Seria: M E C H A N I K A z. 91 Nr kol. 1026
XIII M I Ę D Z Y N A R O D O W E K O L O K W I U M
“MODELE W P R O J E K T O W A N I U I K O N S T R U O W A N I U MASZYN"
13th I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E ON
"MODELS IN D E S I G N I N G A N D C O N S T R U C T I O N S OF MACHINES"
25-28.04.1989 Z A K O P A N E
Andrzej KOSIOR
Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechnika Warszawska
BADANIE WPŁYWU PARAMETRÓW MODELI ZAWIERAJ4CYCH ZESTAW BELEK NA TŁUMIENIE DRGAŃ UKŁADU Z TARCIEM KONSTRUKCYJNYM
Streszczenie. W pracy porównano własności tłumiące drga
nia układu' zawierającego model połączenia zestawu dwóch belek, z układem zawierającym model połączenia zestawu trzech belek. Przy uwzględnieniu tarcia konstrukcyjnego wyznaczono zależności opisujące siły sprężysto-tłumiące dla zestawu dwóch i zestawu trzech belek poddanych zgi
naniu, w postaci pętli histerezy. Wyznaczono dekrement tłumienia drgań tych układów, w funkcji amplitudy drgań.
1, Wprowadzenie
Jednym z naturalnych rodzajów rozpraszania energii i tłumie
nia d r g a ń jest tłumienie drgań w tzw.*połączeniach nierozłącz
nych, j a k p o ł ą c z e n i a nitowe, śrubowe itp., zwane tarciem kon
strukcyjnym [1, 2, 3
) .
Badania z a g a d n i e ń tarcia konstrukcyjnego Odnoszą się do u- proszczonycb fizycznych modeli połączeń i przeprowadza się je przy założeniach:
- materiał elementów połączenia jest doskonale sprężysty (prawo Hooke'a ),
- intensywność sił tarcia na powierzchni wzajemnego pośliz
gu elementów łączonych opisuje się prawem Coulomba.
100 A. K o s i o r
Pomimo przyjęcia założeń upraszczających, przy analizie układów z tarciem konstrukcyjnym uzyskano szereg wyników potwierdzonych doświadczalnie [1J .
Jednym z modeli połączeń tzw. nierozłącznych jest model zes
tawu belek dociśniętych do siebie stałym naciskiem jednostkowym, poddany obciążeniu zginającemu,
2. Układ zawierający zestaw dwóch belek
Na rys, 1 przedstawiono model fizyczny układu dynamicznego zawierającego zestaw dwóch belek.
A- A
Rys. 1, Model fizyczny układu z zestawem dwóch belek Obciążenie zewnętrzne F(t) f oddziałujef na ciało o masie m, powodując zginanie zestawu belek i powstawanie jednostkowych sił tarcia q pomiędzy belkami zaciśniętymi stałym dociskiem jednostkowym p. Dla zakresu obciążenia zewnętrznego F(t), przy którym jednostkowe siły tarcia są mniejsze od granicznej war
tości jednostkowych sił tarcia rozwiniętego q , tzn. dla:
(1) obydwie belki zginają się bez poślizgu względnego. Przy wzroś
cie obciążenia zewnętrznego F(t) do wartości, przy której jed
nostkowe siły tarcia q osiągną wartość q , tzn. dla:
q = qQ = p/xb (2)
gdzie: p - docisk jednostkowy, - współczynnik tarcia, b - _ szerokość zestawu belek,
nastąpi poślizg belek po sobie jednocześnie na całej długości połączenia.
Zależność obciążenie-przemieszczenie, przedstawiająca sprężysto- -tarciowe własności połączenia, została nazwana histereźą kon
strukcyjną. W pracy C1J wyznaczono pętlę histerezy dla zestawu dwóch belek poddanych zginaniu, w posxtaci u = u (P), V celu zbudowania modelu matematycznego układu przedstawionego na rys.
1 W p O S ^ 3 C i •
mu + P(u,u) = F(t) (3 ) gdzie: m - masa ciała, P(u,u) - siła opisująca własności sprę-
żysto-tłumiące zestawu belek, F ( t ) - obciążenie zewnę
trzne, u - przemieszczenie,
dokonano przekształcenia zależności_opisujących pętlę histerezy z postaci u » u(p) do postaci P(u,u).
Rys. 2 przedstawia pętlę histerezy połączenia zestawu dwóch belek.
Rys. 2. Histereza konstrukcyjna zestawu dwóch belek Zależności opisujące pętlę histerezy w postaci P(u,u) dla zes
tawu belek, w punkcie odległym o 1 od miejsca zamocowania belek do układu odniesienia, tzn. w miejscu połączenia z ciałem o ma
sie m - rys. 1 - mają postać:
- etap 1
P(u,u) - k.|U (4)
dla zakresu przemieszczeń
0 £ u 4 u ^ (5)
- etap 2
P(u,u) = k1 [ p> u + (1- ] (6) dla zakresu przemieszczeń
u1x ^ u uN (7)
- etapy 3 i 5
p(u,u) = k1 [ u - (1 - p )(u.,xsgn u + uN)] (8 ) dla zakresu przemieszczeń
uN sgn u 4 u sgn ¿¿-(u^gn u + 2 u1x) (9) - etapy 4 i 6
P(u,u) - ^ [ p u + (1-p)u1x sgn u} (10) dla zakresu przemieszczeń
(u^sgn u + 2 u1x) 4 u sgn u uN+1 sgn u (1 1 ) gdzie: uN, uN+1 - kolejne amplitudy przemieszczenia
102 A. K o s i o r
^ o h
* r
24EI“p
k2
* 7 (12)
1 - długość zestawu belek, h - wysokość jednej belki, k. - współ
czynnik sztywności zestawu dwu belek zginanych bez poślizgu względnego, kg - współczynnik sztywności zestawu dwu belek zgi
nanych ęodczas ślizgania się belek po sobie, p - współczynnik sztywności, I - geometryczny moment bezwładności jednej belki, E - moduł Younjja, u,* - przemieszczenie końca belek, przy którym zaczyna się poślizg belek po sobie, q - jednostkowa siła tarcia.
Dla przedstawienia Intensywności tłumienia drgań układu pokaza
nego na rys. 1 , rozpatrzono jego drgania swobodne opisane równa
niem:
mii + P(u,u) = 0 (13)
i wyznaczono dekrement tłumienia drgań z zależności:
<§ = 1 - N+1 UN gdzie:
(14) N+1 - jest stosunkiem kolejnych amplitud drgań odległych
od siebie o pół okresu.
3. Układ zawierający zestaw trzech belek
Na rys. 3 przedstawiono model fizyczny układu dynamicznego zawierającego zestaw trzech belek o niejednakowej długości.
A - A
W
Rys. 3. Model fizyczny układu z zestawem trzech belek W pracy [1] została wyznaczona histereza konstrukcyjna dla zestawu trzech i pięciu belek o jednakowej długości w postaci u = u(P). W pracy [21 wyznaczono histerezę konstrukcyjną dla zestawu pięciu belek, o skokowo zmniejszającej się długości dol
nych belek. Postępując podobnie jak w pracach (1,2] , wyznaczo
no zależność obciążenia w funkcji przemieszczenia w poszczególnych etapach ruchu. Zależności te w postaci uogólnio
nej przedstawiono w pracy CA 1 . Otrzymana pętla histerezy ma kształt ośmioboku jak na rys. A,
Dla oceny intensywności tłumienia drgań układu przedstawio
nego na rys. 3, rozpatrzono jego drgania swobodne. Wyznaczono dekrement tłumienia drgań.
Rys. 4. Histereza konstrukcyjna dla zestawu trzech belek
b, Wyniki obliczeń dekrementu tłumienia i wnioski
Na rys. 5 przedstawiono dekrement tłumienia drgań układu za
wierającego zestaw dwóch belek w funkcji amplitudy. Zmiana war
tości jednostkowej siły tarcia,np. poprzez zmianę docisku jed-^
nostkowego p, powoduje zmianę odkształcenia u. według zależnoś
ci (12). „ -•»
Dwukrotny wzrost wartości odkształcenia z wartości u. =1-10 do wartości u.x = 2 • 10 m spowodował, że wzrosła intensywność tłumienia drgań dla amplitud uN > 5 * 10"'’ m. Maksymalna wartość dekrementu tłumienia w obydwu przypadkach jest taka sama i wy
nosi ~ 0,85 dla amplitud uN = 4 u^ .
u* » 2 -Hf 3
Rys. 5. Dekrement tłumienia drgań układów z zestawem dwóch i trzech belek
Na rys. 5 przedstawiono także dekrement tłumienia drgań u- kładu zawierającego zestaw trzech belek w funkcji amplitudy.
Maksymalna wartość dekrementu tłumienia dla tego układu występu
je dla amplitud uM = 7u1x i wynosi ~ 0,96 i jest większa od ma
ksymalnej wartości dla układu zawierającego zestaw dwu belek.
Większa jest intensywność tłumienia drgań dla uN > 4u_. . Z po
równania własności tłumiących układu zawierającego zestaw dwu
104 A. K o s i o r
belek z układem zawierającym zestaw trzech belek wynika, że pra
wie w całym zakresie amplitud zestaw trzech belek lepiej tłumi drgania;
LITERATURA
r i } ! H.G. KALININ i inni: Konstrukcjónnoje detnpfirowani je w niepodwiżnych sojedinienijach, Riga, 1960.
Í2J H.G. KALININ: Konstrukcjonnoje detnpfirowanije w mnogosłoj- noj balkie pieremennogo sieczehija. Woprosy dinamiki i procznosti VIII, Riga, 1962.
[3] Z. OSIŃSKI: Tłumienie drgań mechanicznych, PWN, Warszawa, 1979.
C4l A. KOSIOR: Drgania układu z resorem o zmiennej długości piór przy wymuszeniu przypadkowym. Materiały II Konferencji
"Metody i środki projektowania automatycznego", Warszawa 1979.
HCCJIEnOBAHHE B R H S H H 3 ilAPAMETPOB MODEJ1H COflEPXAKMHX C O C T A B BAJIOK H A HEMII4H P O B A H H E KO/lEEAHHtf C H C T E M A C K O H CTPY KUOHHb I M T P E H H E M
P e 3 » m e
B p a S o T e cpa BH e Ho c o 6 c T B e H H O c T H H e nn p o B a H H S tcone6aHHft C H C T e M a conepaaiomeBO none n i c o e n H H H e H H S c o c T a B a HByx 6anoe h C H C Tena conepaaiaweBO n o n e n i c o e H H H H e H w a c o c T a B a T p e x 6anoK. O n p e a e n e H O ea BHCHHOCTH c a n ynpyro-n©Mn<J>Hpyiomnx nna c o c T a B a HByx h c o c T a s a T p e x 6anoK np« n o n e p e i H o n Horn6e,B B H « e nerrm m c T e p e o H c a . O n p e a e n e H O n e K p e M e H T neMri4>npoBaHHa iconeSaHHft othx CHCTe M O B B 4>yHKUHH a w n n H T y n w xone6aHHa.
INVESTIGATION OF INFLUENCE OF PARAMETERS OF THE MODEL WHICH IS CONCISTED OF A SET OF BEAMS ON DAMPING OF VIBRATIONS OF THE SYSTEM WITH STRUCTURAL FRICTION
S u m m a r y
In this work properties of damping vibrations two-beam model of system were compared with three-beam model of system. Taking structural friction into account dependences were determined, describing as a histeresis loop elasto-damping forces for two- -beam model and three-beam model during the bending. On the ground of those results the decrement of damping vibrations was determined.
Recenzent: doc. dr hab. inż. E. Świtoński
W p ł y n ę ł o do Redakcji 2 9 . X I I . 1988 r.
