Technische Systemen

Rapportnr. 768-K

Juni 1998 Dr.ir. J.A. Keuning mt500

wbm 107

Technische systemen

Rapportnr. 768K

Juni 1993 Ir. J.A. Keuning

TF1..JDe1ft

Faculteit der Werktuigbouwkunde en Vakgroep Schcepshydrpmechanica

INHOUDSOPGAVE

bIz 1. Evenwicht en Stabiliteit 3 Hydrcstatica 9 Beschrijving geometrie 17 4... Nurnerieke integratie 21 Stabiliteit 33 Weerstand 51

7, Comparologie in de Maritieme. Technik 74

1. EVENWICHT EN STABIL1TEIT

Zoa1 in het eerste gedeelte over krachten en momenten reeds aan de Orde is gesteld werken op een lichaain meestal meerdere krachten tegelijkertijd. We _{zeggen dat het}

lichaam onderhevig is aan een stelsel krachten.

Het lichaam bevindt zich in een evenwichtssituatie indien bij het samnstellen van alle in het spel zijnde krachten en momenten er geen resulterende kracht of moment over-blijft.

De evenwjchtssjtuatje kan zich kenmerken door twee toestanden: die waarin het lichaam

in rust is en in rust blijft en die waarbij het lichaam _{een constante sneiheid heeft en}

houdt.

Immers volgens de wet van Newton is:

kracht = massa

* versnel:1ing

Dat impliceert dat als er geen resulterende kracht (of moment) is er ook geen versnel-ling is. Geen versnelversnel-ling betekent geen verandering in sneiheid ook niet als die snetheid

gelijk aan nul is.

Verkeert het lichaain in rust dan spreken we van een statisch evenwicht.

Het kan echter ook zo zijn dat het Iichaam beweegt mar doordat er geen resulterende'

kracht of moment op het lichaain meer werkt wordt het niet verder versneld, noch in translatie noch in rotatie, zodat het zich met constante sneIheidblijft bewegen. In dat geval spreken we van een stationair evenwicht.

De noodzakelijke voorwaardenvooreen evenwicht kunnen derhalvesamengevat worden.

als:

EM=O

0

z

geen resulterende kracht in x richting. geen resulterende kracht in y richting. geen resulterende kracht in z richting.

gëen resulterend moment om d x as.

geen resulterend moment om de y as. geen resulterend moment om de z as.

x

In het afleiden van formules in de natuurkunde zowel als in de praktijk van het dãgelijks gebeuren, bijvoorbeeld bij het vervaardigen en beoordelen van allerlei constructies en het berekenen ervan, spelen evenwichtsbeschouwingen een belangrijke rot.

In vele praktische gevallen is het een vereiste dat een brug, gebouw constructie,

machine onderdeel etc.. intakt en/of in rust blijft onder invloed van een aangenomen

belasting en de eisen zoals geforniuleerd ten aanzien van het evenwicht verschaffen dan de hulpmiddelen om een iwantitatieve beschouwing te geven over de optredende krach-ten, momenkrach-ten, spanningen, drukken etc.

Met enkeleeenvoudige voorbeelden zullen weeen aantalevenwichtssituaties toelichten:

Voorbeeld 1

&n blok met een massa van 10 kg staat op een horizontaal viak. De kracht op het blok ten gevolge van de zwaartekracht versneUing (g =10 mis2) gaat met zijn werklijn door het massazwaartepunt (per defmitie), wijst vertikaal naar beneden en is 100 N groot.

R = 100 N

G= 100 N

De reactiekracht uitgeoefend door het onvervormbare viak waarop het blok ligt wijst vertilcaal omhoog en gaat met zijn werkhjn eveneens door het massa zwaartepunt van het blok.

Aan de evenwichtsvoorwaarden is derhalve. voldaan: er is geen resulterende kracht. nog een resulterend moment. Het blok was in rust en. blijft dat. Er is sprake van een statisch evenwicht. Uit de voorwaarden aangaande dit evenwicht kunnen eisen ontleend worden welke aan de ondergrond waarop dit blok (by. gebouw) staat:

deze moet de reactie. kracht. kunnen opbrengen, nog algezien van additionele externe belastingen waaraan het blOk blootgesteld kan worden en welke geen van alle aanleiding

mogen zijn tot verstormg van het evenwicht (het gebouw moet blijven staan) Meer

plaatselijk bekeken leiden dit soortbeschouwingen tot diniensionering vail aile construe-tieonderdelen in het gebouw.

Voorbeeld 2

Een stalen strip is op een plaat gelast. In de strip is een gat geboord. Hieraan wordt

door een externe belasting met een kracht F getrokken.

Uit de voorwaarde dat door de uitwendige belasting de plaat niet van plãats mag

veran-déren nog kapot mag gaan volgt door toepassing van de evnwichtsvoorwaarden de

span-ning op de vlakjes Al en A2 terplaatse van het gat, ni

F

'7=

A1 +A2

Met behuip van de bekend veronderstelde materiaaleigenschappen kan zodoende het

plaatje gediinensioneerd worden voor wat betreft de minimale almetingen en dikte.

Voorbeeld 3

Op een balans, zoals afgebeeld, welke wrijvingsloos kan scharnieren om het punt S, be vinden zich twee massa's: ma ter linkerzijde en mb ter rechterzijde ten opzichte van het scharnier. Er wordt een blijvend evenwicht verondersteld.

Op de massa's werken ten gevolge van de zwaartekrachtversnelling respectievelljk de

krachten ma * g en mb * g naar beneden gencht langs een vertikale werkhjn In het scharnierpunt S werkt een reactiekracht omhoog. Ten einde ann de voorwaarden ten aanzien van het vereiste evenwicht te voldoen is deze reactikracht gelijk aan:

R=Fa+Fb

Ook ten aanzien van de momenten zal aan de evenwichtsvoorwaarden moeten worden

voldaan. Hieruit valt te berekenen hoe de aistanden a en b zich moeten verhouden.

Namelijk: (momenten om het schanierpunt S)

Fa * a - Fb * b = 0

a : b

Fb

Aan beide evenwichtsvoorwaarden is nu voldaan: de schommel is in evenwicht. A1 hij in rust was. dan blijft hij dat.

Ook bij: dit oorbee1d is aan de hand van de opgelegde voorwaarde van. het vereiste evenwicht bepaald hoe de dimensionering van de constructie moet zijn (de afstanden a en b).

In een aantal andere gevallen kan uit het feit,, dat uit waarneming blijkt dat er sprake

is van een evenwicht, het bestaan van bepaalde (reactie)krachten worden ontleend.

Voorbeeld 4

Een blok met massa m Valt al enige tijd zodat, de versnelling nut is geworden. Het blok

valt waarneembaar met een constante snetheid naar beneden onder invloed van de

zwaartekracht.

Vm/s

Aangezien er sprake is van een constante sneiheid is er kennelijk sprake van een

evenwicht, d w z dat de kracht op het blok ten gevolge van de zwaartekracht versnel-ling gecompenseerd wordt een even grote maar .tegengesteld gerichte kracht.

Ten gevolge van zijnr neerviaartse sneiheid en zijn vonn ondervindt het blok klaarblij-kelijk een weerstandskracht welke evenwicht maakt met zijn gewicht. Deze weerstands-. kracht vindt zijn oorsprong. in de langsstromende lucht. Daar er sprake is van een con-stante snetheid is er geen resulterende kracht, de grootte van de weerstandskracht kan

zo bepaald worden.

De beweging is eenparig en er is sprake van stationair evenwicht..

Een analogie hiervan wordt gevonden bij een door een schroef voortgestuwd schip m water.

De schroef achter het schip oefent ten gevolge van de hem opgelegde rotatie (door de motor van het schip) en zijn bijzondere vormgeving een voortstuwende kracht uit_{op het} schip dat ten, gevolge hirvan met een constante snetheid vooruit vaart. Door deze voor-waartse snetheid oefent het omnngende water een weerstandskracht ult op het schip Deze werkt in de tegengestelde richting. De weerstand neemt toe met het toenemen van de snetheid. Op het moment dat de voortstuwende kracht en de weerstand. even groot zijn is aan de evenwichtsvoorwaarden voldaan. De snetheid blijft constant en er is

even-eens sprake van een stationair evenwicht.

Voorbeeld 5

G

Een veer hangt onbelast aan het plafond met een Iengte in deze toestand gelijk _{aan 1.} Nu wordt aan het uiteinde van de veer een gewicht groot G gehangen. Onder invloed hiervan wordt het oorspronkelijke evenwicht verstoord.

Nu is een veer een. speciaal ontworpen mechanische constructie welke de eigenschap bezit dat onder inv1od van verlenging en/of verkorting. een kracht ontwikkeld wordt Iineair evenredig met deze verlenging. Zo ook bier.

Het verstoorde evenwicht kan slechts weer hersteld worden doordat d veer uitrekt en

ten gevolge daarvan een kracht uitoefent op het gewicht G.

Bij een lineaire veer is de kracht evenredig met de verlenging volgens:

F = C *

(12 - l)

waarin c de veerconstante wordt genoemd.

Vbor evenwicht moet flu geldèn dat:

Bij bekende eigenschappen van de veer, dat wil zeggen bij bekende c, is de Iengte van de veer tebepalen waarbij het nieuwe evenwicht optreedt (12) Omgekeerd' is bij bekend gewicht en verlenging van de veer de veerconstante c te bepalen. Indit voorbeeld wordt een oorspronkelijke evenwichtssituatie verstoord.

Het beschouwde lichaam komt uitshiitend weer in een evenwichtssituatie doordat_een reactie kracht onstaat ten gevolge van de verplaatsmg van het ttchaam terwiji het ver-bonden is aan een "veer".

Analoge situaties komen zeer vaak voor.

In de techniek staan deze bekend als Massa-Veer Systemen:.

Te denken valt hierbij bijvoorbeeld aan. afgeveerde massa's zoals een auto, slingersen

ook drijvende objecten in water.

Voorbeeld 6

b

i1H

Een bak met lengte 1, breedte b en diepgang t drijft in water, zoals een waarnemer kan constateren. Kennelijk is. dat zo dat, mits er aan bepaalde voorwaarden voldaan wordt, een bak (lichaam) in water kan blijven drijven in rust. Er moet this sprake .zijn vaneen evenwicht. Het gewicht G van de bak moet dan gecompenseerd worden door een stelsel

krachten en we! zodanig dat de som van de krachten en de momenten bijvoorbeeldom het massa zwaartepunt van de bak geijk ann nul is.

Om een en ander te kunnen veridaren zal vervolgens een introdUctie worden gegeven

in de HYDROSTATICA.

A'

2. HYDROSTATICA

De hydrostatica is eon dee! van de hydromechanica, datis de wetenschap. van de

even-wichts- en de bewegingsvergelijkingen van vloeistoffen en van de wisseiwerkig tussen deze vloeistoffen en vaste licharnen.

De hydrostatica behandelt het dee! waarbij de vlôeistoffen en lichamen zich in een

toestand van relatieve rust bevinden. Onder vloeistoffen verstaat men stoffen die grote weerstand bieden tegen samendrukkende krachten maar die daarentegen vrijwelgeen

weerstand hebben tegen trekkrachten en zeer langzame vonnveranderingen.

'In de gebruikelijke beschouwingen van de hydrodynamica worden vloeistoffen over het

algemeen homogeen en onsamendrukbaar verondersteld.

Homogeen wil zeggen dat de soortelijke massa, dat is de massa van de vloeistofper eenheid van volume, niet amankelijk is van de plaats. in de. vloeistof.

Onsamendrukbaar betekent dat er geen volume verandering optreedt ten gevolge van een drukverandering in de vloeistof. Bovendien wordt aangenomen dat de uitzetting van water ten gevolge van eon temperatüursverandering eveneens verwaarloosd mag wor-den. Door deze aannamen worden de hydrostatische berekeningen aanzienlijk vereen-voudigd.

Om te verkiaren waardoor eon lichaam flu precies blijft drijven in de vloeistof, is het noodzakelijk een korte introductie te geven in de hydrostatica.

Uit de evenwichtsbeschouwing volgt dat een lichaam blijft drijven al

er door de

vloeistof een reactie kracht opgewekt wordt welke het gewicht van het lichaam compen-seert.

Krachten door vloeistoffen op lichamen uitgeoefend zijn in het algemeen tebeschouwen als drukken werkend op eon oppervlak.

Wat kunnen we over de druk in eon: vloeistof zeggen?

Daattoe kijken we eerst naar de belangrijke wet van Pascal, welke stelt dat:

WET VAN PASCAL

"Dc druk in een bepaald punt van de vloeistof hangt niet af

van de

richti:ng van het viak waarop deze druk werkt".

Dit betekent dat in eon willekeurig punt van de vloeistof de druk alzijdig even groot is. Djt impliceert dat als de druk in eon 'bepaald punt van de vloeistofbekend is, de kracht op eon viak met willekeurige orientatie in dat punt te berekenen valt.

Hoe groot is flu die druk in een in rust verkerende vloeistof?

In eon vloeistof heerst in het algemeen in elk punt eon andére druk. Bij homogene en onsamendrukbare vloeistoffen die in rust verkeren, heerst onder invloed van de

zwaarte-kracht over .de vertikaal eon druk welke lineair aThankelijk is van de afstand tot bet vrije vloeistof opperviak: de hydrostatische druk.

In de figuur is het assenstelsel zodanig gekozen dat xoy in het vrije vloeistofopper-vlak gelegen is.

Aan bet opperviak werkt de atmosferische druk p0.

Besehouw een vloeistof zuiltje met eenhoogte z en een doorsnede dxdy.De dnik in het

punt (x,y,z) is p.

De vertikale kracht omhoog is p * dxdy.

z

Het vertika1 evenwicht van het zuiltje vereist flu dat de som van de vertikale krachten

gelijk is aan nul. Düs:

p0 * dtdy + pgz * dxdy

= p * _dy

Hieruit volgt:

p = p0 + pgz

De druk in het punt (x,y,z). is klaarblijkelijk samengesteld: uit de atmosferische druk p0, welke aan het opperviak heerst en pgz, welke dee! veroorzaakt wordt door de zwaarte-kracht.

Dit laatste dee! neemt inderdaad Iineair toe met de diepte.

In het, algemeen is alleen de overdruk van belang, immers aan de binnenzijde en de buitenzijde van bijvoorbeeld een scheepsromp is allebeip0 "aanwezig" Dekrachten die

het gevoig zijn van p0 heffen ellcaar dus op.

In het algemeen geldt dus voor de hydrotatische druk:

p = pgz

Uit .de combinati van de wet van Pascal en de formulering voor de hydrostatische

druk, volgt dat de drukkracht die bijvoorbeeld op de bodem van een tank wordt

uitge-oefend onafhankelijk is van de vorm van de tank, doch alleen van de hoogte van de

vloeistofkolom boven de bodem van de tank. Dit noemt men de Hydrostatische Paradox.

J

I'

In de bovenstaande voorbeelden is de druk op de bodem van de tank gelijk. :De kracht

op de bodem is gelijk omdat het opperviak van de bodem gelijk is (kracht = druk

opperviak).

Zo kunnen bijvoorbeeld op de wanden van een tank grote krachten uitgeoefend worden door de stijghoogte van de vloeistof in een stand- of overlooppijp.

De Paradox geeft aanleiding tot de volgende uitspraken:

verschillende hoeveetheden vloeistof kunnen één en dezeJfde druk veroorzaken.

de op de bodem van een vat of tank werkende kracht kan groter zijn dan het

gewicht van de hoeveelheid vloeistof die zich boven de bodem bevindt.

de werklijn van de drukkracht op de bodem gaat steeds door het zwaartepunt van de vlbeistofzuil boven het opperviak ongeacht of deze zuil daadwerkelijk aanweiig

isofniet.

Bekende voorbeelden van werktuigen, weilce gebaseerd zijn op de hydrostatische druk en de wet van Pascal zijn ondermeer:

Voorbeeld 1

De hydraulischepers. Deze bestat uit twee door.een slang of pijp doorverbonden cilin-ders met een sterk verschilknd doorsnede opperviak, resp. A1 en A2. Er geldt nit dat

= F11A1 P2 = F2/A2

In de vloeistof moet flu gelden dat:

P2

Pi - pgh - F2/A2 = F/A1 - pgh

Bij praktische toepassinen van de hydraulische cilinder is bijna altijdpgh velen malen

kliner dan de druk F1/A1

, zodat deze tenn in de vergelijking Verwaarloosd mag

worden.

Er geldt dan dat:

F

A

F2/A2=F1/A1-

=-F1 A1

Daar A2 veel kleiner gekozen is dan A1, is ook de kracht F2 veel k1iner dan F1. Dit betekent dat met een veel kleinere kracht F2 een aanzienlijk grotere kracht F1 ont-wikk1d kan worden. De verplaatsing van de zuiger A2 zal echter veel groter moeten zijn dan die van A omdat het volume vloeistof dat verplaatst wordt door A1 gelijk is

aan dat verplaatst door A2 Het veel grotere oppervlak van A1 maakt derhalve slechts

een kieme verplaatsmg mogehjk Hierdoor wordt praktisch gesproken de

overbreng-ingsverhouding van zulic een eenvoudig werktuig beperkt.

Voorbeeld 2

De hydraulische hevel. Twee afzondërlijke vaten zijñ gevuldmet vioeistof. De vloeistof heeft in beide vateneen verschillende vloeistofhoogte. De vaten zijn door middel van een geheel met vloeistof gevulde pijp met elkaar verbonden. In het hoogste punt van de

p1 = p0 -

pgh1 en rechts, van de kraan heerst de druk:

P2 = -pgh2

Daar

h1 < h2 is Pi >

P2 zal als de kraan geopend wordt de vloeistof van vat 1 naar

vat: 2 strornen.

Zo is het dus mogelijk om een hoger gelegen vat leeg te pompen in een lager gelegen vat zonder mechanisch. bewogen hulpnilddelen (,pomp);

Terug naar de kracht OP een drijvend lichaarn. We leiden nu al de kracht weilce een

ondergedompeld opperviak onderviiidt ten gevolge van de hydrostatische d±uk.

Beschouw daartoe een oppervlakteelementje dA, deel van een groter (gewelfd) opper-viak A welkeen Iichaam omsluit., Te denken valt hierbij aan een stukje van de huid van een schip.

Hierop werkt de volgede kracht:

FT= pg

in de richting van de normaal vector.,

De ontbondene hiervan in de x, y en z richting zijn:

In x-nchting: F = pgz cIA cosa1

= pgz dA

In y-richting : F = pgz dA cosa2

pgz dA

In z-richting : F = pgz dA cosa3 = pgz dA

waarin a1, a2 en a3

de hoeken voorstellen tussen de normai vector

_{van het}

oppervlakje en de x-, y- en z-as.

Beperken we ons tot de vertikale component.

De z-component van de kracht moet evenwicht maken met het gewicht van het hchaam

De sommati

van deze component over alle oppervlakte elementjes waaruit het

lichaamsoppervlak gedacht kan worden te zijn opgebouwd levert de totale vertikale

kracht.

= S pgz dA

De' integraal 5 zdA stelt de inhoud v voor van het !lichaam gerekend tot aan het

vrije vloeistof opperviak.

Py.D

Fz = pgV

Dit staat bekend als de WET VAN ARC

In woorden:

II 0

DES

"Een lichaam,. dat zich in rust .in een vloeistof bevindt, ondervindt

een

opdrijvende kracht die gelijk is aan het gewicht van de door het lichaarn

verplaatste vloeistof".

Tevens kan afgeleid worden,, hetgeen hier niet gedaan zal worden, dat de werklijnvan

de resulterende vertikale krachttengevolge van dedruk over het liçhaam gaat door. het zwaartepunt van het volume van het door het Iichaam verplaatste water.

Dit volume zwaartepunt noemt men het drukkingspunt.

Tot flu toe is alleen gekeken naar de' vertikale component van de hydrostatische druk. Van de horizontale component kan. gesteld wordendat de resulterende hiervan voor 'een drijvend of geheel ondergedompeld lichaam gelijk is aan nut. Dit is eenvoudig in tezien met behuip van de onderstaande figuur en geldt in zijn algemeenheid voor alle gesloten contouren.

Bezien wij de doorsnede van het schip zoals in de figuur aangegeven. Stel datdit wile-. keung gekozen xz-vlak het schip Iangsscheeps doonnidden snijdt De projectie van het bakboord gedeelte van de scheepshuid op het-xz viak is gelijk aan de projectie van het stuurboord gedeelte, of te we!:

De linker kant van de doorsnede is gelijk van vorm aan de rechter kant van de door-snede, het opperviak van beide doorsneden. is aan elkaar gelijk: A bakboord = A

stuurboord.

Derhalve zijn ook de statische momenten van deze projecties aan elkaar gehjk, zodat de. krachten op AB en As elkaar exact opheffen. Dit geldt uiteraard voor elke wile-keurige vertikale doorsnijding, zodat het schip geen resulterende horizontale kracht

Terugkerend naar het probleem vande drijvende bak kunnen we flu stellen dat er sprake

zal zijn van een vertikaal evenwicht als het gewicht van de bak G gehjk is aan het

gewicht van het door de bak verplaatste water, ofwel:

G = pg'7 = pg * 1bt

Een tweede noodzakelijke voorwaarde is dat de werklijn vail het gewicht G en de op-drijvende kracht pg v sanienvallen aangezien er afleen dan sprake is van een momenten evenwicht.

Bij een homogene vloeistof en een syinmetnsche massa verdehng van de bak is dit mderdaad het geval Voor de beoordehng van het evenwicht is het klaarbhjkehjk van

essentieel belang het volume van het verplaatste water als ook het bijbehorende volume

zwaartepuiit te kunnen berekenen, ook als het de over het algemeen zeer

gecompli-ceerde vorm van een schip betreft.

Het is daarvoor noodzakelijk de intergraal:

A

V _{= ZdAz} 0

te kunnen oplossen, anders gezegd het volume van het lichaam moet bepaald kunnen wordeñ door integratfe van by de hoogte van het vertikale zuiltje over de oppervlakte van het lichaam.

Hiertoe is het allereerst noodzakelijk om deze vorm in drie dimensies eenduidig te kun-neri vastleggen. Uitgaande hiervan kan dan ondenneer met behuip van numerieke inte-gratie metboden bet volume en zwaartepunt berekend worden..

3. BESCHRJJVING GEOMETRIE.

Teneinde de vorm van een lichaam eenduidig vast te leggen staan ons, aThankelijk van

in hoeveel dimensies het lichaain is gedefmieerd en de complexiteit van de vonn, een

aantal mogehjkheden tot de beschikking.

De .eerste mogelijkheid is een analytische formulering te geven voor de vorm van het

lichaam. Dit kan zowel in 2 als in 3 dimensies Meestal is dit slechts mogelijk voor relatief eenvoudige geometrieen, zoals circels, ellipsen, parabolen en rechthoeken in 2-D en voor omwentelingslichamen als bollen, effipsoiden, kegels etc. in drie dimensies.

Het voordeel hiervan is dat de vorm éénduidig is gedefmeerd in elk willekeurig punt

en dat vele analytische mithpu1aties mogelijk zijn.

Bij zeer ingewikkelde vormen zoals bijvoorbeeld de scheepsvorm is bet ifl bijna alle

ge-vallen niet mogelijk zo een formulering te vinden. Dan wordt voor het weergeven van de vorm meestal de toevlucht genomen tot grafische presentaties en voor het manipu-leren met de scheepsvorm wordt deze weergegeven door een eindig .áantal puñten te

ge-yen op de huid van de vorm met behuip van de x, y, en z coördinaten van elk punt. In twee dimensies, dat wil zeggen in een plat viak, zijn we in staat om zeer

inge-wikkelde vormen weer te geven in een grafische voorstelling, a! dan niet op schaal. Door nu op verschillende plaatsen een drie dimensionale vorm in verschillende

door-sneden ( dit zijn 2-dimensionale vormen ) weer te geven en de onderlinge relatie

(bijvoorbeeld afstand en orientatie) ten opzichte van elkaar vast te leggen, onstaat een beeld van de weer te geven vonn, welke deze (grotendeels) bepaalt.

Exact wordt de vorm aileen bepaald als een oneindig aantal doorsneden wordt gegeven, maar door er vanuit te gaan dat de vorm van het lichaam tussen twee dborsneden uit-sluitend langszaam verandrt en de doorsneden waarop de vorm gegeven wordt zo ook.

te kiezen, kan de vorm van het lichaain op elk punt gevonden worden door middel van een geschikte interpolatie procedure.

Aldus wordt te werk gegaan om de vorm van bijvoorbeeld een schip, een maritieme

constructie, een auto, een drukvat, een cilinderkamer etc. weer te geven.

De vorm van een schip wordt vastgelegd door middel van een Iijnenplan, dat is de

verzameling van doorsneden waannee de scheepsvorm wordt vastgelegd.

Voor een schip ge!dt in het algemeen dat de vorm symmetrisch is t.o.v. het

middel-langsvlak, het viak dat gaat door het midden van he! en stevens. Dit betekent dat voor het vastleggen van de vorm slechts het halve schip behoeft te worden getekend. De scheepsvorm wordt nu doorsneden door drie stelsels van evenwijdige vlakken welke onderling loodrecht staan. Deze stelsels zijn:

een stelsel vlakken .evenwijdig aan het waterlijn opperviak (horizontaal). De aldus ontstane snijkrommen met de scheepsromp noemt men de waterlijnen.

- een stelsel vlakken evenwijdig met het vertikale langsscheepse symmetrie viak.

een stelsel. vertikale vlakken loodrecht_{op de beide andere stelsels. De snijkrommen}

noemt men in dit geval de ordinaten of verdeelspanten, kortweg spanten.

Verticale doorsnede Spant doorsnede

AP

Waterlijn doorsnede

We denken onsflu_{de aldus ontstane snijkrommen geprojecteerd op drib onderling}

load-rechte projectie vlakken, welke parallel zijn aan de gebruikte doorsnijdingsvlakken. Zo

ontstaat het waterlijnenplan, het vertikalenpian of Jangsplan en het spantenraám.

Een voorbeeld hiervan staat weergegeven in de onderstaande figuur.

De drie projectiesmoeten uiteraard onderling overeenstemmen. Zo moeten de

coördina-ten van een bepaald punt op het weergegeven scheepsopperviak in de drie aldus

ge-vormde projecties met elkaar overeenstemmen.

De complexe geometrie is teruggebracht tot een beperkt aantal gegevens. Dit geldt zowel grafisch als digitaal als een verzarneling punten met discrete coördinaten. Dit laatste

is voor bet werken met digitale rekenapparatuur en numerieke integratie

methoden uiterst belangrijk.

4

LWL

2WL

3WL

HS

Elke projectie wordt gedacht te zijn opgebouwd uit een aantal concrete punten,

waar-tussen de echte vorm gevonden kan worden door middel van interpolatie.

We zullen flubezien hoe met behuip van de aldus vastgelegde vorm volumina, zwaarte-punten en traagheidsmomenten berekend kunnen warden.

Dit was namelijk het doel van het vastleggen van de geometrie.

aTIKALE

__A

___

V

_A

SPANTEN W3 WMERLIJNtN

spant (otdin at.) watertijn

AVAV

.

C VOORBEELD LIJNENPLAN 4 SPAHTE1 RAJ4 W.TELENP1.AM

UII:

F l I? 15 ig RAgDcg

yt

0

14 L

L

Het opperviak van het gearceerde strookje met hoogte y en breedte dx is gelijk aan: ydx. Bet opperviak A dat begrensd wordt door de

x-as, x = x0, x = x0 + 1 en de

kromme wordt gevonden door de sonlinatie van a! deze kleine oppervlakjes. Als we de

breedte van het strookje naar nul laten gaan dan kennen we uit de wiskunde voor het opperviak van de figuur de volgende iñtegraal:

x0 ±1

A

=

j

y *

xo

Het statisch moment van het opperviak A ten opzichte van de x-as wordt eveneens

gevonden door eerst het statisch moment van het strookje te beschouwen en vervolgens te integreren over de gewenste range.

Ii

KE IN] GRA'rn

Uit het voorgaande is gebleken dat oppervIakken, volumina, zwaartepunten, _statische momenten etc. een belangrijke rol spelen in de beschouwingen aangaande het evenwicht van drijvende constructies en ook in allerlei andere toepassingen.

Derhalve wordt flu eerst enige aandacht besteed aan hoe men deze groothedenvan

wil-lekeurig gevorrnde oppervlakken en lichamen kan berekenen met behuip van numerieke

methoden.

Het gebruik van numerieke in plaats van analytische methoden is veelal noodzakelijk omdat de te bewerken lichamen zich veelal niet analytisch laten beschrijven, zoals we

hebben gezien bij bet vastleggen van de scheepsrornp.

Hoe bepalen we fluhet opperviak, het statisch, moment of het zwaartepunt van een figuur?

In het algemene geval,. zcnder te letten op hoe de integralen worden opgelost, geldt het volgende:

DEF

Het statisch moment van een oppervth.kte elementje (of volume 'elementje) :Lo.v. een bepaalde as is het product van bet opperviak (volume) van hetelementje en zijn afstand tot deze as.

Voor een klein elementje van het geaceerde strookje vinden we als statisch moment t.o.v. de x-as:

udü dx Voor bet gehele strookje geldt dan:

dS =

udud =

4

y2 *

En voor bet gehele opperviak A tenslotte:

x0+1

;=J

'y2ci

xo

Op dezelfde wijze vindt men voor bet statisch moment van, A ten opzichte van de y-as:

x0 +1

'=

_J

xydx

xo

Volgens de definities uit de Mechanica geldt voor de coördinaten van het zwaartepunt van een opperviak of volume het volgende:

DEFINITE

x - coördinaat van het zwaartepunt =

y - coôrdinaat van het zwaartepunt _Si/A

'In de hierna volgende behandeling van het evenwicht en de stabiliteitvan diijvende

constructies zal ook meermalen gebruik worden gemaakt van het begrip

traagheids-moment. Vandaar:

DEFINITE:

Het traagheidsmoment van een oppervkkte elementje (of volume elementje) ten

opzichte van een bepaalde as is het product van het opperviak (volume) van het

elementje en zijn afstandt tot de as in het kwadrat.

Ook detraagheidsmomenten van A t.o.v. de x-as en de y-as zijn te bepalen.

Het traagheidsmoment van het strookje ten opzichte van de y-as is:

dI = x2 y dx

en het traagheidsmoment van het gehele opperviak A t.o.v. de y-as wordt derhalve ge vonden door sommatie van alle .strookjes, ofwel:

x0 +1

Jy _{= J} y dx

xo

Voor de berekening van het traagheidsmoment t.o.v. de x-as voeren we eerst weer een tussen integratie uit.

Voor het kieine elementje dudx van het strookje is het traagheidsmoment t.o.v. de x-as

gelijk aair

u2 dud.

en dus van het gehele strookje (sommatie over de elementjes):

dI = J

en tenslotte voor het gehele opprvlak A (sommatie over de strookjes),:

x +1

y3dx

xo

De hier gegeven uitdrukkingen zijn analytische uitdrukkingen. Ms in het beschouwde

geval y als functie van x bekend zou zijn dan kunnen de integralen zuiver analytisch worden opgelost. In ons geval is dat niet zo en moeten we onze toevlucht nemen tot

numerieke methoden uitgaande van de verzameling punten waarmee de. scheepsvorm is

gedefinieerd.

Zoals we gezien hebben komt. integratie neer op oppervlakte bepaling. De meest

ge-bruikte regels voor numerieke integratie zijn de trapeziumregel

en de le regel van

Simpson.

In het kader van dit college zullen we ons tot deze beide regels beperken, ofschoon er

nog een aantal andere zijn.

Beschouw daartoe de bnderstaande figuur.

Het opperviak tusen de x-as, x = x0, x x2 en y = f(x) moet worden bepaald.

Alleen de functiewaarden Yo' Yi en Y2 voor x=x0, x=x1, en x=x2 zijn bekend (discrete punten).

De meest eenvoudige manier 0th het cppervlak te benaderen is door het oppervlak te

berekenen van een tweetal ingeschreven rechthoeken. Dit staat weergegeven in de Iinkse figuur. Het opperviak van een vierkant is eenvoudig te berekenen uit de gegeven functie waarden en de onderlinge aistanden. De ben3dering van het werkelijke opperviak onder

de kromme is echter vrij onnauwkeurig, zoals uit de figuur we! blijkt. Deze methode

wordt derhal've in de praktijk niet toegepast.

Een andere methode bestaat uit het bepalen: van het opperviak van twee ingeschreven trapezia eveneens gebruikmakende van de gegeven: functiewaarden.

A _{..fl(y0 + + y2)}

De kromme lijn wordt hier benaderd door twee rechte lijnstukken tussen de drie punten

in.

Dit blijkt in de praktijk een redelijke benadering te zijn voor het opperviak _{voor niet}

te sterk gekromde. lijnstukken.

Deze regel staat bekend ais de trapeziumregel.

Ben derde benadering wordt gevonden door het opperviak onder de kromme te splitsen

hi een gedeelte te benaderen door een trapezium en het resterende gedeelte door een

tweedegraads functie.

Het opperviak van het trapeziUm is dan gelijk aan:

2/i * _{(,y0 + y2) = h(y0 + y2)}

2

_{* 2h *}

3

leregel

_{van Simpson}

Het opperviak van het gearceerde gedeelte wordt benaderd met behuip van het bekende opperviak van een parabool en wordt dan:

+ y2))

hy1 -

..

hy0 -

..

hy

Het totale opperviak wordt nu gevoñden door de twee gëdeelten bij elkaar op te tellen. We vinden dan:

A' = h(y0 ₊ y2) + hy1, - hy0, - hy

A

_{= + 4y1 +} y2)

Dit is de eerste regel vail Simpson.

Een grotere nauwkeurigheid wordt bereikt als de te berekenen figuur wordt onder-verdeeld in meer gedeelten, waarvan .het aantal altijd even moet zijn.

Er geldt dan de algemene formule, welke gevonden wordt door het opperviak van twee gedeelten te bepalen en uiteindelijk over alle gedeelten te sommeren:

A = ₊ 4.y1 + 2y1...

. y)

Met behuip van een voldoende aantal verdeelstukken is een hoge nauwkeurigheid :te bereiken. In het algemeen ligt de te bereiken nauwkeurigheid binnen enkele tienden van een procent.

Ter illustratie volgt hieronder een eenvoudig voorbeeld.

VOORBPPTD

SIMPSONREGEL

WATERLIJN

ord. breedte simson

factor

prod. mom.fak,tor

tovord 0'

prod'. O 0 1 0 0 Ci 1 2 4 8 1 8 2 2.5 2 5 2 10 3 1.7 4 6.0 3 20.4 4 0 1 0 4 0

E= 19.a

30.4 opperviak

2 * 1/3 * 3 * 19.B

= 39.6 m2 38.4 2 .0 2 '2.5 3 3 3

-0 I. BB he4çh 1.7 4

In het bovenstaande hebben we gedemonstreerd hOe we het opperviak van een figuur kunnen bepalen met behuip van een numerieke methode.

Alle noodzakelijke intgraties zijn aldus uit te voeren, immers een integral als:

x0+1 Ix =

J

y3dx

kan men opvatten als:

a pp

x0+1

=

L

waarin t = y

dus I,

is. 1/3. van het oppervlaktussen t

= 1(x), x = x0, x = x0+1

en de xas.

Het berekenen van een volume kan uitgevoerd worden door tweemaal een oppervlakte integratie uit te voeren.

We zullen dit trachten toe te lichten

In het algemene geval wordt de iiihoud van een lichaam zoals gegeven in de onder-staande figuur gegeven door:

ZTXT

V=2j

J

yddz

0 X'r

We kunnen dit op twee manieren splitsen in twee achter ellcaar op te lossen oppervlakte integralen. Ten eerste door nu eerst de oppervlakte integraal

2

J ydz = A

op te lossen, wordt de oppervlakte berekend van de dwarsdoorsnede van de vorm

(spantoppervlakte).

Door dit voor een groot aantal (bijvoorbeeld 20) vaste waarden van x te dben en de

aldus verkregen waarden van de spantoppervlakken te plotten op basis van hun onder-IThge ãfstand, verkrijgt men een figuur zoals bier onder weeEgegeven, voorstellende de verdeling van het dwarsdoorsnede oppervlak over de lengte van het lichaain.

Door hiervan dé oppervlakte te bepalen met behuip van dezelfde numerike integratie.: methode wordt in feite de integraal:

V=JAdx

XT

opgelost. Hiermee is het 'vOlume van het lichaam bepaald: de integiaal van het

door-snede oppervkk over de iengte van het licham is het volume

We zouden de integratie ook andersom uit kunnen voeren. Uitgaande van de integraal

wele het volume van het lichaam bepaalt:

ZT XT

7=2J

J

kunnen we eerst de integraal

XT

j

ydx=A

LXT

oplossen.

Dit stelt voor het waterlijnoppervlak van het lichaam voor een bepaaide z.

Door deze te plotten op basis van hun onderlinge afstand en het opperviak van de aldus ontstane figuur te bepalen wordt eveneens het volUme van bet lichaam bepaald. Voor de bepakng van het evenwicht was ook de positle van het zwaartepunt m hoogte en in iengte van belang.

Deze hoogte- en lengteligging van het zwaartepunt van het volume (het drukkingspunt) wordt flu gevonden: door het statisch moment van de waterverplaatsing t.o.v.

respectie-velijk bet xy en het zy viak te bepalen. Aigeleid is reeds dat:

stat.mom. volume t.o. v. xy vlak

B

volume

waaruit volgt:

ZB =

JAz

Eerst wordt flu dus voor verschiilende waarden van z een discrete voorstelling van de waterlijn geniaakt en deze vervolgens geintegreerd tot een waterlijn opperviak. Deze

waterlijn oppervlakken worden geplot op basis van z. Elk van de ordinaten van deze figuur, voorstellende een waterlijn opperviak, wordt vervolgens vermenigvuldigd met zijn aistand z tot het viak xy en opnieuw geplot op basis van z. Van de aldus ofltstane figuur wordt nu tenslotte het oppervlàk bepaald, voorstellende bet gevraagde statische moment.

-V

-Iijr,oprruI1IeIr KB

I

basis 29

Voor het statische moment ten opzichte van het zy-vlàk wordt een eendere procedure

gevolgd maar flu met de ordinaat oppervlakkn.

Door de aldus verkregen statische momenten te delen door het volume van het lichaam

worden de x en z coordinaat van het zwaartepunt verkregen ten opzichte van de

referentie vlakken ten opzichte waarvan de statische momenten bepaald zijn.

Nu het volume en de zwaattepuntsligging te bérekenen is kan gekeken worden of het drijvende object in evenwicht verkeert. In de hierna volgende beschouwingen zullen we

ons beperken tot het vertikale evenwicht en de momenten om de langsscheepse as.

Dit betreft dus: DWARSSCHEEPS EVENWICHT

Bij de beschouwing van het dwarsscheeps evenwicht zal veel gebruik gemaakt worden van de zogenaamde verschuivingswet. Deze heeft betrekking op de plaatsverandering van het gemeenschappelijke zwaartepunt van twee (een stelsel) oppervlakken, volumina of massa's ten gevolge van een. onderlinge positie verandering.

De wet Iuidt:

"Als van een oppervlàk, volume of massa v een gedeelte v over een afstand d wordt verplaatst, dan verplaatst het zwaartepunt zich evenwi.j:dig aan de ver-plaatsing van v over een afstand die gelijk is aan v * Wv".

V=v1 i-v2en.

Bezien wij flu het evenwicht vaii een zich in rust verkerende maritieme constructie,

bijvoorbeeld een schip. Op het dek van het schip bevindt zich een massa p.

Het totale zwaartepunt van het schip + de massa p (G) verplaatst zich, in

over-eenstemming met de verplaatsings wet, evenwijdig aan b naar de positie G1 over de

afstandGG1

p*b/v

Er is nu een verstoring van het oorspronkelijke evenwicht. De som van de vertilcale

krachten blijft onveranderd gelijk aan nul, maar het gewicht met werklijn door G1 en de opdrijvende kracht met werklijn door B vormen flu sameneen koppel onder invloecl

waarvan het schip rechtsom wil kantelen.

Er treedt een kenterend moment op. Dit veroorzaakt een hoekverdraaiing van het

schip. De hieruit voortvloeiende asymmetrie van. het onderwater volume van het schip resulteert in een verplaatsing van het drukkingspunt B naar rechts en we! zover totdat

die situatie is ontstaan waarbij het gewicht en de opdrijvende kracht weer dezelfde

werklijn hebben.

pgv

G.c1= !±

fllM!.aJ

M O

hUe,

fl1rrne4 e g '. G7..

Er wordt dan opnieuw aan de evenwichtsvoorwaarden voldaan.

Het zwaartepunt van het door de helling ontstane asymmetrische ondergedompelde vo!üme noemt men B, het drukkingspunt bij hellingshoek 4).

We kunnen. ook stellen dat, .a1 een drijvende constructie door één of andere oorzaak uit zijn evenwicht wordt gebracht en een hellingshoek aanneemt, dan ontstaat er een

op-richtend koppel, het herstellendmoment genoemd tergrootte van: MsT = pgV *

MST = pgV ThI? sfl(p

waarbij' M het snijpunt is van de werklijnen van de opdrijvende kracht met het.

middellangsv!ak bij hellingshoek nul en een zeer kleine helliLngshoek.

M noemt men het Metacenter.

Uit het feit dat het herstellend moment ontstaat uit de relatieve verschuiving van het drukkingspunt ten opzichte van het massa-zwaartepunt, valt te concluderen dat de

grOotte van dit moment in hoofdzaak bepaald wbrdt door de vorm van het drijvende object en we! m het bijzonder het ondergedompelde of onder te dompelen gedeelte en de mate waarin asymmetrie optreedt ten gevolge van heiling.

Bet blijkt dat deze relatieve verschuiving niet aitijd aanleiding geeft tot het ontstaan van

een stabfflteitsmoment dat het schip wil terug brengen naar zijn oorspronkelijke

evenwithtssituatie.

Dit is in het algemeen slechts zo mits aan bepaalde voorwaarden wordt voldaan. :Hiermee introduceren we het begrip STABILITEIT, waarop we nu wat verder zullen

5. STABJL1TEIT.

Tot flu toe hebben we alleen gekeken of er in een bepaalde situatie sprake is_{van een}

evenwicht, ofwel of er in die situatie voldaan is aan de evenwichtsvoorwaarden. Van belang is echter ook om te weten of de evenwichtssituatie stabiel is of niet. Wat verstaat men onder stabiliteit van een evenwicht?

De stabiliteit van een star lichaam in evenwicht wordt als volgt omschreven:

DEFINITIE.

"Indien een star lichaam, als het, uitgaande van een evenwichtssituatie, onderworpen wordt aan een kleine verstoring, tendeert terug te keren naar de oorspronkelijke

even-wichtssituatie als deze verstoring wordt opgeheven, dan bezit dit lichaam in deze even-wichtssituatie een positieve stabiiteit. Indien na het opheffenvan deze verstoring het lichaam in een nieuwe evenwichtssituátie terecht komt dan spreekt men van een

neutra-le stabiiiteit. Als echter na het opheffen van de kneutra-leine verstoring het lichaam zich

steeds verder van de oorspronkelijke evenwichtssituatie verwijdert dan spreekt_{men van}

een negatieve stabiliteit".

Het is niet goed mogelijk om een eenvoudige algemeen geldende regel op te stellen,

waarmee bij iedere verplaatsing onmiddelijk kan worden uitgemaakt wetke van de drie bovenstaande gevallen zich voordoet. Men dient dus voor iedre evenwichtssituatie na te gaan of bij een veronderstelde verstoring, belasting of verplaatsing in de nieuwe

situatie, reacties ontstaan die met de op het lichaam werkende krachten ervoor zorgen dat het Iichaam terug wil ñaar de oorspronkelijke evenwichtsstand.

Aan vele in evenwicht zijnde licharnen stelt men de eis dat zij geen blijvende uitwijking.

krijgen ten gevolge van een mogelijke wijziging van de op het lichaani werkende

krachten. Wordt hieraan voldaan dan zegt men dat het lichaam stabiel is.

Door verandering van slechts een van de aanwezige krachten of door toevoeging van

een nieuwe kracht wordt het evenwicht verstoord en moet er derhalve beweging

ontstaan. Veelal zal een dergelijke wijziging ook verandering brengen in de reactie

krachten waardoor het evenwicht behouden blijft. Dit blijkt bijvoorbeeld uit de

beschouwing van een horizontale balk wetke aan de twee uiteiiiden ondersteund wordt

en ergens tussen de steunpunten een last draagt. Vergroting van de last heeft een

wijziging van de reacties tot gevoig waardoor de oorspronkelijke evenwichtstoestand behouden blijft. Stabiel evenwicht kan derhalve betekenen dat of de constructie in rust

is en in rust blijft als er (binnen bepaalde grenzen) een verstoring _{van het evenwicht}

plaats vindt of dat een constructie onder invloed van de verstoring een nieuw evenwicht

inneernt hetzij dat na het wegnemen van de verstoring de constructie naar de

oorspronkelijke evenwichtssituatieterugkeert. Een stabiele konstructie is derhalve instaat een bepaalde externe belasting te trotseren..

Voorbeeld 1

In de onderstaande figuur staat eenkogeltje afgebeeld 'liggend op een viak.

/ / /

/9/

/ / /

situatie 1

situatie 2

situatie 3

In situatie 1 bevindt het kogeltje zich in een "dat", in situatie 2 op een horizontaal viak

en in situatie 3 op een "heuvet".

In elk van de drie situaties is er sprake van een evenwicht.

Ondervindt het kogeltje in situatie 1 een verstoring van zijn evenwicht welke even later weer verdwijnt dan rolt het kogeltje terug naar zijn oorspronkelijke evenwichtspositie

er is sprake van een stabiel evenwicht.

Gebeurt dat zelfde in situatie 2 dan rolt bet kogeltje weg en blijft op een andere plek

liggen: indifferent evenwicht.

In situatie 3 zal een kteine verstoring aanleiding zijn tot het wegrollen van het kogeltje.

van de heuvel af Het kogeltje keert met terug in de oorspronkehjke evenwichtssituatie maar verwijdert zich steeds verder. Er ontstaat geen nieuw evenwicht, er is sprake van instabiel of labiel evenwicht.

Ben iets andere beschouwing van de drie situaties leert dat wanneer er een extra kracht wordt uitgeoefend op een in evenwicht verkerend lichaam' en dit lichaam hierdoorineen

andere. evenwichtssituatie komt, doordat er een herstellende bacht ontstaat, er sprake is. van een stabiet evenwicht. Ontstaat die tegenwerkende kracht niet dan is er sprake

van indifferent evenwicht. Ontstaat er een kracht welke het evenwicht nog verder

verstoort dan is er sprake van labiel evenwicht.

Voorbeeld 2

Er hangt een bekende massa aan een lineaire veer. Zoals eerder getoond is er sprake van een evenwicht. Wordt de massa door een externe kracht F' een klein stukje naar

beneden b.ewogen over een afstaand 1 dan ontstaat er een kracht iF = C * zM omhoog

op dë massa, weike zorgt voor een nieuw evenwicht als

'F = c * J = F'.

Verdwijnt de verstoring dan zorgt zF ervoor dat de massa terugkeert naar de

oorspronkelijke. evenwichtssituatie. Er is een stabiele evenwichtssitàatie.

V

G

Voorbeeld 3

Een analogie wordt gevonden bij bet beschouwen van het vertikaal evenwicht van een drijvend lichaarn. Drijft het lichaam rechtopliggend dan maakt het gewicht evenwicht,

met de waterverplaatsing. WOrdt het lichaam over een kleine afstand naar beneden,

verplaatst dan ontstaat een extra opdrijvende kracht ter grootte van het gewicht van het extra ondergedompelde volume.

pgv,

Dit is gelijk aan pgA _{T2, waarin A bet waterlijnoppervlak is. Verdwijnt de}

ver-storing dan keert bet lichaain terug in zijn oorspronkelijke evenwichtsstand. Determ pgA is te vergelij ken met de veerterm in het eerdere voorbeeld.

Voorbeeld 4

In de onderstaande figuur is een .schematische weergave gegeven van een waag:

Zoals bekend is de waag in evenwicht ais de massa's aan beide zijden gelijk zijn. Dit

wordt eenvoudig gevonden door de evenwichtsvoorwaarden toe te passen rond het

scharnierpunt.

De vraag is nu of dit evenwicht ook stabiel 'is, Beschouwen wij daartoe een kleine ver-storing van het evenwicht zoals gegeven in de rechter figuur. Het momenten evenwicht rond het scharnierpunt wordt flu:,

* (a cos ço + c sin

c

-

* (a cos

'p -

c sin ço) = Msr

waaruit blijkt dat na verwijdering vande verstoring de waag, weer terug keert naar zijn oorspronkelijke evenwichtsstand.

De voorwaarde voor het evenwicht is klaarblijkelijk gelegen in de term:

MST = 2 Ga * c sin 'p

hoe groter c, hoe groter het herstellende moment, hoe groter de stabiliteit. Omgekeerd geldt bij negatleve c een instabiel evenwicht Zie onderstaande figuur

Voorbeeld 5

In. de figuur A .staat een blokje getekend staande op een plat viak. De reactie krachtvan

het viak op bet blokje is even groot en tegengesteld met het gewicht van het blokje. Er is sprake. van vertikaal evenwicht.

Verschuiven. we het blokje over een kline afstand dan blijft het daar staan als we onze

handen ervan af halen. In dat opzicht is het evenwicht indifferent, mits het viak

horizonta1 is..

Kantelen we bet blokje over een klein hoekje d4i dan krijgen we de situatie zoals geschetst in de figuur B. De reactie kracht verschuift naar de uiterste hoek van het blokje. Er ontstaat met het gewicht een herstellend koppel dat het blokje wil doenterug kantelen naar zijn oorspronkelijke evenwichtsstand. Het evenwicht is stabiel. De

stabiliteit hangt af van de arm van bet herstellend koppel en dus van de hoogte-breedte verhouding van het blokje

Geheel anders is dat in de figuur C waarin een kegel op zijn top is getekend. Zuiver

rechtopstaand is er sprake van een evenwichtstand, maar het is zeker niet stabiel, zoals blijkt uit de figuur D waarin het kegeltje over een klein hoekje is verdraaid. Aangezien de reactie kracht flu niët van plants verandert is er een moment ontstaan dat de helling lcracht te vergroten:. instabiel evenwicht.

Ook hier blijkt de verschuiving van de reactie kracht onder invloed van de verstonng maatgevend yoor de stabiliteit.

Een zeffde situatie treffen we aan bij het dwarsscheeps evenwicht

van drijvende

maritieme constructies, bijvoorbeeld een schip.

Voorbeeld 6

STABIEL:

In de bovenstaande figuur is de dwarsdoorsnede van een schip geschetst weIk onder

een k1ine helling ligt. Het massa zwaartepunt van de constructie is G.

Het volume waartepunt van het verplaatste water is ten gevolge van de, door de helling

ontstane, asymmetrie van de romp verplaatst van B naar B4. De werklijn van de op-.

drijvende kracht snijdt het middellangsvlak nu in M. Ret gewicht G en de opdrijvende kracht pg v vormen tezamen een koppel met als arm GZ In het getekende geval is het koppel zodamg van teken dat het de ontstane hellmgshoek wil verkleinen er is derhalve sprake van een stabiel evenwicht rond het punt = 0. Dit is steeds het geval zolang, M (het metacenter) boven ligt of we! GM positief is.

Ligt het snijpunt van de werklijn van de opdrijvende kracht met het middellangsvlak onder G (zie de figuur) dan is het resulterende koppel tussen opdrijvende kracht en

gewicht zodanig van richting dat de hellingshoek wordt vergroot: er is sprake van een labiel evenwicht en van een negatieve GM waarde.

Vallen G en M samen dan ontstaat er geen resulterend koppel tussen de beide krachten

en is er sprake van een indifferent evenwicht en GM = 0.

INDIFFERENT

Zoals gezegd is er ook hier sprake van een stabiel evenwicht "onder voorwaarden". Van belang hiervoor zijn: de hoogteligging van G (de afstand 1(G) en de verschuiving

van :het punt B ten gevolge van helliiig. De hoogteligging van G wordt geheel en a!

bepaald door de uitvoering van de constructie van het schip en de beladingstoestand; van

het schip.

De verschuiving van het punt B onder helling wordt bepaald door de vorm van het

(onderwater)schip en de verandering hier an ten gevolge van helling.

Om een indruk te krijgen van de stabiliteit van een drijvend object is het klaarblijkelijk essentieel om de verplaatsing van bet punt B onder helling te kennen.

De hiervoor noodzakelijke hulpmiddelen staan ons imniddels ter beschikking: door de

onderwatervorm onder helling vast te leggen is het mogelijk om met behuip van

numerieke integratie het volume en het zwaartepunt hiervan te bepalen. Dit is

nauwkeurig maar nogal arbeidsintensief.

Derhalve zijn er methoden ontwikkeld om de verplaatsing van B te benaderen en drnr mee de positie van M vast te leggen.

Wi! men een inzicht in de stabiliteit van een drijvende constructie rechtop liggend rond

= 0 dan valt een relatief eenvoudige formule af te leiden.

Door het meenemen van enkele beperkingen ten aanzien van de rompvorm is het

mogelijk deze benadering uit te breiden voor hellingshoeken tot ± 15 graden. Daarboven is het slechts mogeijk de uitgebreide berekeningen te gebruiken.

Bekijken we nu eerst het evenwicht rond ₄ = 0 dus bij zeer kleine hellingshoeken. Zie de figuur.

Deafstand GM wordt geschreven als:

=

+ BM - KG

waarin:

KB - hoogteligging drukkingspunt

BM - afstand drukkingspunt tot het metacenter KG - hoogteligging van het zwaartepunt.

Deze kan voor ellce beladingstoestand uitgerekend worden met behülp van momenten steffing en een bekend veronderstelde. massa verdeling.

Getekend is een dwarsdoorsnede van een schip. Het massa zwaartepunt is: G. De waterlijn in de rechtop positie is W0 L en onder een kleine hellingshoek W, L. De positie van het drukkingspunt bij 4 = 0 is B0 en bij een k1ine hellingshoek 4: Bq.

Verondersteld wordt flu dat KB en KG bekend zijn door do volume en zwaartepunts-bepaling van het lichaam bij helling nul. Rest een benadering voor BM.

Door de heffing van het schip gaat aan de linkerzijde flu tussen W0 L0 en W L een

gedeelte van de waterverplaatsing verloren (de uittredende wig V ) en aan de rechter-zijde komt er waterverplaatsmg bij (de mtredende wig v1) Aangezien het gewicht van het schip niet verandOrt moet de totale waterverplaatsing constant blijyen en geldt er dus dat

TOn gevolge van het verplaatsen van een gedeelte van de waterverplaatsing van naar

v1 verplaatst het drukkingspunt zich van B0 naar B. Aangezien we de verplaatsing

alleen willen weten bij zeer k1ine hellingshoek is de verandering in hoogte ligging van het drukkingspunt te verwaarlozen.

Met behuip van de eerder besproken Verschuivingswet zullen we nu de verplaatsing y van het drukkingspunt Uitrekenen.

Het volume van de uittredende wig is, uitgaande van loodrechte zijwanden over het zeer kleine stukje dat door de beide waterlijnen omyat wordt:

L

=

j

0

=

tg o

_{y1 dx}

en het volume van de intredende wig is op analoge wijze: L

=

tg p

y2 dx

Aangezien _a

=

i geldt:

L,2

Hieruit mag geconcludeerd worden:

het statisch moment van de intredende wig van W0 L0 en het uittredende wig zijn

gelijk en dus

de waterlijnen W0 L4,

en W L

snijden ellca.ar volgens een langsscheepse lijn gaande door het zwaartepunt van W0 L0.

Waaruit weer volgt:

de waterlijnen W0 L, en W L

snijden elka.ar op de langsscheepse symmetrie

lij n.

We zullen flu afleiden dat wat tiler staat het statlsch moment van 'de waterlijn is ten

opzichte van de langsscheepse symmetrie as Bezie daartoe de volgende figuur

Het:statische moment van dewaterlijñ W0L0t.o.v.het middellangsvlakwordt gevonden door eèrst voor een klein strookje met lengte-dx deze.tebepalen en vervolgens de som

van de statische momenten van a! deze strookjès te bepalen. We vinden voor het

gearceerde strookje ten opzichte van de langsas:

dS =

u du dx =

. y2 dx

en this voor het hele waterlijn opperviak:

Passen we nu de verschuivingswet toe.

_{Laten N en N, de respectievelijke}

zwaartepunten zijn van de uit- en intredende wiggen, dan is:

Vu 3

this

Dus:

V V

- Uit de figuur blijkt bovendien dat

B0 B9,

tgço

waarin 'T gelijk

is' aan het dwarstraagheidsmoment van

de waterlijn t.o.v. de

làngsscheepse symmetrie as. Want voor eeri klein strookje hiervan geldt:

y

dl =

du dx. = . y3 dx

en dus voor de hele lastlijn: (de.factor twee i..v..m SB en BR heift)

3

V

GM=KB+f1-KG

V

Uit de eerder gegeven figuur, waarin het herstellend moment staat uitgebeeld dat

ontstaat ten gevolge van. helling, blijkt dat de arm vaiidit moment gelijk is aan:

= GM sin

Het herstellend moment is derhalve groot als GM groot is. Ben grote GM waarde wordt verkregen door:

- een grate waarde van KB. Dit is meestal niet mogelijk zonder andere waarden eveneens te beinvloeden.

een grote waarde van BM

Dit is te realiseren door een .grote waarde te zoeken voor het dwarstraagheids-moment van de waterhjn Uit de fonnulering blijkt dat deze evenredig is met de

breedte op de waterlijn tot de derde .macht, zodat een grote waterlijn breedte bij gelijkblijvend deplacement zorgt voor een grate tabiliteit.

een kleine waarde voor KG.

Hoe kleiner KG hoe lager het zwaartepunt ligt ten opzichte van de bodem hoe

grater het stabiliserend moment. En omgekeerd.

Hetdwarstraagheidsmoment van het waterlijn opperviak speelt bij de bepaiiflg van BM

en dus voor de positie van M een grote rol. Vandaar dat in onderstaande figuur voor

.7.

--Bestaat de constructie. Lilt een volledig ondergedompeld volume,'zOals bijvoorbeeld het

geval is bij eeñ onderzeeboot, dan is er geen sprake _{van verandering van' het}

onder-gedompelde volume dOor helling en dus ook niet van enige .verschuiving van het

dnik-kingspunt. In de formule van BM komt dit tot uiting doordat bet dwarstraagheids-moment van de waterlijn ;gelijk is aan nul, aangezien. er geen waterlijn is. B en' M

vallen derhalve samen.

1xx $ .j- o.b1'

Voor een stabiel evenwicht is het bier derhalve noodzakelijk dat G onder B gelegen is.

'Merk OP dat dit in alle andere gevallen van de beschouwde stabiliteit van drijvende constnicties beslist niet vereist is!i

Concluderend kan gesteld worden dat:

De stabiliteit van: het evenwicht van een dtijyendë constructie rond

_{4 = 0 kan goed}

beoordeeld worden dqor de grootte van de GM waarde van het drijvende lichaam te bepalen.

Stabiliteitsmoment

Niet alleen de aard van het evenwicht bij

_{= 0}

is van belang, maar ook het

vermogen van de drijvende constructie om kenterende momenten op te nemen. Dit

kenterend moment ka.n zijn oorzaak vinden in bijvoorbeeld asyniinetiie in de belãding,

bet aan boord nemen van' 'lasten, belasting door de wind. enlof degolven etc. De

resulterende hoeken waarbij het aldus belaste lichaam weer in evenwicht komt zullen met altijd zeer klein zijn, zodat het van belang is het herstellend moment ookte kennen

bij grotere hellingshoeken.

Beschouw daartoe de situatie in de onderstaande figuur. Het verschil met de situatie bij kleine hellingshoek is dat de werklijn van de opdrijvende kracht niet meer door M gaat

maar het middellangsvlak snijdt in het punt N1, , het vals-metacenter. Het stabiliteitsrnoment wordt in forrnule gegeven door

MST = pg7GZ = pgV

* GN, sin

çO

Bij een bekend deplacement wordt de grootte van dit herstellend moment bepaald door de grootte van de arm van het stabiliteitsmoment: GZ. De grootte van GZ is vöor ellce hellingshoek anders en dient derhalve voor elke hellingshoek bepaald. Om een beeld te

geven van het verloop van de grootte van de stabiliteitsarin GZ wordt deze veelal

weergegeven in een figuur. Men noemt zo'n figuur de kromme van armen van statische stabiliteit.

Hierin staat de arm GZ afgebeeld als functie van de hellingshoek. Het zal duidelijk zijn dat de vorm van de kromnie sterk aThaflkelijk is van het beschouwde lichaam' als ook van de specifieke toestand waarin het drijft (waterverplaatsing).

Enkele specifieke punten van de kromme zullen worden genoemd zonder al te ver in te gaan op het hoe en het waarom.

De raaklijn aan de kromme in bet punt 4 0 snijdt de lijn 4 = 57.3° = 1 radiaal

in .een punt waarvan de ordiñaat overeenkomt met de grootte van GM. Hoe groter GM hoe steiler dë kromme in de oorsprong, hoe groter' het stabiliteitsmoment bij

k1ine hoeken.

- Voor een bepaalde waarde van de hellingshoek .wordt de stabiliteitsarm maximaal, de hoek waarbij dit gebeurt heet

08 0.6

- 0.4

E 0.2 10 20 30 60

.0 60

70 80 0 'P0 1PM 'P1rod. 'Pg 'P0

Er treedt een. buigpunt op in. de kronime bij. die hoek waarbij; het dek te water komt Afhankelijk van de hoek waarbij het dek te water komt kunnen ook bij

gelijke. GM zeer verschiilende krornmen van annen ontstaan. Hoe groter qD hoe beter in het algemeen.

1.0 0,8 0.6 0,4 10 0,2 10 20 30 .40 50 60 70. 80 . 90

TIF°

Bij een bepaalde hellingshoek wordt de arm nul. Deze hoek wordt genoemd;, de kenterhoek. Bij deze hoek heeft een zeer kleine verstoring van het evenwicht tot gevoig dat het schip doorkentert.

De range van hoeken tussen

= 0 en 4 = K wordt de .stabiliteitsomvang

ge-noemd en is een belangrijke grootheid bij het beoordelen van de stabiliteit van

drijvende lichamen.

De slagzij die zal optreden ten gevolge van één of ander hellend moment MK van een

(p0

bekende grootte volgt uit de voorwaarde dat voor evenwicht moet gelden dat:

MK = MST

In vele gevallen zal de hoek waarbij hieraan voldaan wordt alleen via _{een grafische}

methode bepaald kunnen worden.

Aangezien de grafiek van de kromme van armen niet het stabiliteitsmoment _{maar de}

arm daarvan weergeeft geldt voor die figuur ais evenwichtsvoorwaarde dat: M(ço) = Msi(co)

M,(ço)

= GZ(p) Uit de figuur blijkt dat er twee hellingshoeken zijn en

watvoor aan de evenwichtsvoorwaarden voldaan wordt.

Bij de hoek 4 treedt eeñ positief stabiële evenwichtsstand op1 Uitgaande van deze evenwichtsstand levert een kleine vergroting van de hellingshoek een stabiliteitsmoment

op dat groter is dan het kenterend moment, zodat bij verdwijnen van deze verstoring

het hchaani terugkeert naar de evenwichtsstand Bij een verkleining van de helhngshoek treedt een groter kenterend moment op dan het stabiliteitsmoment waardoor hetzelfde gebeurt. tO NJ 0.8 0.6 0.0,4 pgV GZ 0 10 20 31 40 53 60 70 80 90 0 (p

Eenzelfde beschouwing voor de tweede evenwichtsstand bij ₂ leert dat er hier sprake is van een negatieve stabiliteit of instabiel evenwicht.

In vele praktijk gevallen volstaat het de kromme van armen te kennen tot gematigde

hellingshoeken.

Uitgaande van de eerder opgezette beschouwing vOor zeer kleine heffingshoeken heeft

Scribanti een formule afge!eid waarmee het mogelijk is om snel de resulterende

hellingshoek te berekenen.

Hij veronderstelde daaiioedathet schip in het gebied; dat door de gehelde waterlijnen bestreken wordt vertikale zijwanden heeft. De doorsnede behoeft niet constant te zijn. Hoe de vorm er buiten dit gebied uit ziet doet voor de afleiding verder niet terzake.

In de praktijk blijkt dit een zeer bruikbare aannarne voor normale schepen.

De afleiding verloopt mm of meer analoog aan die voor zeer kieme helhngshoek,

behalve dat nu ook dé vertikale verschuiving van het dñikkingspunt in de berekening wordt betrokken, aangezien de helli.ng flu niet meer klein verondersteld wordt.

We zien dat:

= + Z'pZço = GM sinço i- MN sinço GM singo + zço sinço

waarin z, de vertikale verschuiving van het zwaartepunt voorstelt.

MN', siflgo wordt wet genoemd de toegevoegde stabiliteit en GM sinço zoals eerder aigeleid de aanvangsstabiliteit.

Met behuip van de verschuivingswet is ook de vertilcale verschuiving van B te bepalen. Zij is:

L.

12

2

v, .y tgço

J .y tgço

y tgça dx

3

_o

V V

.

tgçoJ

dx

7

HMtg2co

Dus: voor de arm van het stabiliteits moment geldt:

= (M + -M tg2ço)sinço

Dit heet dé formule van Scribanti.

Zoals reeds gesteld gaat de formule uit van vertikale zijwanden en geldt zij zeker niet meer als het dék te water komt of de kim boven water. Achteraf moeten: deuitkomsten hiervoor gecontroleerd: worden.

Met behuip van de formule van Scribanti is het mogelijk de armen van statische

stabiliteit voor "norrnale" schepen te benaderen voor hoeken tot circa 15 graden

is de grootte van één of ander kenterend moment bekend dan kan, veelal iteratief, de

resulterende 'hellingshoek van het lichaam bepaald worden, gebruikinakende van het gegeven dat voor een evenwichtssituatie bet kenterend moment en het stabthteitsmoment aan elkaar gelijk dienen te zijn.

Ook kan eventueelde stabifiteit van het resulterende evenwicht beschouwd Worden.

Het tot nu toe behandelde is slechts een summiere introductié op het gebied van de

stabiliteit van drijvende lichamen, hoofdzakelijk bedoeld om enige bekendheid met het

begrip te krijgen.

6. WEERSTAND

In dit hoofdstuk zullen we de weerstand behandelen die een lichaam ondervindt als het zich met een relatieve snellieid verplaatst ten opzichte van een zich omringend medium, zoals een gas of een vloeistcf. We zullen toepassingen hiervan bezien en nagaan in hoe-verre de weerstand gezien in het licht van de toepassing is te optimaliseren. We zUllen de weerstand beschouwen in zowel ideale als reële vloeistoffen en zowel geheel

om-stroomde lichamen alswel lichamen weilce zich voortbewegen op het scheidingsvlak van twee verschillende media..

Eerst zullen flu enkele van belang zijnde begrippen uit de sttomingsleer in vogelvlucht behandeld worden.

DEFINITIES

Over het algemeen zullen we bier kortheidshalve over vloeistoffen spreken hoewel

vloeistoffen en gassen bedoeld worden.

In het algemeen splitst men de beweging van vloeistoffen in twee gedeelten, te weten: de beweging van ideate vloeistoffen en die van reële of viscuese vloeistoffen.

Bij de eerste groep wordt verondersteld dat de vloeistof onsamendrukbaar en wrijyings-loos is, bij de tweede groep verondersteldt men üitslüitend dat de vloeistof onsamen-drukbaar is.

In de natuur komen geen ida1e vloeistoffen voor, maar de bestudering van de

eigen-schappen van deze vloeistoffen is uiterst zinvol aangezien de hierop gebaseerde

berekeningen in de aero- en hydromechanica het maken van gevolgtrekkingen toelaten,

die betrekking hebben op verschijnselen in natuurlijke vloeistoffen voor zover die

relatief weinig wrijving vertonen.

Bij water en lucht is dat bijvoorbeeld het geval in een groot aantal situaties.

Teneinde jets te kunnen zeggen over .de krachten die een stromende vloeistof op een

lichaam uitoefent is het noodzakelijk de beweging van de vloeistofdeeltjes vast te

leggen. Om de toestand van de stroming te kunnen beschrijven maken we gebruik van een aantal hulpmiddelen.

De toestand van een stromingsveld op een bepaald ogenblik kunnen we beschrijven met

behuip van stroomlijnen. Dit zijn lijnen getrokken in het ruiintelijke stromingsveld waarvan de raakIijien aan de kromme in een wifiekeurig punt de richting van de

stroomvector daar terplaatse geeft.

Dit beeld kan op elk tijdstip verschillend zijn. Alleen de richting van de snellieidsvector van een stroomdeeltje wordt vastgelegd door de stroomlijn en niet de grootte.

Stroombanen zijn de banen, die de vloeistofdeeltjes in de ruimtelijke stroning volgen.

Bij een stromingsbeeld dat voortdürend in de tijd verandrt wordt dé stroombaan

Bij een stromingsbeeld dat in de tijd niet meer verandèrt, dat wil zeggen dat in een

bepaald punt van de ruimte de sneiheid nièt meer met de tijd verandort en dus constant is, spreekt men van een stationa ire stroming.

s troomlijnen

In dat zeer specifieke geval: veranderen de stroomlijnen dus niet met de tijd en zijn der-halve de stroomlijnen. en do stroombanen aan elkaar gelijk: eon deeltje verwijdeit zich

nooit van de stroomlijn waarcp het zich eenmaal bevindt (dit is namelijk de defmitie

van eon stroomlijn).

In vele beschouwingen omtrent de gevolgen van eon stromende vloeistof rond een

hchaam wordt ult gegaan van dit laatste type stroming, omdat het ons m staat stelt op relatief eenvoudige wijze eon verband te leggen tussen bet stromingsbeeld, de stroom-sneiheid, de druk en dus de kracht op eon omstroomd lichaam.

Het onderscheid tussen eon stroomlijn en eon stroombaan, aismede hoe m vele gevallen tot eon stationair beold kan worden gekomen, kan aanschouwehjk gemaakt worden met het volgende voorbeeld:

Eon plaat wordt haaks op zijn viak voortbewogen door de vloeistof, welke op grote afstaid van de plaat in rust is.

In de figuur wordt eon vloeistofdeeltje beschouwd, dat zich op het moment van

be-schouwing precies in het punt P bevindt.

vloeistof in rust

s troombanen

vioeistof beweegt

De kwalitatieve vorm van zijn stroombaan, dat is dus de baan die het deeltje doorloopt, volgt uit de constatering dat het deeltje bij de nadering van de plaat eerst vanuit P1 naar rechts in beweging wordt gezet en terzelldertijd omhoog om de plant te ontwijken. Is

de plant het deeltje voorbij dan beweegt deze zich weer naar befleden en gehjktijdig

achter de plaat weer naar voren naar zijn eindtoestand in P2. De in de figuur geschetste globale stroombaan volgt uit het beschreven stromingsbeeld.

De stroming wordt stationair voor een waarnemer die zich met de plant mee beweegt,

immers dit beeld verandert dan schijnbaar voor hem niet meer met de tijd. De plant staat flu ten op zichte van de waarnetner stil en de yloeistof stroomt van rechts naar

links. Stroomlijnen en stroombanen vallen dus nu voor hem sanien.

Dit is een veel gebruikte methode om stromingstoestanden te visualiseren en te

analyseren.

Stroombuizen worden gevormd door de omhulling met stroomlijnen van een

wille-keurig gesloten kromme in het stromingsveld. De vloeibare inhoud van een stroombuis

noemt men een stroomdraad.

Bij stationaire stromingen liebben de stroombuizen een onveranderlijke gestalte.

In het platte viak wordt een 'stroombuis gevormd door de ruimte tussen twee opeen

volgende stroomlijnen. Met behuip van deze stroombuizen in een stationaire stroming kunnen we flu onze beschouwing uitbreiden waardoor er ook jets gezegd kan worden over de grootte van de snetheidsvector van de stroomsnetheid. Hulpmiddel hierbij is:

DE CONTINUITEITS VERGELJJKJNG

Veronderstellen we flu dat het oppervlak van een normale doorsnede van een

stroom-draad in een willekeurig punt A gelijk is aan A1 en de gemiddelde snetheid dar

ter-plaatse V1 en dat voor diezelfde grootheden in het punt B de waarden gelden van A2

en V2.

Ms de beweging van de vloeistof stationair isen de vloeistof bovendien onsamendruk-baar dan geldt dat de hoeveetheid vloeistof in een strobmbuis constant blijft of we! dat:

Massa die binnen komt = massa die er uitgaat