Szeregowy obwód rezonansowy

(1)

Impedancja obwodu:

In[ ]:= z = R +

jedność urojona

I ω L - 1 ωC

Out[ ]= R + ⅈ - 1

C ω +L ω

Zależność reaktancji od pulsacji:

In[ ]:=

wykres

Plotω L //. {L → 1,

stała

C → 1},

-1  ω 

stała

C //. {L → 1,

stała

C → 1}, ω L - 1  ω 

stała

C //. {L → 1,

stała

C → 1}, {ω, 0, 3}

Out[ ]=

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-6 -4 -2 2

Prąd w obwodzie: I=U/z (zespolone!)

Napięcie na kondensatorze: Uc=I (-j 1/ω C) = U/z * (-j 1/ω C);

Uc, U oraz z - zespolone!

A zatem iloraz napięć zespolonych Uc/U

In[ ]:= Ku = -I

ωC

 z

Out[ ]= - ⅈ

C ω R + ⅈ - ¹

C ω+L ω

Podstawiamy: pulsacja rezonansowa : ω0^2 = 1/LC, dobroć cewki : ^{ω L}_R = Q, unormowana pulsacja:_ω0^ω=x

In[ ]:= Kun =

uprość

SimplifyKu //. ω → x ω0,

stała

C → 1  ω0 ^ 2 L, R → ω L  Q,

założenia

Assumptions → {L > 0, , R > 0, ω0 > 0}

Out[ ]= Q

Q + ⅈ x²-Q x²

(2)

In[ ]:=

wykres

Plot[{

wartość bezwzględna

Abs[Kun /. Q → 1],

Abs[Kun /. Q → 10],

Abs[Kun /. Q → 100]},

{x, 0, 2},

zakres wykresu

PlotRange →

wszystko

All]

Out[ ]=

0.5 1.0 1.5 2.0

20 40 60 80 100

Jak widać, przy Q=100 napięcie na kondensatorze może być, przy ω=ω0, ok. 100 razy większe niż napięcie zasilające obwód (przepięcie)

In[ ]:=

wykres

Plot[{

Abs[Kun /. Q → 1],

Abs[Kun /. Q → 2],

Abs[Kun /. Q → 3]}, {x, 0, 2},

zakres wykresu

PlotRange →

wszystko

All]

Out[ ]=

0.5 1.0 1.5 2.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Jak widać, dla małych dobroci Q<10, maksimum modułu Uc występuje dla pulsacji nieco mniejszej niż rezonansowa. Wynika to z faktu, że dla ω0 moduł impedancji jest wprawdzie najmniejszy, ale gdy pulsacja maleje, to reaktancja kondensatora rośnie. Gdy moduł impedancji ma w pobliżu ω0 przebieg dość płaski (a tak właśnie jest dla małych dobroci cewki) to efekt wzrostu reaktancji kondensatora dla ω<ω0 jest silniejszy niż malenie prądu i dlatego moduł Uc osiąga wartość maksy- malną nieco na lewo od ω0 czyli x nieco mniejsze niż 1.

Zależność modułu impedancji od pulsacji unormowanej x:

In[ ]:=

uprość

Simplifyz //. ω → x ω0,

stała

C → 1  ω0 ^ 2 L, L → R Q  ω,

założenia

Assumptions → {L > 0, , R > 0, ω0 > 0}

Out[ ]= R +ⅈQ R - 1 + x² x²

(3)

In[ ]:=

wykres

Plot

AbsR +ⅈQ R - 1 + x² x²

/. {R → 1, Q → 1},

AbsR +ⅈQ R - 1 + x² x²

/. {R → 1, Q → 10},

AbsR +ⅈQ R - 1 + x² x²

/. {R → 1, Q → 100}, {x, 0, 10},

zakres wykresu

PlotRange → {0, 100}

Out[ ]=

0 2 4 6 8 10

20 40 60 80 100

Jak widać, moduł impedancji dla Q=1 ma w pobliżu ω0 (x=1) przebieg dość płaski.

In[ ]:=

wykres

Plot

AbsR +ⅈQ R - 1 + x²

x² /. {R → 1, Q → 1},

AbsR +ⅈQ R - 1 + x²

x² /. {R → 1, Q → 10},

AbsR +ⅈQ R - 1 + x²

x² /. {R → 1, Q → 100}, {x, 0.5, 1.5},

zakres wykresu

PlotRange → {0.99, 1.1}

Out[ ]=

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10

(4)

In[ ]:=

wykres

Plot

AbsR +ⅈQ R - 1 + x² x²

/. {R → 1, Q → 1},

AbsR +ⅈQ R - 1 + x² x²

/. {R → 1, Q → 10},

AbsR +ⅈQ R - 1 + x² x²

/. {R → 1, Q → 100}, {x, 0.9, 1.1},

zakres wykresu

PlotRange → {1, 1.1}

Out[ ]=

0.90 0.95 1.00 1.05 1.10

1.02 1.04 1.06 1.08 1.10

A teraz zbadamy fazę impedancji wypadkowej obwodu:

In[ ]:= zn =

uprość

Simplifyz //. ω → x ω0,

stała

C → 1  ω0 ^ 2 L, L → R Q  ω,

założenia

Assumptions → {L > 0, , R > 0, ω0 > 0}

Out[ ]= R +ⅈQ R - 1 + x² x²

In[ ]:=

wykres

Plot[{

argument liczby zespolonej

Arg[zn] /. {R → 1, Q → 1},

Arg[zn] /. {R → 1, Q → 10},

Arg[zn] /. {R → 1, Q → 100}},

{x, 0, 10},

zakres wykresu

PlotRange →

wszystko

All]

Out[ ]=

2 4 6 8 10

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

In[ ]:=

granica

Limit[

Arg[zn] /. {R → 1, Q → 100}, x → 0]

Out[ ]= -π 2

(5)

In[ ]:=

granica

Limit[

Arg[zn] /. {R → 1, Q → 100}, x →

nieskończoność

Infinity]

Out[ ]= ArcTan[100]

In[ ]:=

granica

Limit[

Arg[zn] /. {R → 1}, {x →

nieskończoność

Infinity, Q →

nieskończoność

Infinity}]

Out[ ]=

π 2

Tzn. poniżej pulsacji rezonansowej obwód ma charakter pojemnościowy a powyżej ω0 - induk- cyjny (tym bardziej im dobroć cewki jest większa).