Tangensy i wielomiany Andrzej Nowicki 14 maja 2015, wersja tg-14 W książkach [4] i [5] zebrano kilka twierdzeń i zadań dotyczących tangensów i cotangensów. Znajdziemy tam na przykład następujące stwierdzenia.

Tangensy i wielomiany

Andrzej Nowicki 14 maja 2015, wersja tg-14

W książkach [4] i [5] zebrano kilka twierdzeń i zadań dotyczących tangensów i cotangensów. Znajdziemy tam na przykład następujące stwierdzenia.

0.1. Liczby tgπ

8, tg3π

8 , tg5π

8 , tg7π

8 są pierwiastkami wielomianu x⁴− 6x²+ 1.

0.2. Liczby tgπ

7, tg2π

7 , . . . , tg6π

7 są pierwiastkami wielomianu x⁶−21x⁴+ 35x²−7.

Znajdziemy tam również liczne równości trygonometryczne.

Celem tych notatek jest przedstawienie dowodów tego typu stwierdzeń. Wykorzy- stamy pozycje [3], [2], [6].

1 Wielomiany f

(x) oraz g

(x)

Jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą, to przez f_n(x), g_n(x) oznaczamy wielomiany spełniające równość

(1 + ix)

= f

(x) + ig

(x)

Są to wielomiany jednej zmiennej x o współczynnikach całkowitych.

f₀(x) = 1, f₁(x) = 1,

f₂(x) = −x²+ 1 = −(x − 1)(x + 1), f₃(x) = −3x² + 1,

f₄(x) = x⁴− 6x²+ 1 = (x² + 2x − 1)(x²− 2x − 1), f₅(x) = 5x⁴− 10x²+ 1,

f6(x) = −x⁶+ 15x⁴− 15x²+ 1 = (x² + 2x − 1)(x²− 2x − 1), f₇(x) = −7x⁶ + 35x⁴− 21x²+ 1,

f₈(x) = x⁸− 28x⁶+ 70x⁴− 28x²+ 1

= (x⁴− 4x³− 6x²+ 4x + 1)(x⁴+ 4x³− 6x²− 4x + 1), f₉(x) = 9x⁸− 84x⁶+ 126x⁴− 36x²+ 1

= (3x²− 1)(3x⁶− 27x⁴+ 33x²− 1),

f10(x) = −x¹⁰(x) + 45x⁸− 210x⁶+ 210x⁴− 45x²+ 1

= −(x − 1)(x + 1)(x³− 4x³− 14x²− 4x + 1)(x⁴+ 4x³− 14x²+ 4x + 1), f₁₁(x) = −11x¹⁰(x) + 165x⁸− 462x⁶+ 330x⁴− 55x²+ 1,

g₁(x) = x, g₂(x) = 2x,

g₃(x) = −x³ + 3x = −x(x²− 3),

g₄(x) = −4x³+ 4x = −4x(x − 1)(x + 1), g₅(x) = x⁵ − 10x³+ 5x = x(x⁴− 10x² + 5), g₆(x) = 6x⁵− 20x³+ 6x = 2x(3x²− 1)(x²− 3),

g₇(x) = −x⁷ + 21x⁵− 35x³+ 7x = −x(x⁶− 21x⁴+ 35x²− 7),

g₈(x) = −8x⁷+ 56x⁵ − 56x³+ 8x = −8x(x − 1)(x + 1)(x²+ 2x − 1)(x²− 2x − 1), g₉(x) = x⁹ − 36x⁷+ 126x⁵− 84x³+ 9x = x(x²− 3)(x⁶− 33x⁴+ 27x²− 3),

g₁₀(x) = 10x⁹− 120x⁷+ 252x⁵ − 120x³+ 10x = 2x(5x⁴− 10x²+ 1)(x⁴− 10x²+ 5).

Każde fn jest wielomianem parzystym, a każde gn jest wielomianem nieparzystym podzielnym przez x. Mamy więc dla wszystkich n równości

f_n(−x) = f_n(x), g_n(−x) = −g_n(x).

Stopnie tych wielomianów przedstawiają się następująco:

deg f_2s = 2s, deg f_2s+1 = 2s, deg g_2s = 2s − 1, deg g_2s+1 = 2s + 1.

Jest jasne, że dla wszystkich n> 0 zachodzą równości:

(1 − ix)ⁿ = fn(x) − ign(x), f_n(x) = ^{(1+ix)n+(1−ix)}₂ ⁿ, g_n(x) = ^(1+ix)n_2i^−(1−ix)n.

Jeśli h jest wielomianem jednej zmiennej x, to oznaczmy przez w(h) jego współczynnik wiodący. Na przykład jeśli h = 5x³− 4x + 7, to w(h) = 5. Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 1.1. Dla wszystkich s > 0 zachodzą równości:

w (f_2s) = (−1)^s, w (f_2s+1) = (−1)^s(2s + 1), w (g2s) = (−1)^s+12s, w (g2s+1) = (−1)^s.

Z równości f_n(x) + ig_n(x) = (1 + ix)ⁿ mamy

fn(x) + ign(x) = 1 + i^n₁^x¹−^n₂^x²− i^n₃^x³+^n₄^x⁴+ i^n₅^x⁵− · · · . W przypadku n = 4k mamy:

f_4k(x) = x^4k−^_4k−2^{4k }x^4k−2+^_4k−4^{4k }x^4k−4− · · · −^4k₂^x²+ 1, g_4k(x) = −^_4k−1^{4k }x^4k−1+^_4k−3^{4k }x^4k−3− · · · −^4k₃^x³ +^4k₁^x.

Zatem:

f_4k(x) =

2k

X

j=0

(−1)^j4k_2j^x^2j, g_4k(x) =

2k−1

X

j=0

(−1)^j_2j+1^{4k }x^2j+1. W ten sposób otrzymujemy 8 następujących równości:

f_4k(x) = ^P2k

j=0

(−1)^j4k_2j^x^2j, g_4k(x) = ^2k−1P

j=0

(−1)^j_2j+1^{4k }x^2j+1, f_4k+1(x) = ^P2k

j=0

(−1)^j4k+1_2j ^x^2j, g_4k+1(x) = ^P2k

j=0

(−1)^j4k+1_2j+1^x^2j+1, f_4k+2(x) = ^2k+1P

j=0

(−1)^j4k+2_2j ^x^2j, g_4k+2(x) = ^P2k

j=0

(−1)^j4k+2_2j+1^x^2j+1, f_4k+3(x) = ^2k+1P

j=0

(−1)^j4k+3_2j ^x^2j, g_4k+3(x) = ^2k+1P

j=0

(−1)^j4k+3_2j+1^x^2j+1. Stąd mamy 4 równości, dwie dla parzystych liczb n i dwie dla nieparzystych:

f

(x) =

j=0

(−1)

x

, g

(x) =

j=0

(−1)

x

, f

(x) =

j=0

(−1)

x

, g

(x) =

j=0

(−1)

x

,

.

Wszystkie wielomiany g_n(x) są podzielne przez x. Wprowadźmy nowe oznaczenie:

h_n(x) = g_n(x) x ,

dla wszystkich n. Zauważmy, że jeśli n jest nieparzyste, to wielomiany f_n(x) oraz h_n(x) są tego samego stopnia równego n − 1.

Stwierdzenie 1.2. Dla każdej nieujemnej liczby całkowitej k zachodzą równości:

x^4kf4k+1

1 x

= h4k+1(x), x^4k+2f4k+3

1 x

= −h4k+3(x) i stąd dla wszystkich s> 0 mamy równości

x

f

= (−1)

h

(x).

x^4kf_4k+1^1_x^ = x^{4k P2k}

j=0

(−1)^j4k+1_2j ^{ }_x^12j

= ^P2k

j=0

(−1)^j4k+1_2j ^x^4k−2j = _x^{1 P2k}

j=0

(−1)^j_4k+1−2j^{4k+1 }x^4k+1−2j

= ¹_x ^P2k

j=0

(−1)^j4k+1_2j+1^x^2j+1 = ¹_xg_4k+1(x)

= h4k+1(x).

Teraz wykazujemy dla n = 4k + 3:

x^4k+2f_4k+3^_x^1 = x^4k+22k+1P

j=0

(−1)^j4k+3_2j ^{ 1}_x^2j

= ^2k+1P

j=0

(−1)^j4k+3_2j ^x^4k+2−2j = _x^12k+1P

j=0

(−1)^j_4k+3−2j^{4k+3 }x^4k+3−2j

= −¹_x^2k+1P

j=0

(−1)^j4k+3_2j+1^x^2j+1 = −¹_xg_4k+3(x)

= −h_4k+3(x).

Podane równości zostały więc udowodnione. 

2 Wielomiany f

(x) oraz g

(x) i podzielność

Stwierdzenie 2.1. Dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych m, n zachodzą rów- ności:

f

(x) = f

(x)f

(x) − g

(x)g

(x) g

(x) = f

(x)g

(x) + f

(x)g

(x)

Dowód.

f_n+m(x) + ig_n+m(x) =



1 + ix

n+m

=



1 + ix

n

1 + ix

m

=



f_n(x) + ign(x)



f_m(x) + igm(x)



=



f_n(x)f_m(x) − g_n(x)g_m(x)



+ i



f_n(x)g_m(x) + f_m(x)g_n(x)



i stąd wynika teza. 

Stąd w szczególności wynika, że f_2n(x) = f_n(x)²− g_n(x)² oraz

g

(x) = 2f

(x)g

(x)

Następne stwierdzenie jest jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia udowodnionego w [6]. Przedstawiamy to stwierdzenie wraz z dowodem

Stwierdzenie 2.2. Wielomiany f_n(x) oraz g_n(x) są względnie pierwsze w Q[x].

Dowód. Wykorzystamy fakt, że Z[i][x] jest pierścieniem z jednoznacznością roz- kładu i udowonimy, że wielomiany f_n(x), g_n(x) są względnie pierwsze w pierścieniu Q(i)[x].

Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną i przypuśćmy, że rozważane wielomiany nie są względnie pierwsze. Istnieje wtedy nierozkładalny wielomian h(x) ∈ Q(i)[x] dzielący jednocześnie wielomiany f_n(x) oraz g_n(x). Oczywiście deg h(x) > 1. Wielomian h(x)

dzieli wielomian (1 + ix)ⁿ oraz dzieli wielomian (1 − ix)ⁿ. Z nierozkładalności wynika, że ten wielomian h(x) dzieli wielomiany (1 + ix) oraz (1 − ix). Stąd wynika że h(x) dzieli liczbę 2 i stąd wnioskujemy, że deg h(x) = 0. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że deg h(x)> 1. 

Zanotujmy dalsze stwierdzenia dotyczące podzielności.

Stwierdzenie 2.3. Jeśli m | n, to g_m(x) | gn(x) (podzielność w Z[x]).

Dowód. Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej k zachodzi podzielność gm | g_km. Dla k = 1 jest to oczywiste. Załóżmy, że k > 1 oraz gm | g_km. Niech g_km = u · g_m, gdzie u ∈ Z[x]. Wtedy, na mocy Stwierdzenia 2.1, mamy:

g_(k+1)m = g_km+m = f_kmg_m+ f_mg_km

= f_kmg_m+ f_mug_m =



f_km+ uf_m



g_m, czyli g_m | g_(k+1)m i to kończy indukcyjny dowód. 

Można udowodnić więcej:

Stwierdzenie 2.4 ([2]). Jeśli m | n, to g_n(x) = v_m(x)g_m(x), gdzie v_m(x) ∈ Z[x]

i wielomiany v_m(x) oraz g_m(x) są względnie pierwsze w Q[x].

Dowód. Niech n = dm, gdzie d ∈ N. Jeśli m = n, to vm(x) = 1 i nie ma czego dowodzić. Załóżmy dalej, że m < n. Wtedy d> 2 i mamy

f_n+ ig_n = (1 + ix)ⁿ = (1 + ix)^dm = (f_m+ ig_m)^d

= f_m^d + idf_m^d−1g_m−^d₂^f_m^d−2g_m² − i^d₃^f_m^d−3g³_m+ · · · ,

a zatem g_n = df_m^d−1g_m+ u · g_m², gdzie u = u(x) jest pewnym wielomianem należącym do Z[x]. Niech

v_m(x) = df_m^d−1+ ug_m.

Wtedy g_n(x) = v_m(x)g_m(x). Ponieważ nwd(f_m, g_m) = 1 (patrz Stwierdzenie 2.2), więc nwd(g_m, v_m) = nwd^g_m, df_m^d−1+ ug_m^= nwd^g_m, df_m^d−1= 1. Wielomiany g_m(x) oraz vm(x) są więc względnie pierwsze w Q[x]. 

Zauważmy, że wielomiany f₃ = −3x²+1, f₅ = 5x⁴−10x²+1 oraz f₇ = −7x⁶+35x⁴− 21x²+ 1 są nierozkładalne w Q[x] (a nawet w Z[x]). Udowodnimy teraz, że tak jest dla wszystkich wielomianów f_p, gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą. Przypomnijmy, że przez h_n(x) oznaczamy wielomian ^gn_x^(x).

Stwierdzenie 2.5. Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, to f_p(x) oraz h_p(x) są nie- rozkładalnymi w Z[x] wielomianami stopnia p − 1.

Dowód.

fp(x) + igp(x) = (1 + ix)^p

= 1 +^p₁^ix −^p₂^x²− i^p₃^x³+ · · · ±^_p−1^{p }x^p−1∓ ix^p.

Stąd wynika, że f_p(x) = 1 −^p₂^x² +^p₄^x⁴ + · · · ±^_p−1^{p }x^p−1 oraz g_p(x) = x · h_p(x), gdzie

h_p(x) =^p₁^−^p₃^x²+ · · · ∓^_p−2^{p }x^p−3± x^p−1.

Ponieważ wszystkie liczby ^p₁^, ^p₂^, . . . , ^_p−1^{p } są podzielne przez p, więc na mocy kryterium Eisensteina wielomiany f_p(x) oraz h_p(x) są nierozkładalne w Z[x]. 

Wielomiany f_n(x), g_n(x) mają jeszcze inne ciekawe własności dotyczące relacji po- dzielności. Przedstawmy kilka z takich własności. Pochodzą one z pracy [6], wspólnej ze Stanisławem Spodzieją. W poniższych stwierdzeniach największy wspólny dzielnik wielomianów lub liczb a, b oznaczamy przez (a, b).

Stwierdzenie 2.6. Niech n, k będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Wtedy:

(1) f_n | g_2kn; (2) fn | f_(2k+1)n;

(3) wielomiany f_kn oraz g_n są względnie pierwsze;

(4) (g_kn+r, g_n) = (g_r, g_n) dla całkowitych r > 0;

Dowód. (1). Ponieważ g_2n = 2f_ng_n, więc f_n| g_2n. Ale g_2n | g_2kn (patrz Stwierdze- nie 2.3). Zatem fn| g_2kn.

(2). (Indukcja ze względu na k). Dla k = 0 jest to oczywiste. Niech k > 0 i załóżmy, że fn | f_(2k+1)n. Ponieważ f(2k+3)n = f(2k+1)n+2n = f(2k+1)nf_2n− g_(2k+1)ng_2n oraz fn| g_2n, więc f_n| f_(2k+3)n.

(3). (Indukcja ze względu na k). Dla k = 0 jest to oczywiste, gdyż f₀ = 1. Dla k = 1 już to wiemy (patrz Stwierdzenie 2.2). Niech k > 1 i załóżmy, że (fkn, g_n) = 1. Mamy wtedy:^f_(k+1)n, g_n^= (f_kn+n, g_n) = (f_knf_n− g_kng_n, g_n) = (f_knf_n, g_n) = (f_kn, g_n) = 1.

(4). Korzystamy z udowodnionych już wcześniejszych własności:

(g_kn+r, g_n) = (f_kng_r+ g_knf_r, g_n) = (f_kng_r, g_n) . Ale (fkn, g_n) = 1, więc (gkn+r, g_n) = (gr, g_n).

Stosując powyższe stwierdzenie oraz algorytm Euklidesa otrzymujemy:

Twierdzenie 2.7. Dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych m, n zachodzi równość

(g

, g

) = g

3 Pierwiastki wielomianów f

(x) oraz g

(x)

Niech n > 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Jeśli j jest liczbą należącą do zbioru {0, 1, 2, . . . , n − 1} i przy tym taką, że n 6= 2j, to oznaczmy:

t

= tg jπ n

!

.

Ponieważ tg^π₂^nie istnieje, więc założyliśmy dodatkowo, że n 6= 2j. Jeśli n jest niepa- rzyste, to mamy n parami różnych liczb rzeczywistych t₀ = 0, t₁, . . . , t_n−1. Jeśli nato- miast n = 2k jest liczbą parzystą, to mamy n − 1 parami różnych liczb rzeczywistych:

t₀ = 0, t₁, . . . , t_k−2, t_k−1, t_k+1, t_k+2, . . . , t_n−1.

Twierdzenie 3.1. Wszystkie pierwiastki każdego wielomianu gn(x) są liczbami rzeczy- wistymi. Dokładniej, jeśli n jest nieparzyste, to pierwiastkami tymi są t₀, t₁, . . . , t_n−1. Jeśli natomiast n = 2k jest liczbą parzystą, to pierwiastkami tymi są liczby t₀, t₁, . . . , t_k−1, tk+1, tk+2, . . . , tn−1.

Dowód. Załóżmy, że j ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, n 6= 2j. Mamy wtedy f_n(t_j) + ig_n(t_j) = (1 + it_j)ⁿ=^1 + itg^jπ_n^n =



1 + i^sin

jπ n

cos^jπ_n

n

= ^cos^jπ_n^−ncos^jπ_n + i sin^jπ_n^n

= (−1)^jcos^jπ_n^−n i stąd wynika, że gn(tj) = 0. 

Twierdzenie 3.2. Wszystkie pierwiastki każdego wielomianu f_n(x) są liczbami rzeczy- wistymi.

Dowód. Wynika to z Twierdzenia 3.1 oraz równości g_2n = 2f_ng_n.

Mówimy. że dany wielomian jest bezkwadratowy jes´li nie jest podzielny przez żaden kwadrat wielomianu nierozkładalnego; innymi słowy, jeśli jest iloczynem parami niesto- warzyszonych wielomianów nierozkładalnych. Z powyższych dwóch twierdzeń wynika natychmiast:

Stwierdzenie 3.3. Dla każdej liczby naturalnej n > 1 wielomiany fn(x) oraz g_n(x) są bezkwadratowe.

Z powyższych twierdzeń wynika również następne stwierdzenie.

Stwierdzenie 3.4. Jeśli q jest liczbą wymierną różną od ¹₂, to liczba tg (qπ) jest alge- braiczna.

Dowód. Niech q ∈ Q, q 6= ¹₂ i niech r = tg(qπ). Korzystając ze znanych wzorów redukcyjnych stwierdzamy, że ±r = tg^_n^jπ^, gdzie j, n są nieujemnymi liczbami cał- kowitymi i przy tym n> 1 oraz j < n i oczywiście n 6= 2j. Z Twierdzenia 3.1 wiemy, że liczba ±r jest pierwiastkiem wielomianu g_n(x). Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianu gn(x) są liczbami całkowitymi, więc ±r i stąd r jest liczbą algebraiczną. Twierdzenie 3.5. Jeśli q jest dowolną liczbą wymierną, to wszystkie liczby sin(qπ), cos(qπ), tg (qπ), ctg(qπ) (z wyjątkiem tych, które nie są zdefiniowane) są liczbami al- gebraicznymi.

Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 3.4 oraz znanych wzorów:

sin α = 2t

1 + t², cos α = 1 − t²

1 + t², ctgα = 1 tgα, gdzie t = tg^α₂. 

Twierdzenie 3.6. Jeśli q jest dowolną liczbą wymierną, to wszystkie liczby

sin(q^o), cos(q^o), tg (q^o), ctg(q^o) są liczbami algebraicznymi.

Dowód. Wiemy, że kąt 180^o (180 stopni) ma π radianów. Zatem q^o = ₁₈₀^q π i teza wynika z twierdzenia poprzedniego. 

4 Równości z tangensami

Spójrzmy jeszcze raz na Twierdzenia 3.1 oraz 3.2 oraz na współczynniki wiodące wielo- mianów fn(x) i gn(x), opisane w Stwierdzeniu 1.1. Z tych faktów wynikają natychmiast następujące stwierdzenia.

Stwierdzenie 4.1. Niech m > 1. Pierwiastkami wielomianu f^2m(x) są wszystkie liczby rzeczywiste postaci tg ^2k−1_4m π^, gdzie k = 1, 2, . . . , 2m. Mamy więc równość

f

(x) = (−1)

2m Y

k=1



x − tg



.

Pierwiastkami wielomianu f_2m+1(x) są wszystkie liczby rzeczywiste postaci tg ^_4m+2^2k+1π^, gdzie k należy do zbioru A = {0, 1, 2, . . . , 2m} r {m}. Mamy więc równość

f

(x) = (−1)

(2m + 1)

k∈A



x − tg



,

gdzie A = {0, 1, 2, . . . , 2m} r {m}.

Stwierdzenie 4.2. Niech m > 1. Pierwiastkami wielomianu g2m+1(x) są wszystkie liczby rzeczywiste postaci tg ^_2m+1^k π^, gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 2m. Mamy więc równość

g

(x) = (−1)

x

2m Y

k=1



x − tg

Pierwiastkami wielomianu g_2m(x) są wszystkie liczby rzeczywiste postaci tg ^_2m^k π^, gdzie k należy do zbioru A = {0, 1, 2, . . . , 2m − 1} r {m}. Mamy więc równość

g

(x) = (−1)

2mx

k∈A



x − tg

π

gdzie A = {0, 1, 2, . . . , 2m − 1} r {m}.

Korzystając z równości tg (π − α) = −tg (α), możemy powyższe dwa stwierdzenia zapisać w następujący sposób.

Stwierdzenie 4.3.

f

(x) = (−1)

k=1



x

− tg

(

)



f

(x) = (−1)

(2m + 1)

k=0



x

− tg

(

)



g

(x) = (−1)

2mx

k=1



x

− tg

(

)

g

(x) = (−1)

x

k=1



x

− tg

(

)

.

Przypomnijmy (patrz Stwierdzenie 1.2), że x^2mf2m+1

1 x



= (−1)^mh2m+1(x).

gdzie h_2m+1(x) = ^g2m+1_x ^(x). Pierwiastkami wielomianu h_2m+1(x) są wszystkie liczby po- staci tg _2m+1^kπ , gdzie k = 1, . . . , 2m. Mamy zatem:

Stwierdzenie 4.4. Pierwiastkami wielomianu f2s+1(x) są wszystkie liczby postaci ctg kπ

2m + 1, k = 1, 2, . . . , 2m.

Zachodzą więc równości

f

(x) = u

k=1



x − ctg

= u

k=1



x

− ctg

,

gdzie u_m = (−1)^m(2m + 1).

Przypomnijmy, że h_n(x) = ^gn_x^(x). Spójrzmy jeszcze raz na wielomian h_n(x) w przy- padku, gdy n = 4k + 1:

h_4k+1(x) =

2k

X

j=0

(−1)^j4k+1_2j+1^x^2j =

2k

Y

j=1

x²− tg²(_4k+1^jπ )^.

Porównując wyrazy wolne otrzymujemy równość ^4k+1₁ ^ = ^Q2k

j=1

tg²(_4k+1^jπ ). Natomiast porównując współczynniki przy x^4k−2 otrzymujemy równość ^4k+1₂ ^ = ^P2k

j=1

tg²(_4k+1^jπ ).

Wykazaliśmy zatem następujące dwie tożsamości:

2k

Y

j=1

tg

 jπ 4k + 1



=√

4k + 1,

2k

X

j=1

tg²

 jπ 4k + 1



= 2k(4k + 1).

Postępując podobnie w przypadku n = 4k + 3, otrzymujemy:

2k+1

Y

j=1

tg

 jπ 4k + 3



=√

4k + 3,

2k+1

X

j=1

tg²

 jπ 4k + 3



= (2k + 1)(4k + 3).

Niech teraz n będzie parzyste. Dla n = 4k mamy:

h_4k(x) = −4k

2k−1

Y

j=1

x²− tg²(^jπ_4k)^=

2k−1

X

j=0

(−1)^j_2j+1^{4k }x^2j,

Porównując wyrazy wolne otrzymujemy równość^4k₁^= 4k^2k−1Q

j=1

tg²(^jπ_4k). Natomiast po- równując współczynniki przy x^4k−4 otrzymujemy równość ^4k₃^= 4k^2k−1P

j=1

tg²(^jπ_4k). Wy- kazaliśmy zatem następujące dwie tożsamości:

2k−1

Y

j=1

tg

jπ 4k



= 1,

2k−1

X

j=1

tg²

jπ 4k



= 1

3(2k − 1)(4k − 1).

Postępując podobnie w przypadku n = 4k + 2, otrzymujemy:

2k

Y

j=1

tg

 jπ 4k + 2



= 1,

2k

X

j=1

tg²

 jπ 4k + 2



= 1

32k(4k + 1).

Udowodniliśmy zatem:

Stwierdzenie 4.5.

m−1 Q

j=1

tg

= 1,

j=1

tg

=

(m − 1)(2m − 1),

m Q

j=1

tg

= √

2m + 1,

j=1

tg

= m(2m + 1).

.

W ten sam sposób, wykorzystując Stwierdzenie 4.4, otrzymujemy poniższą równość z cotangensami.

Stwierdzenie 4.6 ([1] 123).

m X

j=1

ctg

jπ

2m + 1 = m(2m − 1)

3

5 Przykłady i zastosowania

5.1. Rozpoczynamy od wielokrotności kąta ^π₅ = 36^o. (1) tg^π₅ · tg^2π₅ =√

5.

(2) tg^2π₅^+ tg^22π₅ ^= 10.

(3) ctg^2π₅^+ ctg^22π₅ ^= 2.

(4) tg^π₅ =

q

5 − 2√

5, tg^2π₅ =

q

5 + 2√ 5.

(5) Liczby tg^π₅, tg^2π₅ , tg^3π₅ , tg^4π₅ są pierwiastkami wielomianu h₅(x) = x⁴− 10x²+ 5.

(6) Liczby ctg^π₅, ctg^2π₅ , ctg^3π₅ , ctg^4π₅ są pierwiastkami wielomianu f₅(x) = x⁴− 10x²+ 1.

5.2. Wielokrotności kąta ^π₇. (1) tg^π₇ · tg^2π₇ · tg^3π₇ =√

7.

(2) tg^2π₇^+ tg^22π₇ ^+ tg^23π₇ ^= 21.

(3) ctg^2π₇^+ ctg^22π₇ ^+ ctg^23π₇ ^= 5.

(4) Liczby tg^π₇, tg^2π₇ , . . . , tg ^6π₇ są pierwiastkami wielomianu h₇(x) = x⁶− 21x⁴+ 35x²− 7.

(5) Liczby ctg^π₇, ctg^2π₇ , . . . , ctg^6π₇ są pierwiastkami wielomianu f₇(x) = −7x⁶+ 35x⁴− 21x²+ 1.

5.3. Wielokrotności kąta ^π₈ = 22, 5^o. (1) tg^π₈ · tg^2π₈ · tg^3π₈ = 1.

(2) tg^2π₈^+ tg^22π₈ ^+ tg^23π₈ ^= 7.

(3) tg^π₈ =

q

3 − 2√

2, tg^2π₈ = 1, tg^3π₈ =

q

3 + 2√ 2.

(4) Liczby tg^π₈, tg^3π₈ , tg^5π₈ , tg^7π₈ są pierwiastkami wielomianu f4(x) = x⁴− 6x²+ 1.

5.4. Wielokrotności kąta ^π₉ = 20^o. (1) tg^π₉ · tg^2π₉ · tg^3π₉ · tg^4π₉ = 3.

(2) tg^2π₉^+ tg^22π₉ ^+ tg^23π₉ ^+ tg^24π₉ ^= 36.

(3) ctg^2π₉^+ ctg^22π₉ ^+ ctg^23π₉ ^+ ctg^24π₉ ^= ²⁸₃.

(4) Liczby tg^π₉, tg^2π₉ , . . . , tg^8π₉ są pierwiastkami wielomianu

h₉(x) = x⁸− 36x⁶+ 126x⁴− 84x² + 9 = (x²− 3)(x⁶− 33x⁴+ 27x²− 3) (5) Liczby ctg^π₉, ctg^2π₉ , . . . , ctg^8π₉ są pierwiastkami wielomianu

f₉(x) = 9x⁸− 84x⁶+ 126x⁴− 36x²+ 1 = (3x²− 1)(3x⁶− 27x⁴+ 33x²− 1).

5.5. Wielokrotności kąta ₁₀^π = 18^o. (1) tg₁₀^π · tg^2π₁₀ · tg^3π₁₀ · tg^4π₁₀ = 1.

(2) tg^2₁₀^π+ tg^22π₁₀^+ tg^23π₁₀^+ tg^24π₁₀^= 12.

(3) tg₁₀^π =^q5−2

√5

5 , tg^3π₁₀ =^q5+2

√5 5 .

(4) Wszystkie liczby postaci tg^jπ₁₀, gdzie j ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} są pierwiastkami wielomianu h₁₀(x) = 10x⁸−120x⁶+252x⁴−120x²+10 = 2(5x⁴−10x²+1)(x⁴−10x²+5).

(5) Liczby tg₁₀^π, tg^3π₁₀, tg^7π₁₀, tg^9π₁₀ są pierwiastkami wielomianu f₅(x) = 5x⁴− 10x²+ 1.

Literatura

[1] T. Andreescu, Z. Feng, 103 Trigonometry Problems. From the training of the USA IMO team, Birkh¨auser, Boston - Basel - Berlin, 2005.

[2] X. Lin, Infinitely many primes in the arithmetic progression kn − 1, The American Mathematical Monthly, 122(1)(2015), 48-50.

[3] T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea Publishing Company, New York, 1964.

[4] A. Nowicki, Liczby i Funkcje Rzeczywiste, Podróże po Imperium Liczb, cz.10, Wy- danie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2013.

[5] A. Nowicki, Liczby, Funkcje, Ciągi, Zbiory, Geometria, Podróże po Imperium Liczb, cz.15, Wydanie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2014.

[6] A. Nowicki, S. Spodzieja, Polynomial imaginary decomposition for finite extensions of fields of characteristic zero, Bull. Pol. Sci. Acad., 51(2)(2003), 157-168.

Nicolaus Copernicus University, Faculty of Mathematics and Computer Science, 87-100 Toruń, Poland, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl).