
x(0) = 0 y(0) = 1.
Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace’a L tneαt (s) = n!
(s − α)n+1, w tym L eαt (s) = 1
s − α, L (tn) (s) = n!
sn+1, L(1)(s) = 1 s.
14 Przekształcenie Fouriera
1. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Fouriera funkcji (a) f (t) =
1 dla 0 ¬ t ¬ 1
0 dla pozostałych t ∈ R, (b) f (t) =
1 gdy |t| ¬ 1
0 dla pozostałych t ∈ R.
15 Przykładowe egzaminy
Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.
Zestaw A
1. Wyznacz środek x0 i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgowego
∞
X
n=1
7n(3x + 1)n.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = sin(2x − y) w punkcie (x0, y0, z0) =
π,π
3, f (x0, y0) .
3. Sprawdź, czy funkcja f (x, y) = x4+ y4+ 4x − 32y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (−1, 2);
w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
2
Z
1
dy
0
Z
− ln y
f (x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach x2+ y2− 2z = 0, z = 2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2.
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Laplace’a funkcji f : [0, ∞) → R, określonej wzorami f (t) =
1 dla 1 ¬ t < 2 0 dla pozostałych t.
Zestaw B
1. Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n=1
n2+ n + 1 n4+ 1 .
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = tg(−x + 2y) w punkcie (x0, y0) =π 6,π
6
i w kierunku wersora
~v = √2
2 , −
√2 2
! .
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = x3+ x + y na trójkącie D ⊆ R2, wyznaczonym przez proste o równaniach x = 0, y = 0, y = −x + 1.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
1
Z
0
dy
arc sin y
Z
0
f (x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z =p
4 − x2− y2, z =p
x2+ y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2+ y2+ z2.
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Laplace’a funkcji f : [0, ∞) → R, określonej wzorami f (t) =
et dla 1 ¬ t < 3 0 dla pozostałych t.
