2) dla ka»dej liczby naturalnej k ≥ n 0 prawdziwa jest implikacja T (k) ⇒ T (k + 1), to dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ n 0 prawdziwe jest forma zdaniowa T (n).

Indukcja matematyczna, zbiory Informacje pomocnicze:

Zasada indukcji matematycznej: (od szczegóªu do ogóªu)

Niech symbol T (n) oznacza form¦ zdaniow¡ (tez¡) zmiennej naturalnej n. Metoda indukcji matema- tycznej mówi, »e je»eli:

1) istnieje taka liczba naturalna n 0 , taka »e forma zdaniowa T (n 0 ) jest prawdziwa;

2) dla ka»dej liczby naturalnej k ≥ n 0 prawdziwa jest implikacja T (k) ⇒ T (k + 1), to dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ n 0 prawdziwe jest forma zdaniowa T (n).

Powy»sz¡ zasad¦ mo»emy zapisa¢ w postaci:

h

T (n 0 ) ∧ ∀ k≥n

T (k) ⇒ T (k + 1) i

⇒ ∀ n≥n

T (n)

Zasada indukcji matematycznej spotykana jest równie» pod nazwami indukcja zupeªna lub dosko- naª¡

Denicja 1. (struktura zbioru liczb rzeczywistych)

Struktur¡ zbioru liczb rzeczywistych nazywamy czwórk¦ (R, +, ·, <), gdzie R jest zbiorem, +, · s¡

funkcjami dziaªaj¡cymi R × R → R, a < jest relacj¡ na R × R oraz speªnione s¡ warunki:

1) ∀ x,y∈R x + y = y + x (przemienno±¢ dodawania);

2) ∀ x,y,z∈R x + (y + z) = (x + y) + z (ª¡czno±¢ dodawania);

3) ∃ 0∈R ∀ _x∈R x + 0 = x (istnienie elementu naturalnego dla dodawania);

4) ∀ x∈R ∃ _y∈R x + y = 0 (istnienie elementu przeciwnego dla x, oznaczamy go −x);

5) ∀ x,y∈R x · y = y · x (przemienno±¢ mno»enia);

6) ∀ x,y,z∈R x · (y · z) = (x · y) · z (przemienno±¢ mno»enia);

7) ∃ 06=1∈R ∀ _x∈R x · 1 = x (istnienie elementu neutralnego dla mno»enia);

8) ∀ 06=x∈R ∃ _y∈R x · y = 1 (istnienie elementu odwrotnego dla x, oznaczamy go x ⁻¹ );

9) ∀ x,y,z∈R x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania);

10) ∀ x,y∈R x < y ⇒ ¬(y < x) (asymetria porz¡dku);

11) ∀ x,y,z∈R x < y < z ⇒ x < z (przechodnio±¢ porz¡dku);

12) ∀ x,y∈R x 6= y ⇒ (x < y) ∨ (y < x) (sªaba spójno±¢ porz¡dku);

13) ∀ x,y,z∈R x < y ⇒ x + z < y + z (niezmienniczo±¢ porz¡dku wzgl¦dem dodawania);

14) ∀ x,y,z∈R (x < y ∧ 0 < z) ⇒ x · z < y · z (niezmienniczo±¢ porz¡dku wzgl¦dem mno»enia

przez liczby dodatnie);

15) dla ka»dego niepustego i ograniczonego z góry (z doªu) podzbioru A ⊂ R istnieje kres górny sup A (kres dolny inf A)- tzw. aksjomat ci¡gªo±ci.(denicje kresów patrz poni»ej)

Zbiory ograniczone

Denicja 2. Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X ⊆ R, gdy

∀ _x∈X x ≥ m.

Liczb¦ M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru X ⊆ R, gdy

∀ x∈X x ≤ M.

Zbiór jest ograniczony z doªu (z góry) gdy posiada ograniczenie dolne (górne). Zbiór ograniczony zarówno z góry jak i z doªu nazywamy zbiorem ograniczonym.

Przykªad 3. Rozwa»my zbiory:

A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} .

• Zbiór A nie jest ograniczony z doªu przez »adn¡ liczb¦ rzeczywist¡. Jest on natomiast ograni- czony z góry np. przez liczby 100, 8, 4 ₂₀₁₃ ¹² oraz 4.

• Zbiór B jest ograniczony z doªu np. przez liczby rzeczywiste: −3, 0, 2. Jest on równie» ograni- czony z góry np. przez liczby 100, 8, 0001 oraz 8. Zatem jest to zbiór ograniczony.

• Zbiór C jest ograniczony z doªu np. przez liczby rzeczywiste: −100, −7, −3. Jest on równie»

ograniczony z góry np. przez liczby 100, 3 ¹ ₂ oraz π.

Element najwi¦kszy i najmniejszy zbioru

Denicja 4. Liczba a jest najwi¦kszym elementem zbioru X ⊆ R wtedy i tylko wtedy gdy a ∈ X oraz ∀ x∈X x ≤ a.

Zapisujemy wówczas a = max X.

Denicja 5. Liczba b jest najmniejszym elementem zbioru X ⊆ R wtedy i tylko wtedy gdy b ∈ X oraz ∀ _x∈X x ≥ b.

Zapisujemy wówczas b = min X.

Przykªad 6. Rozwa»my zbiory:

A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} .

• Zbiór A nie posiada elementu najmniejszego. Posiada natomiast element najwi¦kszy, jest nim:

max A = 4.

• Zbiór B nie posiada elementu najmniejszego jak równie» i najwi¦kszego.

• Zbiór C posiada elementu najmniejszy, jest nim min C = −3. Posiada równie» element naj- wi¦kszy, jest nim: max C = π.

Kresy zbiorów

Denicja 7. Liczb¦ i nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊆ R je±li jest jego najwi¦kszym ograni- czeniem dolnym, tzn.

∀ _x∈X i ≤ x oraz ∀ _ε>0 ∃ _x

∈X x ₀ < i + ε.

Denicja 8. Liczb¦ s nazywamy kresem górnym zbioru X ⊆ R je±li jest jego najmniejszym ograni- czeniem górnym, tzn.

∀ _x∈X x ≤ s oraz ∀ _ε>0 ∃ _x

∈X x ₀ > s − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy jako inf X (czyt. inmum zbioru X), a kres górny jako sup X (czyt. supremum zbioru X). W przypadku gdy zbiór nie jest ograniczony z doªu (z góry) piszemy,

»e inf X = −∞ (sup X = ∞).

Uwaga 9. (aksjomat ci¡gªo±ci)

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny, a ograniczony z góry ma kres górny.

Przykªad 10. Rozwa»my zbiory:

A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} . Wówczas:

• inf A = −∞, sup A = 4;

• inf B = 2, sup B = 8;

• inf C = −3, sup C = π.

Zadania

1. W oparciu o zasad¦ indukcji matematycznej wykaza¢, »e:

a) P ⁿ

k=1 1

k(k+1) = _n+1 ⁿ b) P ⁿ

k=1

k ² = n(n+1)(2n+1) 6

c) P ⁿ

k=1

k ³ =

 _n P

k=1

k

 2

= h

n(n+1) 2

i 2

d)1 + 11 + 111 + ... + 11...1

| {z }

n

= ¹⁰

⁻⁹ⁿ⁻¹⁰ ₈₁ 2. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n oraz liczby rzeczywistej x ∈ (−1, +∞) jest speª-

niona tzw. nierówno±¢ Bernoulliego:

(1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx

3. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 5 zachodzi nierówno±¢:

n ² < 2 ⁿ . 4. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba:

a) 3 ⁴ⁿ⁺² + 1 jest podzielna przez 10; b) n ⁷ − n jest podzielna przez 7.

5. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y oraz dowolnej liczby naturalnej n ma miejsce tzw. wzór dwumianowy Newtona:

(x + y) ⁿ =

n

X

k=0

 n k



x ^k y ^n−k , gdzie  n k



= n!

k! · (n − k)! . Wskazówka: Skorzystaj ze wªasno±ci ⁿ⁺¹ _k
= _k−1 ⁿ
+ ⁿ _k

6. Udowodnij, »e:

n

X

k=0

 n k



= 2 ⁿ .

7. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 4 zachodzi nierówno±¢:

2 ⁿ ≤ n!.

8. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 3 zachodzi nierówno±¢:

n ⁿ⁺¹ > (n + 1) ⁿ .

9. Udowodnij, »e dla dowolnej liczny naturalnej n zachodz¡ nierówno±ci:

a) ²ⁿ _n
< 4 ⁿ ; b) ⁿ ₃
n

< n! < e ⁿ ₂
n

. Wskazówka: w podpunkcie b) skorzysta¢ z nierówno±ci 1 + _n ¹
n

≤ e < 3.

10. Korzystaj¡c z aksjomatów 1)-15) z denicji struktury zbioru liczb rzeczywistych wyka», »e:

a) ∀ x,y,z∈R (x + y = x + z) ⇒ y = z;

b) ∀ x,y,z,w∈R [(x < y ∧ z < w] ⇒ x + z < y + w;

c) ∀ x∈R x · 0 = 0;

d) ∀ x∈R − (−x) = x;

e) ∀ x,y∈R (−x)y = −xy = x(−y);

f) ∀ x,y,z∈R (x < 0 ∧ y < z) ⇒ xz < xy;

g) 0 < 1.

11. Zbadaj ograniczono±¢ z góry, z doªu, ograniczono±¢ zbioru B =  _n+1 ²ⁿ : n ∈ N . Ponadto znajd¹ kresy górne dolne oraz sprawd¹ czy wyst¦puj¡ elementy najmniejsze, najwi¦ksze.

12. Zbadaj czy podane zbiory s¡ ograniczone z doªu, z góry, s¡ ograniczone:

a) A =  ¹ ₃
n

: n ∈ N

b) B = n

p

q : p, q ∈ N o c) C = n

p

q : p, q ∈ N oraz p < q o

d) D = n

[(−1) ⁿ + 1]n + ¹⁻⁽⁻¹⁾ _n

: n ∈ N o e) E = x ∈ R : sin x = ¹ ₂

f) F = {x ∈ R : x ² + 4x − 2 < 0}

g) G = n ^√

√ n

n+1 : n ∈ N o

h) H = {2 ^z : z ∈ Z}

13. Zbadaj czy podane zbiory maj¡ elementy najmniejsze, najwi¦ksze:

a) A = (3, 8) ∪ {10} b) B =  _2n−1 ¹ : n ∈ N c) C =  ¹ _x : x ∈ (0, 1]

14. Niech b¦dzie dany zbiór A =  ⁿ⁻¹ _n+1 : n ∈ N . Wyka», »e 0 jest kresem dolnym zbioru A.

15. Niech b¦dzie dany zbiór A =  _t+1 ^t : t ∈ R + . Wyka», »e 1 jest kresem górnym zbioru A.

16. Niech b¦dzie dany zbiór A =  ₅

³ⁿ ₊₁ : n ∈ N . Wyka», »e 0 jest kresem dolnym zbioru A.

17. Wyznacz kresy zbiorów(o ile istniej¡):

a) A = {0, 4, 0, 44, 0, 444, ...} b) B = (−∞, 5] \ Q c) C = [ √

5, +∞) ∩ Q d) D = {|x − 2| < 5 : x ∈ R}

e) E = {x − x ² : x ∈ [−4, 1]} f) F = n ^√

√ n

n+1 : n ∈ N o g) G = n

n

+1

n

: n ∈ N o

h) H = n

n

−1

n

+1 : n ∈ N o i) I = n

1+3

3

: n ∈ N o

18. Wyka», »e 5 nie jest kresem górnym zbioru A = n ^√

n−2 1−2 √

n : n ∈ N o

.

19. Udowodnij, »e w ka»dym przedziale (a, b), gdzie a < b znajduje si¦ co najmniej jedna liczba wymierna.

20. Udowodnij, »e w ka»dym przedziale (a, b), gdzie a < b znajduje si¦ niesko«czenie wiele liczb

wymiernych.