Wielomiany nierozkładalne i liczby pierwsze Andrzej Nowicki

Wielomiany nierozkładalne i liczby pierwsze

Andrzej Nowicki i Adela Świątek Toruń UMK, 30 września 1997 r.

W tym artykule zajmować się będziemy wielomianami jednej zmiennej x o współczynni- kach całkowitych. Zbiór wszystkich takich wielomianów oznaczać będziemy przez Z[x].

Niech f (x) będzie wielomianem dodatniego stopnia należącym do Z[x]. Mówimy, że wie- lomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x] (lub krótko, że jest nierozkładalny), jeśli nie jest iloczynem dwóch wielomianów dodatniego stopnia należących do Z[x].

Każdy wielomian postaci ax + b, gdzie 0 6= a i b są liczbami całkowitymi, jest oczywiście nierozkładalny. Łatwo sprawdzić, że nierozkładalnymi są wielomiany:

x²+ 1, x²+ x + 1, x³+ 5, x³+ x²+ 2, x⁴+ 5x²+ 15.

Natomiast wielomiany x³+ 1, x⁴+ 4, x⁵+ x⁴+ 1 nie są nierozkładalne gdyż:

x³+ 1 = (x + 1)(x²− x + 1),

x⁴+ 4 = (x²− 2x + 2)(x²+ 2x + 2), x⁵+ x⁴+ 1 = (x²+ x + 1)(x³− x + 1).

Istnieją twierdzenia, pozwalające szybko stwierdzić, że dany wielomian (ze zbioru Z[x]) jest nierozkładalny. Do takich twierdzeń należy następujące kryterium Eisensteina (patrz np.

[1]). Jeśli wielomian f (x) = a_nxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ · · · + a₁x + a₀ ma współczynniki całkowite oraz istnieje taka liczba pierwsza p, że: p | a₀, p | a₁, . . . , p | an−1, p - an, p² - a0, to wielomian f (x) jest nierozkładalny. Korzystając z tego kryterium bez trudu stwierdzamy, że wielomiany

x⁴+ 5x + 15, 2x⁵+ 3x⁴− 6x − 3, x¹²+ 7x⁴− 7x + 14 są nierozkładalne. Wielomianów tego rodzaju możemy wypisywać bardzo dużo.

Istnieje jeszcze inny (mniej znany) sposób wypisywania wielomianów nierozkładalnych.

Wystarczy znać liczby pierwsze. Z cyfr dowolnej liczby pierwszej można skonstruować wie- lomian nierozkładalny. Spójrzmy na przkłady. Liczby 113, 127, 251, 857 są pierwsze. Z liczb tych powstają wielomiany nierozkładalne

1x²+ 1x + 3, 1x²+ 2x + 7, 2x²+ 5x + 1, 8x²+ 5x + 7.

Podobnie, liczby 1997 oraz 1999 są pierwsze i mamy wielomiany nierozkładalne 1x³+ 9x²+ 9x+7 oraz 1x³+9x²+9x+9. Wielomian np. 2x⁵+9x⁴+9x³+9x²+7x+7 jest nierozkładalny, gdyż liczba 299977 jest pierwsza..

Tak można postąpić z każdą liczbą pierwszą. Celem niniejszego artykułu jest podanie do- wodu tego faktu. Dowód, który przedstawiamy, można znaleźć w [2] lub [3]. Udowodnimy dwa twierdzenia. Twierdzenie 1 dotyczyć będzie systemu dziesiętnego. Natomiast w Twierdzeniu 2 wykażemy, że taką samą własność posiadają cyfry liczb pierwszych zapisanych w dowolnym układzie numeracji o podstawie q > 2. W dowodach wykorzystamy lematy o zespolonych pierwiastakach wielomianów ze zbioru Z[x].

Niech f (x) = a_nxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ · · · + a₁x + a0 (gdzie a_n > 1) będzie ustalonym wielo- mianem o współczynnikach całkowitych.

1

Lemat 1. Załóżmy, że a_n−1 > 0 oraz |ai| 6 c dla i = 0, 1, . . . , n − 2, gdzie c > 1 jest pewną liczbą naturalną. Wtedy każdy zespolony pierwiastek z wielomianu f (x) spełnia nierówność Re (z) < ¹⁺

√ 4c+1

2 .

Dowód. Przypuśćmy, że istnieje zespolony pierwiastek z taki, że Re (z) > ¹⁺

√4c+1 2 . Wte- dy |z|> Re (z) > ¹⁺

√4c+1

2 > 1 i stąd Re (1/z) > 0 oraz |z|²− |z| − c > 0. Ponadto:

0 = |f (z)| = |(a_nzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹) + (a_n−2zⁿ⁻²+ · · · + a₁z + a0)|

> |anzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹| − |a_n−2zⁿ⁻²+ · · · + a₁z + a0|

> |anzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹| − (|a_n−2||z|ⁿ⁻²+ · · · + |a₁||z| + |a₀|)

> |anzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹| − c(|z|ⁿ⁻²+ · · · + |z| + 1) = |a_nzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹| − c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹⁻¹

> |a_nzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹| − c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹ > |z|ⁿ|a_n+ a_n−1/z| − c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹

> |z|ⁿRe (a_n+ a_n−1/z) − c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹ = |z|ⁿ(a_n+ a_n−1Re (1/z)) − c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹

> |z|ⁿa_n− c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹ > |z|ⁿ− c^|z|_|z|−1ⁿ⁻¹ = |z|^{n−1 |z|2}_|z|−1^−|z|−c > 0.

Otrzymaliśmy sprzeczność: 0 = |f (z)| > 0.

Lemat 2. Niech k będzie liczbą całkowitą. Jeśli każdy zespolony pierwiastek z wielomianu f (x) spełnia nierówność Re (z) < k − ¹₂, to |f (k − 1)| < |f (k)|.

Dowód. Wielomian f (x) jest (z dokładnością do stałego czynnika) iloczynem wielomia- nów postaci

g(x) = x − r i h(x) = (x − (a + bi))(x − (a − bi)) = (x − a)²+ b²,

gdzie r, a, b są liczbami rzeczywistymi przy czym r < k − ¹₂ oraz a < k − ¹₂. Wystarczy pokazać, że |g(k − 1)| < |g(k)| oraz |h(k − 1)| < |h(k)|. Pierwsza nierówność jest oczywista.

Sprawdzamy drugą:

|h(k)|²− |h(k − 1)|² = (k − a)²+ b²− (k − 1 − a)²− b²= 2^k − ¹₂^− 2a > 2a − 2a = 0.

Zatem |h(k − 1)| < |h(k)|. 

Lemat 3. Jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że:

(1) każdy zespolony pierwiastek z wielomianu f (x) spełnia nierówność Re (z) < k −¹₂, (2) f (k − 1) 6= 0,

(3) f (k) jest liczbą pierwszą,

to f (x) jest wielomianem nierozkładalnym w Z[x].

Dowód. Przypuśćmy, że f (x) = g(x) · h(x), gdzie g(x) i h(x) pewnymi wielomianami o współczynnikach całkowitych stopni > 1. Wielomiany g(x) i h(x) spełniają oczywiście założenia Lematu 2. Zatem: |g(k)| > |g(k − 1)| > 1 oraz |h(k)| > |h(k − 1)| > 1. Stąd wynika, że f (k) = |f (k)| = |g(k)| · |h(k)| wbrew temu, że f (k) jest liczbą pierwszą. 

Lemat 4. Załóżmy, że an−1> 0 oraz |ai| 6 c dla i = 0, 1, . . . , n−2, gdzie c > 1 jest pewną liczbą naturalną. Jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że k > 1 + ¹₂√

4c + 1, f (k − 1) 6= 0 oraz f (k) jest liczbą pierwszą, to wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x].

Dowód. Niech z będzie zespolonym pierwiastkiem wielomianu f (x). Wtedy Re (z) <

1

2(1 +√

4c + 1) (na mocy Lematu 1) i mamy:

Re (z) < ¹₂ +¹₂√

4c + 1 = 1 +¹₂√

4c + 1 −¹₂ 6 k −¹₂.

2

Teza wynika zatem z Lematu 3.

Twierdzenie 1 ([2] str. 118). Niech f (x) będzie wielomianem dodatniego stopnia o współ- czynnikach całkowitych należących do zbioru {0, 1, . . . , 9}. Jeśli f (10) jest liczbą pierwszą, to wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x].

Dowód. Przyjmujemy k = 10, c = 9 i stosujemy Lemat 4. 

Twierdzenie 2. Niech q > 2 będzie liczbą naturalną i niech f (x) będzie wielomianem dodatniego stopnia o współczynnikach całkowitych należących do zbioru {0, 1, . . . , q − 1}. Jeśli f (q) jest liczbą pierwszą, to wielomian f (x) jest nierozkładalny w Z[x].

Dowód. Niech k = q, c = q − 1. Łatwo sprawdzić, że wówczas k > 1 +¹₂√

4c + 1 (korzysta się z tego, że q > 2). Teza wynika więc z Lematu 4.

Na zakończenie zanotujmy pytanie:

Czy Twierdzenie 2 jest prawdziwe również dla q = 2 ?

Autorzy nie znają odpowiedzi na to pytanie. Przetestowano (komputerowo) wielką liczbę wielomianów spełniających dane założenia. Nie znaleziono żadnego kontrprzykładu.

Literatura

[1] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, Warszawa 1975.

[2] G. M. Szapiro, Algebra Wyższa (po rosyjsku), Moskwa, 1938.

[3] J. Wieczyńska, Rozkładalność wielomianów nad ciałem liczb wymiernych, Praca magister- ska, Toruń, UMK, 1997.

3