Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja, liczby całkowite x, y &gt

Pierwsze zawody drużynowe

grupa młodsza wtorek, 23 września 2003

31.W czworościanie ABCD suma miar ka_,tów płaskich przy każdym wierzchołku jest równa.

Udowodnić, że okre_,gi opisane na każdej ze ścian sa_, przystaja_,ce.

32. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja_, liczby całkowite x, y > n takie, że x^x | y^y, lecz x - y.

33. We wne_,trzu trójka_,ta równobocznego ABC obrano punkt M . Wykazać, że z odcinków AM, BM i CM można zbudować trójka_,t, którego pole jest nie wie_,ksze od trzeciej cze_,ści pola trójka_,ta ABC.

34.Znaleźć wszystkie funkcje f : Z → Z spełniaja,ce dla dowolnych x, y ∈ Z równość

f(x + y) + f (xy) = f (x)f (y) + 1.

35. Przy okra_,głym stole siedzi parzysta liczba osób. W pewnym momencie wszyscy wyszli podpisać regulamin, po czym ponownie zasiedli do stołu, niekoniecznie w tej samej konfiguracji.

Udowodnić, że istnieja_, dwie osoby, których dzieli ta sama liczba osób, co przed podpisaniem regulaminu.

36.Onufry położyl na szachownicy 29 ×29 dziewie,ćdziesia_,t dziewie_,ć kwadracików o wymia- rach 2 × 2 tak, by każdy przykrywał 4 całe kwadraty jednostkowe szachownicy. Udowodnić, że mimo starań Onufrego Joasia be_,dzie w stanie położyć na szachownicy jeszcze jeden kwadracik 2 × 2 tak, by nie zachodził na kwadraciki Onufrego.

37.Cia_,g a1, a2, a3, . . .jest zdefiniowany naste_,puja_,co:

a_4n−1 = 1, a_4n−3 = 0 i a2n = an dla n = 1, 2, 3, . . ..

Wykazać, że cia_,g (an) nie jest okresowy.

38. Na płaszczyźnie dane sa_, punkty A, I i O. Skonstruować trójka_,t ABC taki, że A jest jego wierzchołkiem, I środkiem okre_,gu wpisanego, a O opisanego.

39.W zawodach startuje n graczy. Każda para gra mecz, którego wynikiem może być tylko zwycie_,stwo lub przegrana. Gracz o numerze i dla i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} wygrał aⁱmeczów i przegrał bi meczów. Wykazać, że

Xn

i=1

a²_i =

Xn

i=1

b²_i.

310. Wykazać, że nie istnieja_, liczba pierwsza p > 5 i liczba naturalna m > 1 takie, że (p − 1)! + 1 = p^m.

311.Cia_,g a0, a1, a2, a3, . . . jest zdefiniowany naste_,puja_,co:

a0 = a1 = a2 = 1 i an+3 = an+2an+1+ an dla n = 0, 1, 2, . . ..

Wykazać, że dla każdego k ∈ Z⁺ istnieje n ∈ N takie, że k|aⁿ.

Pierwsze zawody drużynowe

grupa starsza wtorek, 23 września 2003

311.Cia_,g a0, a1, a2, a3, . . . jest zdefiniowany naste_,puja_,co:

a0 = a1 = a2 = 1 i an+3 = an+2a_n+1+ an dla n = 0, 1, 2, . . ..

Wykazać, że dla każdego k ∈ Z⁺ istnieje n ∈ N takie, że k|aⁿ.

312. Wskazać taki sposób rozmieszczenia przy okra_,głym stole n dziewcza_,t i n chłopców, aby liczba dn− cⁿ była najwie_,ksza, gdzie dn jest liczba_, dziewcza_,t siedza_,cych mie_,dzy dwoma chłopcami, zaś cn - liczba_, chłopców siedza_,cych miedzy dwoma dziewcze_,tami.

313.Funkcja f jest określona w zbiorze liczb całkowitych dodatnich przez równania: f (1) = 1 , f(3) = 3 oraz: f (2n) = f (n) , f (4n + 1) = 2f (2n + 1) − f(n) , f(4n + 3) = 3f(2n + 1) − 2f(n) dla wszystkich liczb całkowitych n > 0 . Wyznaczyć liczbe_, liczb całkowitych n spełniaja_,cych warunki 0 < n ¬ 1988 oraz f(n) = n .

314.Niech P be_,dzie punktem we wne_,trzu czworościanu foremnego ABCD o boku 1. Udo- wodnić, że √

6 ¬ |P A| + |P B| + |P C| + |P D| ¬ 3.

315.Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla których zachodzi 2 - n i n | 3ⁿ+ 1 316.Udowodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej t istnieje cia_,g arytmetyczny o długości t, którego wyrazy sa_, pote_,gami liczb całkowitych o wykładnikach wie_,kszych od 1.

317.Dane sa_,liczby całkowite dodatnie k i n. Na szachownicy n×n umieszczono kn kamieni tak, by w każdym rze_,dzie i w każdej kolumnie było dokładnie k kamieni (może wiele kamieni leżeć na jednym polu). Dopuszczalnym nazywamy układ n pól szachownicy, w którym żadne dwa pola nie leża_, w jednym rze_,dzie ani w jednej kolumnie. Ruch polega na wybraniu układu dopuszczalnego, w którym na każdym polu leży przynajmniej 1 kamień, i zdje_,cie z każdego pola wybranego układu po 1 kamieniu. Udowodnić, że takimi ruchami da sie_, zdja_,ć wszystkie kamienie z szachownicy.

318.Proste k1, k2 i k3 przecinaja_, sie_, w punkcie S. Okre_,gi ωi i ωi+3 przechodza_,przez punkt S, leża_, po przeciwnych stronach i sa_, styczne do prostej ki, dla i = 1, 2, 3. Okre_,gi ωi i ωi+2

przecinaja_, sie_, w punkcie Bi dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. (przyjmujemy ω1 = ω7 i ω2 = ω8). Wykazać, że okre_,gi opisane na trójka_,tach SB1B4, SB2B5 i SB3B6 maja_,jeszcze jeden punkt wspólny poza S.

319. Niech x1, x2, . . . , x_n be_,da_, różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Udowodnić, że zachodzi nierówność:

x²₁+ x²2 + . . . + x²_n ­ 2n + 1

3 (x1+ x2 + . . . + xn).

320. Okre_,gi ω1, ω2, ω3, ω4, ω5 i ω6 sa_, styczne wewne_,trznie do okre_,gu ω w odpowiednio punktach A, B, C, D, E i F . W dodatku dla każdego i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} okre,gi ωi i ωi+1 sa_, styczne zewne_,trznie (przyjmujemy ω1 = ω7). Wykazać, że proste AD, BE i CF przecinaja_,sie_, w jednym punkcie.