Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

1 Baza przestrzeni liniowej

Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a. Powiemy, ˙ze podzbi´_, or X ⊆ V jest maksymalnym zbio- rem liniowo niezale ˙znym, je´sli X jest zbiorem liniowo niezale˙znym oraz dla ka˙zdego zbioru liniowo niezale˙znego Y ⊆ V takiego, ˙ze X ⊆ Y jest X = Y .

Definicja 7.1. Ka˙zdy maksymalny liniowo niezale˙zny podzbi´or X wektor´ow przestrzeni liniowej V nazywamy baza tej przestrzeni._,

Twierdzenie 7.2. Ka˙zdy liniowo niezale˙zny zbi´or wektor´ow X0 przestrzeni liniowej V mo˙zna rozszerzy´c do bazy X ⊇ X₀ tej przestrzeni.

Dow´od. Niech A bedzie rodzin_, a wszystkich podzbior´_, ow liniowo niezale˙znych przestrzeni V zawierajacych zbi´_, or X0. Wtedy A 6= ∅, bo X0 ∈ A. Ponadto zbi´or A jest cze´_,sciowo uporzadkowany przez inkluzj_, e zbior´_, ow. Je˙zeli B jest la´ncuchem w A, tzn. dla dowolnych Y, Z ∈ B jest Y ⊆ Z lub Z ⊆ Y , to Y0 =S

Y ∈BY te˙z jest zbiorem liniowo niezale˙znym, gdy˙z dla dowolnych α1, . . . , αn ∈ Y₀ istnieja Y_, 1, . . . , Yn ∈ B takie, ˙ze α_i ∈ Y_i dla i = 1, . . . , n.

Wtedy istnieje k ≤ n takie, ˙ze Y_i ⊆ Y_k dla ka˙zdego i = 1, . . . , n, skad α_{, 1}, . . . , α_n ∈ Y_k. Ale zbi´or Yk jest liniowo niezale˙zny, wiec zbi´_, or {α1, . . . , αn} te˙z jest liniowo niezale˙zny. Zatem w A ka˙zdy la´ncuch ma ograniczenie g´orne, wiec z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje w A element_, maksymalny X, kt´ory jest szukana baz_, a przestrzeni V zawieraj_, ac_, a X_{, 0}. 2

Poniewa˙z zbi´or pusty jest liniowo niezale˙zny, wiec z twierdzenia 7.2 mamy natychmiast_, nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 7.3. Ka˙zda przestrze´n liniowa posiada baze. 2_,

Twierdzenie 7.4. Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a. Zbi´_, or X ⊆ V jest baza przestrzeni V_, wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem liniowo niezale˙znym oraz V = lin(X) (tzn. X generuje V ).

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze X jest baza przestrzeni V . W´_, owczas X jest zbiorem liniowo nie- zale˙znym. We´zmy dowolne α ∈ V i za l´o˙zmy, ˙ze α 6∈ lin(X). Wtedy z twierdzenia 6.30 wynika,

˙ze α 6∈ X oraz zbi´or X ∪ {α} jest liniowo niezale˙zny. Zatem X nie jest maksymalnym zbiorem liniowo niezale˙znym i mamy sprzeczno´s´c.

Na odwr´ot, za l´o˙zmy, ˙ze zbi´or X jest liniowo niezale˙zny oraz V = lin(X). We´zmy dowolny liniowo niezale˙zny zbi´or Y ⊆ V taki, ˙ze X ⊆ Y . Gdyby X 6= Y , to dla pewnego α ∈ Y by loby,

˙ze α 6∈ X i zbi´or X ∪ {α} ⊆ Y jest liniowo niezale˙zny. Zatem z twierdzenia 6.30 mieliby´smy, ˙ze α 6∈ lin(X) = V , co prowadzi do sprzeczno´sci. Zatem X = Y i zbi´or X jest baza przestrzeni V ._, 2

Przyk lad 7.5. Poniewa˙z zbi´or {1, x, x², . . . } generuje przestrze´n R[x] i jest liniowo nie- zale˙zny, wiec na mocy twierdzenia 7.4 jest on baz_, a tej przestrzeni. 2_,

Przyk lad 7.6. Niech n ∈ N. W´owczas z twierdzenia 7.4 oraz z przyk lad´ow 6.16 i 6.23 wynika od razu, ˙ze zbi´or {ε₁, . . . , ε_n} jest baza przestrzeni R_, ⁿ. Nazywamy ja baz_, a kanoniczn_, a. 2_,

Z twierdze´n 6.17, 7.11 i 7.16 wynika od razu nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 7.7. Niech α₁, . . . , α_nbed_, a parami r´_, o˙znymi wektorami i niech β₁, . . . , β_n bed_, a_, parami r´o˙znymi wektorami przestrzeni liniowej V . Za l´o˙zmy, ˙ze uk lad wektor´ow (β1, . . . , βn) powstaje z uk ladu (α1, . . . , αn) przez kolejne zastosowanie sko´nczonej liczby operacji elemen- tarnych. W´owczas zbi´or {β₁, . . . , β_n} jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´_, or {α₁, . . . , αn} jest baza tej przestrzeni. 2_,

Twierdzenie 7.8. Niech α1, . . . , αn bed_, a wektorami przestrzeni liniowej V . W´_, owczas ka˙zdy maksymalny (wzgledem liczby element´_, ow) podzbi´or liniowo niezale˙zny A ⊆ {α₁, . . . , α_n} jest baza podprzestrzeni lin(α_{, 1}, . . . , α_n).

Dow´od. Niech A ⊆ {α1, . . . , αn} bedzie maksymalnym (wzgl_, edem liczby element´_, ow) pod- zbiorem liniowo niezale˙znym. W´owczas oczywi´scie lin(A) ⊆ lin(α₁, . . . , α_n) = W . Niech i = 1, . . . , n. Je´sli α_i ∈ A, to α_i ∈ lin(A); je´sli za´s α_i 6∈ A, to z maksymalno´sci A wy- nika, ˙ze zbi´or A ∪ {αi} jest liniowo zale˙zny. Zatem z twierdzenia 6.30 α_i ∈ lin(A). Stad_, {α₁, . . . , α_n} ⊆ lin(A), czyli W ⊆ lin(A) i ostatecznie lin(A) = W . Zatem z twierdzenia 7.4 zbi´or A jest baza podprzestrzeni W . 2_,

Twierdzenie 7.9. Niech α₁, . . . , α_n bed_, a parami r´_, o˙znymi wektorami przestrzeni liniowej V . W´owczas zbi´or {α1, . . . , αn} jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy ka˙zdy wektor_, α ∈ V mo˙zna jednoznacznie zapisa´c w postaci

α = a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n dla pewnych a₁, . . . , a_n∈ R.

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze zbi´or {α1, . . . , αn} jest baza przestrzeni V . W´_, owczas z twierdzenia 7.4 mamy, ˙ze V = lin(α₁, . . . , α_n) oraz zbi´or {α₁, . . . , α_n} jest liniowo niezale˙zny. Zatem dla dowolnego α ∈ V istnieja a_, 1, . . . , an∈ R takie, ˙ze α = a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n. Je´sli b1, . . . , bn∈ R sa takie, ˙ze α = b_, 1◦ α₁+ . . . + bn◦ α_n, to a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n= b1◦ α₁+ . . . + bn◦ α_n, czyli (a₁− b₁) ◦ α₁+ . . . + (a_n− b_n) ◦ α_n= θ, wiec z liniowej niezale˙zno´_, sci zbioru {α₁, . . . , α_n} mamy,

˙ze ai− b_i = 0, czyli ai= bi dla i = 1, . . . , n.

Na odwr´ot, je˙zeli a1, . . . , an ∈ R sa takie, ˙ze a_, 1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n = θ, to a1◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n= 0 ◦ α₁+ . . . + 0 ◦ α_n, skad z jednoznaczno´_, sci zapisu wektora a_i = 0 dla i = 1, . . . , n, czyli zbi´or {α1, . . . , αn} jest liniowo niezale˙zny. Ponadto z za lo˙zenia V = lin(α₁, . . . , αn), wiec_, z twierdzenia 7.4 zbi´or {α₁, . . . , α_n} jest baza przestrzeni V . 2_,

Definicja 7.10. Niech {α₁, . . . , α_n} bedzie baz_, a przestrzeni liniowej V ._, W´owczas ciag_, (α₁, . . . , α_n) nazywamy baza uporz_, adkowan_, a przestrzeni V . Niech α ∈ V . Wtedy na mocy_, twierdzenia 7.9 istnieje dok ladnie jeden ciag (a_, 1, . . . , an) ∈ Rⁿtaki, ˙ze α = a1◦α₁+. . .+an◦α_n. Ciag (a_{, 1}, . . . , a_n) nazywamy ciagiem wsp´_, o lrzednych wektora_, α w bazie (α₁, . . . , α_n), a element a_i, dla ka˙zdego i = 1, . . . , n, nazywa sie i-t_, a wsp´_, o lrzedn_, a wektora α w tej bazie._,

Wniosek 7.11. Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a i niech, dla pewnej liczby naturalnej n,_, (α₁, . . . , α_n) bedzie baz_, a uporz_, adkowan_, a tej przestrzeni. Przyporz_, adkujmy ka˙zdemu wektorowi_, α ∈ V , ciag jego wsp´_, o lrzednych w bazie (α_, 1, . . . , αn). Otrzymane w ten spos´ob odwzorowanie φ jest bijekcja zbioru V na zbi´_, or Rⁿ. Przy tym φ(αi) = εi dla i = 1, . . . , n.2

Definicja 7.12. Odwzorowanie φ okre´slone w powy˙zszym wniosku nazywamy uk ladem wsp´o lrzednych wyznaczonym przez baz_, e (α_{, 1}, . . . , α_n).

2 Wymiar przestrzeni liniowej

Lemat 7.13. Niech wektory α₁, . . . , α_n tworza baz_, e przestrzeni V i niech α = a_{, 1}◦ α₁ + . . . + a_n◦ α_n, przy czym a_j 6= 0. W´owczas wektory

α₁, . . . , α_j−1, α, α_j+1, . . . , α_n (1) te˙z tworza baz_, e przestrzeni V ._,

Dow´od. Zauwa˙zmy, ˙ze wektory (1) powstaja z wektor´_, ow α₁, . . . , α_nprzez kolejne wykonanie nastepuj_, acych operacji elementarnych:_,

a_j · w_j, w_j+ a₁· w₁, . . . , w_j+ a_j−1· w_j−1, w_j+ a_j+1· w_j+1, . . . , w_j+ a_n· w_n. Zatem na mocy twierdzenia 7.18, wektory (1) tworza baz_, e przestrzeni V . 2_,

Twierdzenie 7.14 (Steinitza o wymianie). Je´sli wektory α₁, . . . , α_n tworza baz_, e prze-_, strzeni liniowej V , a wektory β1, . . . , βs sa liniowo niezale˙zne, to_,

(i) s ≤ n oraz

(ii) spo´sr´od wektor´ow α1, . . . , αn mo˙zna wybra´c n − s wektor´ow, kt´ore lacznie z wektorami_, β1, . . . , βs tworza baz_, e przestrzeni V ._,

Dow´od. Zastosujemy indukcje wzgl_, edem s. Dla s = 0 teza jest oczywista. Za l´_, o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla liczb mniejszych od pewnej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektor´ow liniowo niezale˙znych β1, . . . , βs. Wektory β1, . . . , βs−1 sa liniowo niezale˙zne, a wi_, ec z za lo˙zenia induk-_, cyjnego s − 1 ≤ n i istnieje n − s + 1 = n − (s − 1) wektor´ow spo´sr´od wektor´ow α₁, . . . , α_n, kt´ore lacznie z β_, 1, . . . , βs−1 tworza baz_, e przestrzeni V . Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, ˙ze_, tymi wektorami sa α_{, 1}, . . . , α_n−s+1.

Wyka˙zemy najpierw, ˙ze s − 1 < n. W przeciwnym razie by loby n = s − 1 (bo s − 1 ≤ n), a zatem ju˙z wektory β1, . . . , βs−1 tworzy lyby baze przestrzeni V , a st_, ad wynika loby, ˙ze_, β_s ∈ lin(β₁, . . . , β_s−1), co na mocy twierdzenia 6.30 prowadzi do sprzeczno´sci (gdy˙z wektory β₁, . . . , β_s sa liniowo niezale˙zne). Wobec tego s − 1 < n, a st_, ad s ≤ n. To dowodzi (i)._,

Poniewa˙z wektory β1, . . . , βs−1, α1, . . . , αn−s+1 tworza baz_, e przestrzeni V , wi_, ec β_, s jest ich kombinacja liniow_, a. Wobec liniowej niezale˙zno´_, sci wektor´ow β₁, . . . , β_s i twierdzenia 6.30, w kombinacji liniowej przedstawiajacej β_, s, co najmniej jeden z wektor´ow α1, . . . , αn−s+1wystepuje_, ze wsp´o lczynnikiem r´o˙znym od zera. Bez zmniejszania og´olno´sci rozwa˙za´n mo˙zemy przyja´_,c, ˙ze a_n−s+1 6= 0. Wtedy z lematu 7.13 wektory β₁, . . . , β_s−1, α₁, . . . , α_n−s, β_s tworza baz_, e prze-_, strzeni V , czyli wektory β1, . . . , βs, α1, . . . , αn−s tworza baz_, e przestrzeni V , co ko´_, nczy dow´od twierdzenia. 2

Wniosek 7.15. Je´sli n-elementowy zbi´or jest baza przestrzeni liniowej V , to ka˙zda baza tej_, przestrzeni sk lada sie z dok ladnie n wektor´_, ow.

Dow´od. Niech wektory α1, . . . , αn tworza baz_, e przestrzeni liniowej V . Niech X b_, edzie_, inna baz_, a tej przestrzeni. Gdyby zbi´_, or X mia l wiecej ni˙z n element´_, ow, to by lyby one liniowo niezale˙zne i otrzymaliby´smy sprzeczno´s´c z twierdzeniem Steinitza o wymianie. Zatem |X| ≤ n.

Ale wektory α1, . . . , αnsa liniowo niezale˙zne i zbi´_, or sko´nczony X jest baza przestrzeni V , wi_, ec_, znowu z twierdzenia Steinitza o wymianie n ≤ |X|, czyli ostatecznie |X| = n. 2

Definicja 7.16. Liczbe element´_, ow dowolnej sko´nczonej bazy przestrzeni liniowej V nazy- wamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim V .

W ten spos´ob wymiar jest okre´slony dla wszystkich takich przestrzeni, kt´ore maja sko´_, nczona_, baze. Je´_, sli dana przestrze´n liniowa V nie ma sko´nczonej bazy, to m´owimy, ˙ze jej wymiar jest niesko´nczony i piszemy dim V = ∞. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze wszystkie bazy dowolnej prze- strzeni liniowej V maja t_, e sam_, a moc. Wobec tego mo˙zna okre´_, sli´c wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy przestrzeni V .

Przyk lad 7.18. Poniewa˙z przestrze´n Rⁿposiada baze n-elementow_, a (np. baz_, e kanoniczn_, a),_, wiec dim R_, ⁿ= n. 2

Przyk lad 7.19. Poniewa˙z zbi´or pusty jest baza przestrzeni zerowej {θ}, wi_, ec dim{θ} = 0._, 2

Przyk lad 7.20. Poniewa˙z zbi´or {1, x, x², . . . } jest baza przestrzeni R[x], wi_, ec dim R[x] = ∞._, 2

Przyk lad 7.21. W przestrzeni liniowej R^∞ wektory 1 = [1, 0, 0, . . . ], 2 = [0, 1, 0, . . . ], . . . sa liniowo niezale˙zne. Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim R_, ^∞= ∞. 2

Twierdzenie 7.22. Je´sli przestrze´n liniowa V ma wymiar n, to ka˙zda jej podprzestrze´n W ma wymiar nie wiekszy ni˙z n._,

Dow´od. Niech X bedzie baz_, a podprzestrzeni W . Wtedy zbi´_, or X jest liniowo niezale˙zny, wiec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie |X| ≤ n. 2_,

Twierdzenie 7.23. Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiaru sko´nczo- nego r´ownowa˙zne sa warunki:_,

(i) dim W = dim V , (ii) W = V .

Dow´od. (ii)⇒(i). Oczywiste. (i)⇒(ii). Oznaczmy n = dim V . Wtedy istnieje baza {α₁, . . . , αn} przestrzeni V . Ale dim W = n, wiec istnieje baza {β_, 1, . . . , βn} podprzestrzeni W . Zatem wektory β₁, . . . , β_nsa liniowo niezale˙zne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie_, mo˙zna je uzupe lni´c do bazy przestrzeni V , n − n = 0 wektorami wybranymi spo´sr´od wektor´ow α1, . . . , αn. Zatem wektory β1, . . . , βn tworza baz_, e przestrzeni V , sk_, ad V = lin(β_, 1, . . . , βn) = W . 2

Z twierdzenia 7.8 wynika od razu nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 7.24. Niech α₁, . . . , α_n bed_, a wektorami przestrzeni liniowej V . W´_, owczas

dim lin(α1, . . . , αn) ≤ n. Ponadto dim lin(α1, . . . , αn) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α₁, . . . , α_n sa liniowo niezale˙zne. 2_,

Twierdzenie 7.25. Niech α₁, . . . , α_n bed_, a wektorami przestrzeni liniowej V wymiaru n._, W´owczas r´ownowa˙zne sa warunki:_,

(i) zbi´or {α1, . . . , αn} jest baza przestrzeni V ,_, (ii) zbi´or {α₁, . . . , α_n} jest liniowo niezale˙zny, (iii) zbi´or {α1, . . . , αn} generuje przestrze´n V .

Dow´od. (i)⇒(ii). Oczywiste. (ii)⇒(iii). Wynika od razu z twierdzenia Steinitza o wymianie.

(iii)⇒(i). Z za lo˙zenia wynika, ˙ze V = lin(α₁, . . . , α_n). Zatem dim lin(α₁, . . . , α_n) = n i na mocy twierdzenia 7.23 zbi´or {α1, . . . , αn} jest liniowo niezale˙zny. Zatem ostatecznie ten zbi´or jest baza przestrzeni V . 2_,

Twierdzenie 7.26. Niech V₁ i V₂ bed_, a sko´_, nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami prze- strzeni liniowej V . W´owczas podprzestrzenie V₁∩ V₂ i V₁+ V₂ sa r´_, ownie˙z sko´nczenie wymiarowe i zachodzi wz´or:

dim(V1+ V2) = dim V1+ dim V2− dim(V₁∩ V₂). (2)

Dow´od. Poniewa˙z V1∩ V₂ jest podprzestrzenia przestrzeni sko´_, nczenie wymiarowej V1, wiec z_, twierdzenia 7.21 przestrze´n V₁∩ V₂ jest sko´nczenie wymiarowa. Niech {α₁, . . . , α_k} bedzie baz_, a_, przestrzeni V₁∩V₂. Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbi´or mo˙zna uzupe lni´c do bazy {α₁, . . . , αn, β1, . . . , βs} przestrzeni V₁i mo˙zna go te˙z uzupe lni´c do bazy {α1, . . . , α_k, γ1, . . . , γr} przestrzeni V₂. Wtedy dim(V₁∩V₂) = k, dim V₁= k+s i dim V₂ = k+r, wiec pozostaje wykaza´_, c,

˙ze dim(V1+V2) = k+s+r. Ale V1+V2 = lin(α1, . . . , αk, β1, . . . , βs)+lin(α1, . . . , αk, γ1, . . . , γr)

= lin(α1, . . . , α_k, β1, . . . , βs, γ1, . . . , γr), wiec wystarczy wykaza´_, c, ˙ze wektory α1, . . . , α_k, β₁, . . . , β_s, γ₁, . . . , γ_r sa liniowo niezale˙zne. W tym celu we´_, zmy dowolne skalary a₁, . . . , a_k, b₁, . . . , bs, c1, . . . , cr ∈ R takie, ˙ze

a1 ◦ α₁ + . . . + a_k ◦ α_k + b1 ◦ β₁ + . . . + bs◦ β_s + c1 ◦ γ₁ + . . . + cr ◦ γ_r = θ. Oznaczmy:

α = a₁ ◦ α₁ + . . . + a_k ◦ α_k, β = b₁ ◦ β₁+ . . . + b_s◦ β_s, γ = c₁ ◦ γ₁ + . . . + c_r◦ γ_r. Wtedy γ = −(α + β) ∈ V1∩ V₂. Zatem istnieja d_, 1, . . . , dk ∈ R takie, ˙ze γ = d1◦ α₁+ . . . + dk◦ α_k, skad c_{, 1}◦ γ₁+ . . . + c_r◦ γ_r+ (−d₁) ◦ α₁+ . . . + (−d_k) ◦ α_k= θ. Zatem z liniowej niezale˙zno´sci wektor´ow α₁, . . . , α_k, γ₁, . . . , γ_r mamy, ˙ze c₁ = . . . = c_r = −d₁ = . . . = −d_k = 0, czyli γ = θ oraz θ = α + γ. Zatem z liniowej niezale˙zno´sci wektor´ow α1, . . . , αk, β1, . . . , βs otrzymamy, ˙ze a₁ = . . . = a_k = b₁ = . . . = b_s = 0 i ostatecznie wektory α₁, . . . , α_k, β₁, . . . , β_s, γ₁, . . . , γ_r sa_, liniowo niezale˙zne. 2

Wniosek 7.27. Niech V₁, V₂ bed_, a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V wymiaru n._, Wtedy dim(V1∩ V₂) ≥ dim V1+ dim V2− n.

Dow´od. Poniewa˙z dim(V₁ + V₂) ≤ n, wiec z twierdzenia 7.25 uzyskujemy, ˙ze dim V_{, 1} + dim V₂− dim(V₁∩ V₂) ≤ n, skad mamy tez_, e. 2_,

3 Suma prosta podprzestrzeni

Lemat 7.28. Niech V₁ i V₂ bed_, a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Nast_, epuj_, ace_, warunki sa r´_, ownowa˙zne:

(i) V_i∩ V₂ = {θ};

(ii) Dla dowolnych α1, β1 ∈ V₁, α2, β2∈ V₂ z tego, ˙ze α1+ α2= β1+ β2 wynika, ˙ze α1= β1 i α2 = β2.

Dow´od. (i)⇒(ii). We´zmy dowolne α_i, β_i ∈ V_i dla i = 1, 2 takie, ˙ze α₁+ α₂ = β₁+ β₂. Wtedy α1− β₁ = α2− β₂ ∈ V₁∩ V₂. Ale V1∩ V₂ = {θ}, wiec α_, 1− β₁ = α2− β₂ = θ, skad α_, 1 = β1 i α2 = β2.

(ii)⇒(i). We´zmy dowolne α ∈ V₁∩ V₂. Poniewa˙z α + θ = θ + α oraz α, θ ∈ V₁ i θ, α ∈ V₂, wiec α = θ i θ = α, sk_, ad V_, 1∩ V₂ = {θ}. 2

Definicja 7.29. M´owimy, ˙ze przestrze´n liniowa V jest suma prost_, a swoich podprzestrzeni V_, 1i V₂, gdy V = V₁+ V₂ oraz spe lniony jest kt´orykolwiek warunek (a wiec oba warunki) powy˙zszego_, lematu. Piszemy wtedy V = V₁⊕ V₂. M´owimy te˙z, ˙ze podprzestrze´n V₂ jest dope lnieniem liniowym podprzestrzeni V1 (w przestrzeni V ).

Twierdzenie 7.30. Dla dowolnej podprzestrzeni V1 przestrzeni liniowej V istnieje podprze- strze´n W ⊆ V taka, ˙ze V = V₁⊕ W .

Dow´od. Z twierdzenia 7.3 podprzestrze´n V₁ posiada baze X._, Zatem z twierdzenia 7.2 istnieje podzbi´or Y ⊆ V roz laczny z X i taki, ˙ze zbi´_, or X ∪ Y jest baza przestrzeni V . Ponadto_, V₁ = lin(X) oraz V = lin(X ∪ Y ). Niech W = lin(Y ). Wtedy z twierdzenia 6.9 mamy,

˙ze lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ), czyli V = V₁ + W . Niech α ∈ V₁ ∩ W . Wtedy istnieja_, α1, . . . , αn∈ X, β₁, . . . , β_k∈ Y , a₁, . . . , an, b1, . . . , b_k ∈ R takie, ˙ze α = a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n= b₁◦ β₁+ . . . + b_k◦ β_k, skad a_{, 1}◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n+ (−b₁) ◦ β₁+ . . . + (−b_k) ◦ β_k= θ. Zatem z liniowej niezale˙zno´sci zbioru X ∪ Y mamy, ˙ze a1= . . . = an= −b1 = . . . = −bk= 0, czyli α = θ i V1∩ W = {θ}. Zatem V = V₁⊕ W . 2

4 Hiperp laszczyzny liniowe

Definicja 7.31. Niech V bedzie n-wymiarow_, a przestrzeni_, a liniow_, a. Hiperp laszczyzn_, a_, liniowa przestrzeni V nazywamy ka˙zd_, a podprzestrze´_, n przestrzeni V o wymiarze n − 1.

Twierdzenie 7.32. Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a wymiaru n i niech V_{, 1} bedzie pod-_, przestrzenia wymiaru k. W´_, owczas V₁ jest cze´_,scia wsp´_, olna n − k hiperp laszczyzn liniowych_, przestrzeni V .

Dow´od. Niech {α₁, . . . , α_k} bedzie baz_, a podprzestrzeni V_{, 1}. Z twierdzenia Steinitza o wy- mianie mo˙zemy ja uzupe lni´_, c do bazy {α₁, . . . , α_k, α_k+1, . . . , α_n} przestrzeni V . Niech W_i = lin(α1, . . . , α_k, . . . , α_k+i−1, α_k+i+1, . . . , αn) dla i = 1, . . . , n − k. W´owczas W1, . . . , W_n−k sa_, hiperp laszczyznami zawierajacymi V_{, 1}, skad V_{, 1}⊆ W₁∩ . . . ∩ W_n−k. Niech α ∈ W₁∩ . . . ∩ W_n−k. Wtedy istnieja a_, 1, . . . , an ∈ R takie, ˙ze α = a1 ◦ α₁ + . . . + an◦ α_n. Dla liczb naturalnych i ≤ n − k mamy, ˙ze α ∈ Wi, wiec wektor α mo˙zna przedstawi´_, c w postaci α = ai1◦ α₁+ . . . +

a_{i k+i−1}◦ α_k+i−1+ a_{i k+i+1}◦ α_k+i+1+ . . . + ain◦ α_n. Z jednoznaczno´sci przedstawienia wektora α w postaci kombinacji liniowej wektor´ow bazy (α₁, . . . , α_n) wynika, ˙ze a_k+i = 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n − k. Wobec tego α = a1◦ α₁+ . . . + ak◦ α_k∈ V₁. Zatem W1∩ . . . ∩ W_n−k ⊆ V₁ i ostatecznie V1= W1∩ . . . ∩ W_n−k. 2

Twierdzenie 7.33. Niech l bedzie liczb_, a naturaln_, a. Niech V_, 1, . . . , V_lbed_, a hiperp laszczyznami_, n-wymiarowej przestrzeni liniowej V . W´owczas dim(V₁∩ . . . ∩ V_l) ≥ n − l.

Dow´od. Dla l = 1 teza jest oczywi´scie prawdziwa. Za l´o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla pewnego naturalnego l = k i niech V₁, . . . , V_k+1 bed_, a hiperp laszczyznami przestrzeni V . Z za lo˙zenia_, indukcyjnego wynika, ˙ze dim(V₁∩ . . . ∩ V_k) ≥ n − k, a z wniosku 7.26 otrzymujemy

dim(V1∩ . . . ∩ V_k∩ V_k+1) ≥ dim(V1∩ . . . ∩ V_k) + n − 1 − n. Zatem dim(V1∩ . . . ∩ V_k∩ V_k+1) ≥ n − k + n − 1 − n = n − (k + 1). Z zasady indukcji wynika zatem, ˙ze nasze twierdzenie jest prawdziwe dla ka˙zdej liczby naturalnej l. 2

Z twierdze´n 7.32 i 7.33 wynika od razu nastepuj_, acy_,

Wniosek 7.34. Ka˙zda k-wymiarowa podprzestrze´n W n-wymiarowej przestrzeni liniowej V daje sie przedstawi´_, c jako przeciecie n − k, ale nie mniejszej liczby hiperp laszczyzn liniowych. 2_,

5 Podprzestrzenie przestrzeni wsp´ o lrz ednych

Twierdzenie 7.35. Podprzestrze´n W przestrzeni Rⁿ wyznaczona przez r´ownanie a1x1 + . . . + anxn = 0, gdzie a1, . . . , an ∈ R i co najmniej jeden ze wsp´o lczynnik´ow a1, . . . , an jest r´o˙zny od zera, jest hiperp laszczyzna liniow_, a._,

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze wsp´o lczynnik ai 6= 0 dla pewnego i = 1, . . . , n. Podprzestrze´n W jest r´o˙zna od Rⁿ, gdy˙z wektor ε_i nie jest rozwiazaniem rozpatrywanego r´_, ownania, a stad dim W ≤_, n − 1. Dla dowodu r´owno´sci dim W = n − 1 wystarczy wiec wskaza´_, c n − 1 liniowo niezale˙znych rozwiaza´_, n r´ownania a1x1+ . . . + anxn= 0. Latwo sprawdzi´c, ˙ze wektory ε1−^a_a¹

i ◦ ε_i, . . . , εi−1−

ai−1

ai ◦ ε_i, ε_i+1−^ai+1_a

i ◦ ε_i, . . . , ε_n−^a_aⁿ

i ◦ ε_i czynia zado´_, s´c temu ˙zadaniu. 2_, Z twierdze´n 7.26 i 7.35 wynika od razu nastepuj_, acy_,

Wniosek 7.36. Podprzestrze´n przestrzeni Rⁿ wyznaczona przez uk lad m r´owna´n jednorod- nych liniowych ma wymiar nie mniejszy ni˙z n − m. 2

Twierdzenie 7.37. Ka˙zda hiperp laszczyzna liniowa W przestrzeni liniowej Rⁿ jest wyzna- czona przez pewne r´ownanie a1x1+ . . . + anxn= 0, gdzie a1, . . . , an∈ K.

Dow´od. Niech wektory α_i= [a_i1, . . . , a_in] dla i = 1, . . . , n − 1 tworza baz_, e hiperp laszczyzny_, W i niech V bedzie podprzestrzeni_, a opisan_, a przez uk lad r´_, owna´n















a₁₁x₁ + . . . + a_1nx_n = 0 a₂₁x₁ + . . . + a_2nx_n = 0

... ... . .. ... ... ... a_{n−1 1}x₁ + . . . + a_{n−1 n}x_n = 0

. (3)

Z wniosku 7.36 wynika, ˙ze dim V ≥ n − (n − 1) = 1, a wiec podprzestrze´_, n V zawiera nieze- rowy wektor. Niech [b₁, . . . , b_n] bedzie niezerowym wektorem podprzestrzeni V . Przestrze´_, n V1 wyznaczona przez r´ownanie b1x1 + . . . + bnxn = 0 jest na mocy twierdzenia 7.35 hi- perp laszczyzna liniow_, a. Ponadto z okre´_, slenia wektora [b1, . . . , bn] wynika, ˙ze wektory αj dla j = 1, . . . , n−1 nale˙za do hiperp laszczyzny V_{, 1}, a zatem W = lin(α₁, . . . , α_n−1) ⊆ V₁. Poniewa˙z dim W = dim V1 = n − 1, wiec z twierdzenia 7.22, W = V_, 1. 2

Z twierdzenia 7.37 i z wniosku 7.34 mamy natychmiast nastepuj_, acy_,

Wniosek 7.38. Ka˙zda k-wymiarowa podprzestrze´n przestrzeni liniowej Rⁿ jest wyznaczona przez uk lad z lo˙zony z n − k, ale nie mniej, r´owna´n liniowych jednorodnych. 2