Ocena osi ¾ agni ¾ e´c naukowych doktora Mariusza Meszki

Uniwerystet Jagiello´nski, 30-348 Kraków e-mail: grytczuk@tcs.uj.edu.pl

Ocena osi ¾ agni ¾ e´c naukowych doktora Mariusza Meszki

G÷ ówne osi ¾ agni ¾ ecie naukowe dr Mariusza Meszki, wskazane w jego wniosku habilita- cyjnym, zawiera si ¾ e w cyklu siedmiu prac pod tytu÷ em Strukturalne w÷ asno´sci systemów trójek oraz kon…guracji pokrewnych. Problematyka tego cyklu le· zy na styku teorii grafów i teorii kon…guracji kombinatorycznych. Rozpoczn ¾ e od krótkiego jej zarysu.

Niech V = f1; 2; : : : ; ng b ¾ edzie zbiorem i niech S oznacza pewn ¾ a rodzin ¾ e 3-elementowych podzbiorów zbioru V . Rodzin ¾ e S nazywamy systemem trójek Steinera (rz ¾ edu n) je· zeli ka· zda para elementów z V nale· zy do dok÷ adnie jednego zbioru z S. Elementy rodziny S nazywamy blokami. Systemy trójek to najprostszy gatunek systemów Steinera, centralnego poj ¾ ecia teorii kon…guracji kombinatorycznych.

System trójek Steinera prowadzi w naturalny sposób do dekompozycji kraw¾ edziowej grafu pe÷ nego K

na trójk ¾ aty. Rzeczywi´scie, ka· zdy blok systemu S mo· zna traktowa´c jako zbiór wierzcho÷ ków pewnego trójk ¾ ata w gra…e K

(na zbiorze V ). Ponadto, wobec warunku dla par z de…nicji systemu trójek, ka· zda kraw¾ ed´z K

nale· zy do dok÷ adnie jednego takiego trójk ¾ ata.

Na odwrót, ka· zda dekompozycja grafu K

na trójk ¾ aty okre´sla pewien system trójek. Widzimy zatem, · ze poj ¾ ecia te s ¾ a w istocie równowa· zne.

Oczywistym warunkiem koniecznym istnienia systemu trójek rz ¾ edu n jest podzielno´s´c 3 j

. St ¾ ad jedynymi dopuszczalnymi warto´sciami rz ¾ edu s ¾ a liczby n 1 lub 3(mod 6). W 1847 Kirkman dowiód÷ , · ze dla ka· zdej takiej warto´sci n istnieje system trójek rz ¾ edu n. Innymi s÷ owy, zbiór liczb fn 2 N : n 1 lub 3(mod 6)g stanowi spektrum systemów trójek Steinera.

Jednym z plejady mo· zliwych uogólnie´n systemów trójek s ¾ a systemy k-cykli. Systemy

takie de…niujemy analogicznie do systemów trójek poprzez dekompozycj ¾ e grafu K

na cykle

ustalonej d÷ ugo´sci k. Nietrudno przekona´c si ¾ e, · ze zbiór warto´sci dopuszczalnych dla systemu

k -cykli przybiera posta´c fn 2 N : n 1(mod 2) , k j

; n k 3 g. Dowiedziono niedawno,

ze, podobnie jak dla trójek Steinera, zbiór ten stanowi jednocze´snie spektrum systemów k- ·

cykli, dla ka· zdego k 3. S ¾ adz ¾ e, · ze ten elegancki wynik dostarczy÷sporej inspiracji badaczom

tej dziedziny, mi ¾ edzy innymi habilitantowi i jego wspó÷ pracownikom. W istocie, wi ¾ ekszo´s´c problemów przedstawionego cyklu prac ma podobny charakter: wyznaczy´c spektrum danego typu kon…guracji, okre´slonego poprzez pewne dekompozycje grafu pe÷ nego.

Przejd ¾ e teraz do omówienia wybranych wyników z przedstawionego cyklu prac, zas- tosowanych metod badawczych, a nast ¾ epnie do jego ca÷ o´sciowej oceny.

Praca A15 bada nieznaczn ¾ a mody…kacj ¾ e poj ¾ ecia rozwi ¾ azalnych systemów cykli. System k-cykli nazywamy rozwi ¾ azalnym je· zeli zbiór jego bloków mo· zna rozbi´c na klasy równoleg÷o´sci (bloki z jednej klasy s ¾ a parami wierzcho÷ kowo roz÷¾ aczne, a w sumie daj ¾ a ca÷ y zbiór V ). Poj ¾ ecie to odpowiada skojarzeniu doskona÷ emu w hipergra…e. Dla k = 3 dostajemy klasyczne poj ¾ ecie systemu trójek Kirkmana. Oczywistym warunkiem koniecznym rozwi ¾ azalno´sci systemu jest podzielno´s´c k j n. Niedawno wykazano, · ze warunek ten jest równie· z wystarczaj ¾ acym dla istnienia systemu rozwi ¾ azalnego po´sród wszystkich systemów k-cykli rz ¾ edu n.

Je· zli k nie dzieli n, to system k-cykli na gra…e K

nie mo· ze by´c rozwi ¾ azalny. W pracy A15 badane jest przybli· zenie poj ¾ ecia rozwi ¾ azalno´sci w przypadku n 1(mod k), zwane prawie rozwi ¾ azalno´sci ¾ a. Chcemy rozbi´c cykle na maksymalnie du· zo klas, maksymalnie przypomina- jacych klasy równoleg÷ o´sci (pomijaj ¾ acych tylko jeden wierzcho÷ ek), pozostawiaj ¾ ac mo· zliwie ma÷ o cykli w ostatniej klasie. Poj ¾ ecie to rozwa· zano wpierw dla k = 3 pod nazw ¾ a sytemów trójek Hananiego.

G÷ ówne twierdzenie pracy A15 dotyczy przypadku cykli parzystych. Sprowadza ono problem wyznaczenia spektrum takich systemów do jednego sko´nczonego przypadku. ´Sci´slej, mówi ono, · ze spektrum takich systemów sk÷ ada si ¾ e z wszystkich liczb n 1(mod 2k), za wyj ¾ atkiem by´c mo· ze 4k + 1, o ile istnieje prawie rozwi ¾ azalny system k-cykli rz ¾ edu 2k + 1. Dowód polega na rekurencyjnej konstrukcji bazuj ¾ acej na quasigrupach z dziurami, oraz zastosowaniu istniej ¾ acych wynikó o dekompozycji cyklicznej grafów pe÷ nych dwudzielnych.

Dla k = 10 i 14 odpowiednie systemy rz ¾ edu 21 i 29 zosta÷ y znalezione prz u· zyciu komputera, co dzi ¾ eki ogólnemu twierdzeniu wyznacza spektrum z dok÷ adno´sci ¾ a do jednej warto´sci. W podobny, cho´c nieco inny sposób wyznaczono w pracy spektrum dla k = 6.

Zarówno wyniki jak i metody stosowane w pracy A15 s ¾ a charakterystyczne dla ca÷ ego

cyklu prac dra Meszki. W zasadzie w ka· zdej z nich powtarza si ¾ e podobny schemat: dla

danej klasy systemów uzyskuje si ¾ e cz ¾ e´sciowe lub ca÷ kowite wyznaczenie spektrum poprzez

odpowiednie konstrukcje rekurencyjne, których baz ¾ e stanowi ¾ a "ma÷ e" systemy wyszukane

komputerowo. Z tego wzgl ¾ edu ogranicz ¾ e si ¾ e jedynie do omówienia w szczegó÷ ach kilku

wybranych rezultatów z kolejnych prac.

W pracy A16 Autorzy badaj ¾ a problem spektrum przekroju dwóch heksagonalnych sys- temów trójek. Niech S i T b ¾ ed ¾ a dwoma systemami trójek na tym samym zbiorze V . Niech r = n(n 1)=6 b ¾ edzie liczb ¾ a trójek w ka· zdym z tych systemów. Problem przekroju polega na wyznaczeniu wszystkich warto´sci p, dla których istniej ¾ a dwa systemy posiadaj ¾ ace dok÷ ad- nie p wspólnych trójek. Lindner i Rosa dowiedli w 1975, · ze dla ka· zdego n 6= 9 spektrum tych warto´sci p ma posta´c f0; 1; : : : ; r 4 g n fr 5 g. Dla n = 9 owo spektrum ma posta´c szczególn ¾ a: f0; 1; 2; 3; 4; 6g. W pracy A16 wyznaczono dok÷adnie spektrum przekroju dwóch heksagonalnych systemów trójek. S ¾ a to systemy, których trójki mo· zna po÷¾ aczy´c w sze´s- ciok ¾ aty tworz ¾ ace podzia÷zbioru kraw¾ edzi K

(ka· zdy sze´sciok ¾ at sk÷ ada si ¾ e z trzech trójek parami przecinaj ¾ acych si ¾ e). G÷ ówny wynik pracy gwarantuje istnienie odpowiedniej pary systemów dla ka· zdej dopuszczalnej warto´sci p. Podobne twierdzenie udowodniono dla liczby wspólnych trójek wewn ¾ etrznych (wbrew nazwie s ¾ a to trójki spoza systemu, wyznaczone przez punkty przeci ¾ ecia trójek danego sze´sciok ¾ ata).

W kolejnej pracy A17 rozwa· zana jest mody…kacja systemu trójek Steinera otrzymana poprzez dekompozycj ¾ e grafu K

z usuni ¾ etym skojarzeniem doskona÷ ym M . Okazuje si ¾ e, · ze dla ka· zdego dopuszczalengo n istnieje system trójek na gra…e K

M , który mo· zna podzieli´c na dwie izomor…czne cz ¾ e´sci.

Praca A18 bada dla jakich n istnieje dekompozycja grafu K

na cz ¾ e´sci, z których ka· zda jest izomor…czna z K

lub K

e. W g÷ ównym rezultacie wyznaczono spektrum systemów odpowiadaj ¾ acych takim dekompozycjom. Z kolei praca A19 po´swi ¾ econa jest dekompozycji grafu 2K

(jest to multigraf pe÷ ny o podwójnych kraw¾ edziach) na muszki (muszka to graf sk÷ adaj ¾ acy si ¾ e z dwóch trójk ¾ atów o jednym wspólnym wierzcho÷ ku) z dodatkow ¾ a w÷ asno´s- ci ¾ a ekstra doskona÷ o´sci. Spektrum tych systemów zosta÷ o dok÷ adnie wyznaczone. Warto by´c mo· ze podkre´sli´c, · ze wynik ten zamyka problem dla wszystkich tego typu systemów okre´slonych poprzez dekompozycje grafu 2K

na drogi zamkni ¾ ete d÷ ugo´sci 6.

G÷ ównym wynikiem pracy B17 jest konstrukcja prawie rozwi ¾ azalnych systemów 4-cykli otrzymanych poprzez dekompozycj ¾ e grafu K

z minimaln ¾ a liczb ¾ a dodanych kraw¾ edzi, dla wszystkich warto´sci n.

Nieco inny problem pojawia si ¾ e w pracy B13 –ostatniej z omawianego cyklu. Niech K

oznacza hipergraf pe÷ ny k-jednorodny (zbiór kraw¾ edzi to rodzina wszystkich k-elementowych

podzbiorów zbioru V ). Cyklem Hamiltona w takim hipergra…e nazywamy zbiór n kraw¾ edzi,

które mo· zemy uzyska´c jako spójne segmenty w pewnym cyklicznym uporz ¾ adkowaniu wszys-

tkich wierzcho÷ ków hipergrafu. W 2009 Bailey i Setevens postawili hipotez ¾ e, · ze hipergraf

K

mo· zna zdekomponowa´c na cykle Hamiltona o ile tylko spe÷ niony jest oczywisty warunek

konieczny n j

. Dla k = 2 hipoteza ta sprowadza si ¾ e do twierdzenia Waleckiego z 1890.

Autorzy pracy B13 podchodz ¾ a do przypadku k = 3 znajduj ¾ ac pewne warunki konieczne pozy- tywnego rozstrzygni ¾ ecia tego problemu, oraz jego ogólniejszej wersji. Ponadto, potwierdzaj ¾ a prawdziwo´s´c hipotezy do n = 32 znajduj ¾ ac odpowiednie dekompozycje przy u· zyciu komput- era.

Przejd ¾ e teraz do oceny omawianego cyklu prac. Wi ¾ ekszo´s´c wyników w nim zawarta polega na wyznaczeniu spektrum pewnych kon…guracji zde…niowanych poprzez dekompozycje grafu pe÷ nego z ró· znymi dodatkowymi warunkami. Badane problemy nawi ¾ azuj ¾ a do zagadnie´n klasycznych, cho´c czasami rozwa· zane mody…kacje wydaj ¾ a mi si ¾ e nieco sztuczne. Przyznam, ze podczas czytania tych prac cz ¾ · esto przychodzi÷ o mi do g÷ owy pytanie: dlaczego w÷ a´sciwie autorzy badaj ¾ a ten, a nie inny gatunek systemów, t ¾ e, a nie inn ¾ a mody…kacj ¾ e? Nie znalaz÷ em zadowalaj ¾ acej mnie odpowiedzi na te pytania ani w pracach, ani, co gorsza, w autoreferacie habilitanta. By´c mo· ze istnieje jaki´s g÷¾ ebszy plan badawczy, którego cegie÷ kami s ¾ a omawiane wyniki, a o którym nie wspominaj ¾ a prace dra Meszki. Wszak g÷ ównej inspiracji dostar- czaj ¾ a tu wybitni i do´swiadczeni eksperci tej dziedziny, jak Alex Rosa czy Curtis Lindner, b ¾ ed ¾ acy jednocze´snie wspó÷ autorami wi ¾ ekszo´sci prac. W · zadnej z publikacji nie formu÷ uje si ¾ e problemów otwartych, nie licz ¾ ac znaków zapytania w tabelkach dotycz ¾ acych spektrum, co pozwoli÷ oby wyobrazi´c sobie dok ¾ ad zmierza ten nurt bada´n. Jedynie praca B13 zawiera interesuj ¾ ac ¾ a hipotez ¾ e, ale ta pochodzi z wcze´sniejszej pracy innych autorów.

Jeszcze wi ¾ ekszy mój niedosyt budz ¾ a metody stosowane w omawianych pracach. W ka· zdej z nich schemat jest ten sam: komputerowe wyszukanie kon…guracji pocz ¾ atkowych, a nast ¾ ep- nie bezpo´srednie wykorzystanie ich w konstrukcjach rekurencyjnych. Ponadto, owe kon- strukcje s ¾ a do siebie podobne i nale· z ¾ a raczej do standardowych w tej dziedzinie. Doce- niam kunszt z jakim dr Mariusz Meszka pos÷ uguje si ¾ e komputerem w zakresie wyszukiwania ulubionych kon…guracji; z pewno´sci ¾ a rzecz wymaga nie tylko umiej ¾ etno´sci programowania, ale i dobrego "wyczucia" oraz sporej erudycji. Wyobra· zam sobie równie· z, · ze na etapie eksperymentu tego typu badania mog ¾ a by´c ca÷ kiem ekscytuj ¾ ace. Ale co z tego ma czytelnik pracy, w której oprócz zdawkowego opisu konstrukcji widnieje kilkana´scie stron zapisanych go÷ ymi cyframi? Jestem przekonany, · ze prace zawieraj ¾ ace wyniki komputerowe, i to w tej w÷ a´snie dziedzinie, mog ¾ a by´c zredagowane w sposób dalece bardziej przyjazny dla czytelnika.

Wzorcowa pod tym wzgl ¾ edem jest moim zdaniem praca: K. Coolsaet, H. Sticker, The com-

plete k-arcs of PG(2, 27) and PG(2, 29), J. Combin. Design 19 (2010), 111–130, w której

oprócz dostatecznej motywacji, czy opisu metod obliczeniowych, zawarto tak· ze informacje o

szczegó÷ ach technicznych eksperymentu (czas trwania oblicze´n, moc komputera, itp.).

Reasumuj ¾ ac, uwa· zam, · ze temtyka cyklu prac dra Mariusza Meszki dotyka ciekawych i wa· znych zagadnie´n kombinatorycznych. Otrzymane wyniki s ¾ a dla mnie umiarkowanie interesuj ¾ ace, natomiast mniejszy mój aplauz budz ¾ a stosowane metody. Ali´sci wiadomo mi, ze w dziedzinie kon…guracji kombinatorycznych dokonania tego typu bywaj ¾ · a przydatne i znajduj ¾ a uznanie. Uwzgl ¾ edniaj ¾ ac specy…k¾ e tej dziedziny s ¾ adz ¾ e, · ze mo· zna je zatem oceni´c pozytywnie i uzna´c, i· z spe÷ niaj ¾ a kryteria ustawowe okre´slone w odniesieniu do habilitacji.

Pozosta÷ y dorobek publikacyjny dra Mariusza Meszki uzyskany po doktoracie jest do´s´c ob…ty. Problematyka badawcza dotyczy rozmaitych zagdnie´n. Dominuje tematyka dekom- pozycji, ale s ¾ a te· z prace o kolorowaniu grafów, zanurzaniu systemów trójek, czy charak- teryzacji grafów silnie regularnych. Najbardziej spodoba÷ a mi si ¾ e praca A11 o indeksie chromatycznym trójek Steinera, w której wykorzystuje si ¾ e kolorowania grafów Cayleya na sko´nczonej grupie cyklicznej. Ciekawa jest te· z indywidualna praca dra Meszki A14 o 1- faktoryzacjach grafów pe÷ nych. Pokazuje ona w szczególno´sci, · ze repertuar metod jakimi habilitant dysponuje nie ogranicza si ¾ e do b÷ yskotliwych dowodów komputerowych. Pow- strzymam si ¾ e jednak od szczegó÷ owego formu÷ owania rezultatów tych prac, albowiem zosta÷ y one streszczone w autoreferacie.

Poziom naukowy prac dra Meszki jest na ogó÷do´s´c dobry, podobnie jak ranga czasop- ism, w których si ¾ e ukazuj ¾ a. Wida´c, · ze jest on aktywnym matematykiem, z którym ch ¾ etnie wspó÷ pracuje liczna grupa autorów zawieraj ¾ aca sporo znanych nazwisk, jak wymieniani ju· z wcze´sniej Lindner i Rosa. Odd´zwi ¾ ek jego prac, mierzony cytowaniami, jest równie· z w kilku przypadkach do´s´c znacz ¾ acy (np. praca A8 ma 9 cytowa´n (bez autocytowa´n) wed÷ ug Web of Science). Ponadto, osi ¾ agni ¾ ecia naukowe dra Meszki zosta÷ y docenione w postaci grantów badawczych, nagród, stypendiów, czy zaproszonych referatów na konferencjach. Na osobn ¾ a uwag ¾ e i uznanie zas÷ uguje jego nadzwyczajna aktywno´s´c organizacyjna i redakcyjna, o której szczegó÷ owo informuje autoreferat.

W ´swietle powy· zszych ocen uwa· zam, · ze osi ¾ agni ¾ ecia naukowe dra Mariusza Meszki spe÷ - niaj ¾ a warunki Ustawy i wnosz ¾ e o nadanie mu stopnia doktora habilitowanego.

Jaros÷ aw Grytczuk, Kraków, 23 maja 2012