równowaga płaskiego układu sił, przestrzenny układ sił – redukcja, warunki

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

IB - Wykład Nr 3

Statyka: płaski i przestrzenny układ sił

równowaga płaskiego układu sił, przestrzenny układ sił – redukcja, warunki

równowagi

3.1. Równowaga płaskiego układu sił

Przykład 3.1:

Obliczyć reakcje w podporach belki obciążonej jak na rysunku.

Dane: Szukane:

q, a, P=qa

𝜶 = 30° R

, R

𝑃

𝑛

𝑖=1

= 0 𝑃

𝑛

𝑖=1

= 0

−𝑹

+ 𝑷

= 0



𝑀

𝑛

𝑖=1

= 0

a a

A B

P q

𝑹

𝑹

𝑹

M>0 M<0 y

x z

𝑷

𝑷

𝑹



𝑹

− 𝑷

− 𝒒𝒂 + 𝑹

= 0



𝑸 = 𝒒𝒂

𝑸

−𝑷

𝒂 − 𝒒𝒂 ∙ 𝟑

𝟐 𝒂 + 𝑹

∙ 𝟐𝒂 = 0



Obciążenie ciągłe zastępujemy siłą skupioną

przyłożoną pod „środkiem ciężkości” obciążenia ciągłego, równą całkowitej wartości tego obciążenia

np.

a

q

𝑸 =𝟏 𝟐𝒒𝒂

C 𝟏 𝟑 𝒂 𝑸

(1)

(2)

(3)

𝑷

= 𝑷 ∙ sin 𝜶 = 𝒒𝒂 ∙ sin 𝜶 (4) 𝑷

= 𝑷 ∙ cos 𝜶 = 𝒒𝒂 ∙ cos 𝜶 (5)

© T. Machniewicz

3.1. Równowaga płaskiego układu sił

Przykład 3.1:

Obliczyć reakcje w podporach belki obciążonej jak na rysunku.

Dane: Szukane:

q, a, P=qa

𝜶 = 30° R

, R

𝑃

𝑛

𝑖=1

= 0 𝑃

𝑛

𝑖=1

= 0

−𝑹

+ 𝑷

= 0



𝑀

𝑛

𝑖=1

= 0

a a

A B

P q

𝑹

𝑹

𝑹

M>0 M<0 y

x z

𝑷

𝑷

𝑹



𝑹

− 𝑷

− 𝒒𝒂 + 𝑹

= 0



𝑸 = 𝒒𝒂 𝑸

−𝑷

𝒂 − 𝒒𝒂 ∙ 𝟑

𝟐 𝒂 + 𝑹

∙ 𝟐𝒂 = 0



𝑸

(1)

(2)

(3)

𝑷

= 𝑷 ∙ sin 𝜶 = 𝒒𝒂 ∙ sin 𝜶 (4) 𝑷

= 𝑷 ∙ cos 𝜶 = 𝒒𝒂 ∙ cos 𝜶 (5) (3)

(4) 𝑹

= 1

2𝑎 𝒒𝒂 ∙ sin 𝜶 ∙ 𝒂 + 𝟑

𝟐 𝒂 ∙ 𝒒𝒂 = 1 2𝑎

1

2 𝑞𝑎

+ 3

2 𝑞𝑎

= 𝒒𝒂



(2) (4)

𝑹

= 𝒒𝒂 ∙ sin 𝜶 + 𝒒𝒂 − 𝑹

= 𝟏 𝟐 𝒒𝒂 𝑹

= 𝑷

= 𝒒𝒂 ∙ cos 𝜶 = 𝟑

𝟐 𝒒𝒂

𝑹

= 𝑹

+ 𝑹

= 𝒒𝒂 𝟑 𝟒 + 𝟏

𝟒 = 𝒒𝒂

© T. Machniewicz

3.1. Równowaga płaskiego układu sił

Przykład 3.2:

Jaki maksymalny ciężar Q może załadować na taczki ogrodnik, jeżeli na jego ręce może działać co najwyżej siła R. Ciężar własny taczek pominąć.

Dane: Szukane:

R = 400 N Q=?

a = 0.5 m, b = 1 m, c = 0.1 m,  = 30

𝑸 O

c 

a

b 𝑹

𝑹 𝑹

𝑸 O



c

a

b

y x

𝑹

𝑹



𝑸

𝑸

𝑹

𝑹



 A

A

B Sposób 1:

𝑀

𝑛

𝑖=1

= 0  ^{−𝑸𝒚 ∙ 𝒂 + 𝑹}

∙ 𝒂 + 𝒃 + 𝑸

∙ 𝒄 = 𝟎

M>0 M<0 y

x z

𝑸

= 𝑸 ∙ cos 𝛼 𝑸

= 𝑸 ∙ sin 𝛼 𝑹

= 𝑹 ∙ cos 𝛼

−𝑸 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑹 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑏 + 𝑸 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑐 = 0

 _{𝑸 =} ^𝑹 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑏

𝑎 ∙ cos 𝛼 − 𝑐 ∙ sin 𝛼 = 𝟒𝟎𝟎 ∙ 3

2 ∙ 1 + 0.5 0.5 ∙ 3

2 − 0.1 ∙ 0.5

𝑸 = 𝟏𝟑𝟓𝟔. 𝟔 𝑵

© T. Machniewicz

3.1. Równowaga płaskiego układu sił

Przykład 3.2:

Jaki maksymalny ciężar Q może załadować na taczki ogrodnik, jeżeli na jego ręce może działać co najwyżej siła R. Ciężar własny taczek pominąć.

Dane: Szukane:

R = 400 N Q=?

a = 0.5 m, b = 1 m, c = 0.1 m,  = 30

𝑸 O

c 

a

b 𝑹

𝑹 𝑹

𝑸 O



c

a

b y

x A

A

B Sposób 2:

𝑀

𝑛

𝑖=1

= 0  ^{−𝑸 ∙ 𝒂′ + 𝑹} ∙ 𝒂′ + 𝒃′ = 𝟎

M>0 M<0 y

x z

−𝑸 ∙ 𝑎 ∙ cos 𝛼 − 𝑐 ∙ sin 𝛼 + 𝑹 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ cos 𝛼 = 0

 _{𝑸 =} ^𝑹 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑏

𝑎 ∙ cos 𝛼 − 𝑐 ∙ sin 𝛼 = 𝟏𝟑𝟓𝟔. 𝟔 𝑵 a' b'

𝑎′ + 𝑏′ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑎^′ =_{cos 𝛼}^𝑎 − 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼

𝑎^′ = 𝑎

cos 𝛼− 𝑎𝑠𝑖𝑛²𝛼

cos 𝛼 − 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼



𝑎^′ = 𝑎 cos 𝛼 − 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼

© T. Machniewicz

3.2. Przestrzenny dowolny układ sił - redukcja

Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił:

Przestrzenny dowolny układ sił – układ sił nie leżących w jednej płaszczyźnie

z

x y 𝑭

𝑭

𝑭

𝑭

O

y x

𝑭

𝑭

𝑭

𝑭

O

𝑭

−𝑭

𝝆

z

O y

x

𝑭

𝑭

𝑭

z

𝑴

𝑴

𝑴

𝑭

𝑴

𝑴

= 𝝆

𝐱 𝑭

y x

𝑭

𝑭

𝑴

𝑭

O

𝑭

z

𝝆

(𝒙𝒊, 𝒚𝒊, 𝒛𝒊)

© T. Machniewicz

3.2. Przestrzenny dowolny układ sił - redukcja

Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił c.d…

O y

x

𝑭

𝑭

𝑭

z

𝑴

𝑴

𝑴

𝑭

𝑴

y x

O

z

𝑭

𝑭

𝑭

𝑭

𝑾 = ^𝒏 𝑭

𝒊=𝟏 𝑴 =

𝝆

× 𝑭

𝒊=𝟏

x y

O

z

𝑴

𝑴

𝑴 𝑴

𝑴

O y

x

z

𝑾

𝑴

© T. Machniewicz

3.2. Przestrzenny dowolny układ sił - redukcja

Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił - opis:

Ciało sztywne obciążone jest dowolnym układem n sił 𝑭

( 𝑭

, 𝑭

, 𝑭

) zaczepionych odpowiednio w punktach (𝒙

, 𝒚

, 𝒛

)

Dla każdej z sił 𝑭

przykładamy w początku układu współrzędnych (tj. biegunie redukcji „O”) dwójkę zerową utworzoną z sił 𝑭

i −𝑭

. Otrzymujemy w ten sposób siłę 𝑭𝒊 przyłożoną w biegunie redukcji oraz parę sił utworzoną z siły −𝑭

oraz oryginalnie przyłożonej siły 𝑭

działającej względem bieguna na ramieniu 𝝆

(𝒙𝒊, 𝒚𝒊, 𝒛𝒊).

Parę sił zastępujemy zaczepionym w biegunie „O” wektorem momentu 𝑴

= 𝝆

𝐱 𝑭

W rezultacie otrzymujemy pęk n sił 𝑭

( 𝑭

, 𝑭

, 𝑭

) zepionych w biegunie redukcji oraz pęk momentów sił 𝑴

n sił 𝑭

zastępujemy wektorem głównym: 𝑾 =

𝑭

n wektorów momentów 𝑴

zastępujemy momentem głównym: 𝑴 =

𝝆

× 𝑭

W ten sposób przestrzenny dowolny układ sił zredukowano do działania jednej

siły wypadkowej (wektora głównego) i jednego wypadkowego wektora

momentu sił (momentu głównego) © T. Machniewicz

3.2. Przestrzenny dowolny układ sił - redukcja

O y

x

z

𝑾

𝑴

𝑾 = ^𝒏 𝑭

𝒊=𝟏

𝑴 =

𝑴

𝒊=𝟏

𝑾 𝑾 _𝒙 , 𝑾 _𝒚 , 𝑾 _𝒛

𝑾

=

𝑭

𝒊=𝟏

𝑾

=

𝑭

𝒊=𝟏

𝑾

=

𝑭

𝒊=𝟏

𝑴 𝑴

, 𝑴

, 𝑴

𝑴

=

𝑴

𝒊=𝟏

𝑴

=

𝑴

𝒊=𝟏

𝑴

=

𝑴

𝒊=𝟏

 

iz iy

ix

i i

i i i

F F

F

z y

x

k j

i F

M 

 

 















i ix i

iy iz

i iz i

ix iy

i iy i

iz ix

y F x

F M

x F z

F M

z F y

F M

z

x y 𝑭

𝑭

𝑭

𝑭

O

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – warunki równowagi

O y

x

z

𝑾

𝑴

𝑾

=

𝑭

= 𝟎

𝒊=𝟏

𝑾

=

𝑭

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑾

=

𝑭

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑴

=

𝑴

= 𝟎

𝒊=𝟏

𝑴

=

𝑴

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑴

=

𝑴

= 𝟎

𝒊=𝟏

z

x y 𝑭

𝑭

𝑭

𝑭

O

Warunki równowagi:

a) w zapisie wektorowym:

b) w ujęciu analitycznym:

𝑾 = 𝑭 _𝒊

𝒏 𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑴 _𝑶 = 𝑴 _𝒊

𝒏 𝒊=𝟏

= 𝟎

© T. Machniewicz

𝑸

b

x

A

y z

a c

B C

x

D y



𝑮 r

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.3:

Określić poziomą siłę P przyłożoną do dźwigni walca CD oraz reakcje w łożyskach A i B , gdy podnoszony ciężar Q=500 N, ciężar bębna wynosi G=200 N, jego promień r=10 cm, a=25 cm, b=35 cm, c=15 cm, |CD|=l=50 cm.

Dane: Szukane:

Q=500 N, G=200 N, r=10 cm, a=25 cm, P=?, R

=?, R

=?

b=35 cm, c=15 cm, |CD|=l=50 cm, =60

𝑷

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹

𝑷 cos 𝜶 𝑷 sin 𝜶

𝑭

= 𝟎

𝒏 𝒊=𝟏

𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑴

= 𝟎

𝒏 𝒊=𝟏

𝑴

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑴

= 𝟎

𝒏 𝒊=𝟏

𝑹

− 𝑹

+ 𝑷 sin 𝜶 = 0



𝑹

+ 𝑹

− 𝑷 cos 𝜶 + 𝑸 = 0



𝑸 𝑸

𝑹

− 𝑮 = 0



−𝑸𝒂 − 𝑹

𝒂 + 𝒃 + 𝑷 cos 𝜶 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 0



−𝑹

𝒂 + 𝒃 + 𝑷 sin 𝜶 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 0



𝑸 ∙ 𝒓 − 𝑷 sin 𝜶 ∙ 𝒍 = 0

© T.  Machniewicz

𝑸

b

x

A

y z

a c

B C

x

D y



𝑮 r

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.3:

Dane: Szukane:

Q=500 N, G=200 N, r=10 cm, a=25 cm, P=?, R

=?, R

=?

b=35 cm, c=15 cm, |CD|=l=50 cm, =30

𝑷

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹

𝑷 cos 𝜶 𝑷 sin 𝜶

𝑭

= 𝟎

𝒏 𝒊=𝟏

𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑴

= 𝟎

𝒏 𝒊=𝟏

𝑴

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝑴

= 𝟎

𝒏 𝒊=𝟏

𝑹

− 𝑹

+ 𝑷 sin 𝜶 = 0

 𝑹

+ 𝑹

− 𝑷 cos 𝜶 + 𝑸 = 0

𝑸 𝑸

𝑹

− 𝑮 = 0



−𝑸𝒂 − 𝑹

𝒂 + 𝒃 + 𝑷 cos 𝜶 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 0



−𝑹

𝒂 + 𝒃 + 𝑷 sin 𝜶 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 0



𝑸 ∙ 𝒓 − 𝑷 sin 𝜶 ∙ 𝒍 = 0

  ^{𝑷 =} _{sin 𝜶 ∙ 𝒍} ^{𝑸 ∙ 𝒓 = 𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎} _{𝟎. 𝟓 ∙ 𝟓𝟎} ^{= 𝟐𝟎𝟎 𝑵}

𝑹

= 𝑷 sin 𝜶 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)

𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟐𝟓 𝑵



𝑹

= 𝑷 cos 𝜶 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝑸𝒂

𝒂 + 𝒃 = 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝟐𝟓 + 𝟑𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟓

𝟐𝟓 + 𝟑𝟓 = 𝟖. 𝟏𝟕 𝑵



 𝑹

= 𝑮 = 𝟐𝟎𝟎 𝑵

 𝑹

= 𝑷 cos 𝜶 − 𝑸 − 𝑹

= −𝟑𝟑𝟒. 𝟗𝟔 𝑵 

Zwrot 𝑹

przeciwny do założonego



 𝑹

= −𝑷 sin 𝜶 + 𝑹

= 𝟐𝟓 𝑵

© T. Machniewicz

𝑸

b

x

A

y z

a c

B C

x

D y



𝑮 r

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.3:

Dane: Szukane:

Q=500 N, G=200 N, r=10 cm, a=25 cm, P=?, R

=?, R

=?

b=35 cm, c=15 cm, |CD|=l=50 cm, =30

𝑷

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹

𝑷 cos 𝜶 𝑷 sin 𝜶

𝑸 𝑸

𝑹

= 𝟏𝟐𝟓 𝑵 𝑹

= 𝟖. 𝟏𝟕 𝑵 𝑹

= 𝟐𝟎𝟎 𝑵

𝑹

= −𝟑𝟑𝟒. 𝟗𝟔 𝑵 Zwrot 𝑹

przeciwny do założonego 𝑹

= 𝟐𝟓 𝑵

𝑹

×

𝑹

= 𝑅

+ 𝑅

+ 𝑅

= 25

+ 334.96

+ 200

= 𝟑𝟗𝟎. 𝟗𝟐 𝑵

𝑹

𝑹

= 𝑅

+ 𝑅

= 125

+ 8.17

= 𝟏𝟐𝟓. 𝟐𝟔 𝑵

𝑹

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Ramę jak na rysunku utwierdzoną w punkcie A obciążono siłami: 𝑭

, 𝑭

, 𝑭

. Wyznaczyć reakcje w utwierdzeniu.

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C

© T. D Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

1)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 2)

𝑭

= 𝟎

3)

𝑭

= 𝟎

 𝑹

+ 𝑭

= 0

 𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎 5)

𝑴

= 𝟎 6)

𝑴

= 𝟎

 −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0 z

𝑭

𝑭

𝑭

𝑴

𝑹

𝑹

B b

a

x A

C, D y

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

1)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 2)

𝑭

= 𝟎

3)

𝑭

= 𝟎

 𝑹

+ 𝑭

= 0

 𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎 5)

𝑴

= 𝟎 6)

𝑴

= 𝟎

 −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0

 −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0 z

y 𝑭

𝑭

𝑴

𝑹

𝑹

A,B

D C

a

a

𝑭

x

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

1)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 2)

𝑭

= 𝟎

3)

𝑭

= 𝟎

 𝑹

+ 𝑭

= 0

 𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎 5)

𝑴

= 𝟎 6)

𝑴

= 𝟎

 −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0

 −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0 z

x

𝑭

𝑭

𝑭

𝑴

𝑹

𝑹

b

y

a

 𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

1)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 2)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 3)

𝑭

= 𝟎  𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0 5)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

1)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 2)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 3)

𝑭

= 𝟎  𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0 5)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

1) 𝑹 _𝑨𝒙 = −𝑭

= −𝟐𝟎𝟎 𝑵

Zwrot siły 𝑹

jest przeciwny do założonego

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

2)

𝑭

= 𝟎  𝑹

+ 𝑭

= 0 3)

𝑭

= 𝟎  𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0 5)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

1) 𝑹 _𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵

Zwrot siły 𝑹

jest przeciwny do założonego

2) 𝑹 _𝑨𝒚 = −𝑭

= −𝟐𝟎𝟎 𝑵

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

3)

𝑭

= 𝟎  𝑹

− 𝑭

= 0

4)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0 5)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

1) 𝑹 _𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵 2) 𝑹 _𝑨𝒚 = −𝟐𝟎𝟎 𝑵

3) 𝑹 _𝑨𝒛 = 𝑭

= 𝟒𝟎𝟎 𝑵

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

4)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = 0 5)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

1) 𝑹 _𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵 2) 𝑹 _𝑨𝒚 = −𝟐𝟎𝟎 𝑵

3) 𝑹 _𝑨𝒛 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵

4) 𝑴 _𝑼𝒙 = 𝑭

𝒂 − 𝑭

𝒃 = −𝟔𝟎𝟎 𝑵𝒎

Kierunek obrotu momentu 𝑴

jest przeciwny do założonego

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

5)

𝑴

= 𝟎  −𝑴

+ 𝑭

𝒂 = 0

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

1) 𝑹 _𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵 2) 𝑹 _𝑨𝒚 = −𝟐𝟎𝟎 𝑵

3) 𝑹 _𝑨𝒛 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵

4) 𝑴 _𝑼𝒙 = −𝟔𝟎𝟎 𝑵𝒎

5) 𝑴 _𝑼𝒚 = 𝑭

𝒂 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵𝒎

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

6)

𝑴

= 𝟎  𝑴

− 𝑭

𝒃 = 0

1) 𝑹 _𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵 2) 𝑹 _𝑨𝒚 = −𝟐𝟎𝟎 𝑵

3) 𝑹 _𝑨𝒛 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵

4) 𝑴 _𝑼𝒙 = −𝟔𝟎𝟎 𝑵𝒎 5) 𝑴 _𝑼𝒚 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵𝒎

6) 𝑴 _𝑼𝒛 = 𝑭

𝒃 = 𝟐𝟎𝟎 𝑵𝒎

© T. Machniewicz

3.3. Przestrzenny dowolny układ sił – równowaga

Przykład 3.4:

Dane: F

=100 N, F

=200 N, F

=400 N, a=1 m, b=2 m, szukane: 𝑹

(𝑹

, 𝑹

, 𝑹

), 𝑴

(𝑴

, 𝑴

, 𝑴

)

𝑭

𝑭

𝑭

b

a

A B

C D x

y z

𝑹

𝑹

𝑹

𝑴

𝑴

𝑴

𝑹 _𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵 𝑹 _𝑨𝒚 = −𝟐𝟎𝟎 𝑵

𝑹 _𝑨𝒛 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵

𝑴 _𝑼𝒙 = −𝟔𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴 _𝑼𝒚 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴 _𝑼𝒛 = 𝟐𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑹 _𝑨 = 𝑹 _𝑨𝒙 ^𝟐 + 𝑹 _𝑨𝒚 ^𝟐 + 𝑹 _𝑨𝒛 ^𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟒𝟎𝟎 ^𝟐 = 𝟒𝟓𝟖. 𝟐𝟔 𝑵

𝑴 _𝑼 = 𝑴 _𝑼𝒙 ^𝟐 + 𝑴 © T. _𝑼𝒚 ^𝟐 + 𝑴 _𝑼𝒛 ^𝟐 = 𝟔𝟎𝟎 Machniewicz ^𝟐 + 𝟒𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ^𝟐 = 𝟕𝟒𝟖. 𝟑𝟑 𝑵𝒎