Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzą nierówności 2 5· n · (n + 1

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

Zadania do omówienia na ćwiczeniach w piątek 29.01.2021 i poniedziałek 1.02.2021.

Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.

652. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzą nierówności 2

5· n · (n + 1) ·√ n <

n X k=1

√

k³ < 2

5· n · (n + 1) ·√ n + 1 .

653. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność (n + 5) ·





2n n



> 9 · 4ⁿ⁻¹.

654. Skonstruować przykład takiego szeregu zbieżnego ^P^∞

n=1

a_n o wyrazach rzeczywi- stych, że szeregi ^P^∞

n=1a²_n oraz ^P^∞

n=1a⁴_n są zbieżne, a ponadto zachodzą równości

∞ X n=1

a_n=

∞ X n=1

a²_n=1

2 oraz

∞ X n=1

a⁴_n=1 5.

655. Udowodnić, że liczba rzeczywista q > 1 spełniająca równanie qq²= 256 jest nie- wymierna.

656. Dobrać odpowiednią liczbę rzeczywistą k oraz liczbę wymierną dodatnią C i udo- wodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x zachodzą nierówności

C · x^k¬4 ·√

16x + 9 − 3 ·√

9x + 16·√

x + 1¬ 3C · x^k.

Lista 28 - 459 - Strony 459–460

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

W każdym z kolejnych zadań zadań podaj granicę (lub granicę niewłaściwą) ciągu.

Liczby wymierne podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego.

657. lim

n→+∞

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k + . . . + n

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k + 1) + . . . + (2n + 1)= . . . .

658. lim

n→+∞

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k + . . . + (2n + 1)

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k + 1) + . . . + (2n + 1)= . . . .

659. lim

n→+∞

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k + . . . + 2ⁿ

1 + 4 + 16 + 64 + . . . + 4^k+ . . . + 4ⁿ = . . . .

660. lim

n→+∞

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^k+ . . . + 4ⁿ

1 + 4 + 16 + 64 + . . . + 4^k+ . . . + 4ⁿ = . . . .

661. lim

n→+∞

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^k+ . . . + 8ⁿ

1 + 8 + 64 + 512 + . . . + 8^k+ . . . + 8ⁿ= . . . .

662. lim

n→+∞

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^k+ . . . + 2ⁿ²

1 + 4 + 16 + 64 + . . . + 4^k+ . . . + 4ⁿ = . . . .

663. lim

n→+∞

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^k+ . . . + 64ⁿ

1 + 4 + 16 + 64 + . . . + 4^k+ . . . + 64ⁿ= . . . .

664. lim

n→+∞

1 + 4 + 16 + 64 + . . . + 4^k+ . . . + 64ⁿ

1 + 8 + 64 + 512 + . . . + 8^k+ . . . + 64ⁿ= . . . .

665. lim

n→+∞

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^k+ . . . + 64ⁿ

1 + 8 + 64 + 512 + . . . + 8^k+ . . . + 64ⁿ= . . . .

666. lim

n→+∞

1 + 8 + 64 + 512 + . . . + 8^k+ . . . + 64ⁿ

1 + 64 + 4096 + . . . + 64^k+ . . . + 64ⁿ = . . . .

667. lim

n→+∞

1 + 4 + 16 + 64 + . . . + 4^k+ . . . + 64ⁿ

1 + 64 + 4096 + . . . + 64^k+ . . . + 64ⁿ= . . . .

Lista 28 - 460 - Strony 459–460