Granica ciągu
Liczba 𝑔 jest granicą ciągu (𝑎𝑛), jeśli ⋀𝜀>0⋁ ⋀𝛿 𝑛>𝛿|𝑎𝑛− 𝑔| < 𝜀. Mówimy też, że dla dowolnej liczby 𝜀 > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność |𝑎𝑛− 𝑔| < 𝜀. Piszemy: lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑔 albo 𝑎𝑛 → 𝑔 (przy 𝑛 → ∞). Mówimy również, że ciąg (𝑎𝑛) dąży do granicy 𝒈 albo jest zbieżny do 𝒈.
(Uwaga: Czasem pomija się zapis 𝑛 → ∞ pisząc 𝑎𝑛→ 𝑔 albo lim
𝑛 𝑎𝑛 = 𝑔) Twierdzenie: (podstawowe granice)
a) Jeśli ⋀𝑛≥1𝑎𝑛= 𝑐, to lim
𝑛→∞𝑎𝑛= 𝑐 (granica ciągu stałego) b) lim
𝑛→∞
1 𝑛= 0
c) Jeśli |𝑞| < 1, to lim
𝑛→∞𝑞𝑛= 0 (granica ciągu geometrycznego o ilorazie 𝑞, |𝑞| < 1) Własności granic:
1. Jeśli lim
𝑛→∞𝑎𝑛= 0, to lim
𝑛→∞|𝑎𝑛| = 0.
2. Załóżmy, że lim
𝑛→∞|𝑎𝑛| = 𝑎. Co można powiedzieć o granicy ciągu (𝑎𝑛)? Czy istnieje? A jeśli tak, to ile jest równa?
Ciąg (𝑎𝑛) jest okresowy, jeśli ⋁𝑘≥1⋀𝑛≥1𝑎𝑛+𝑘= 𝑎𝑛. Liczbę 𝑘 nazywamy okresem ciągu (𝑎𝑛).
3. Czy ciąg okresowy może mieć granicę?
Ciąg (𝑎𝑛) jest ograniczony, jeśli ⋁𝑀∈ℝ⋀𝑛≥1|𝑎𝑛| ≤ 𝑀. Ciąg (𝑎𝑛) jest ograniczony z dołu (z góry), jeśli
⋁𝑚1∈ℝ⋀𝑛≥1𝑎𝑛≥𝑚1 (odpowiednio: ⋁𝑚2∈ℝ⋀𝑛≥1𝑎𝑛≤𝑚2). Każdy ciąg rosnący (malejący) jest ograniczony z dołu (odpowiednio: z góry) przez swój pierwszy wyraz.
4. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
5. Czy ciąg ograniczony musi być zbieżny?
Niech 𝑛1< 𝑛2< 𝑛3< ⋯ < 𝑛𝑘< ⋯ będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Dla ciągu (𝑎𝑛) określmy ciąg (𝑏𝑘) wzorem: 𝑏𝑘 = 𝑎𝑛𝑘. Ciąg (𝑏𝑘) nazywamy podciągiem ciągu (𝑎𝑛)
6. Jeśli ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny (do granicy 𝑔), to każdy jego podciąg (𝑎𝑛𝑘) jest zbieżny (do tej samej granicy 𝑔).
Zatem, aby wykazać że pewien ciąg nie ma granicy, wystarczy wskazać dwa jego podciągi zbieżne do różnych granic.
7. Czy ciąg (𝑎𝑛), 𝑎𝑛= sin (𝑛𝜋
2), ma granicę?
8. (OM) Wykaż, że lim
𝑛→∞sin 𝑛 nie istnieje (𝑛 = 𝑛 radianów).
Twierdzenie (arytmetyka granic): Niech lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 oraz lim
𝑛→∞𝑏𝑛= 𝑏. Wówczas:
a) lim
𝑛→∞(𝑎𝑛+ 𝑏𝑛) = 𝑎 + 𝑏 b) lim
𝑛→∞(𝑎𝑛− 𝑏𝑛) = 𝑎 − 𝑏 c) lim
𝑛→∞(𝑎𝑛∙ 𝑏𝑛) = 𝑎 ∙ 𝑏 d) lim
𝑛→∞(𝑎𝑛
𝑏𝑛) =𝑎
𝑏, o ile 𝑏𝑛≠ 0 i 𝑏 ≠ 0.
e) lim
𝑛→∞√𝑎𝑛= √𝑎, o ile 𝑎𝑛 ≥ 0; ogólnie: lim
𝑛→∞𝑘√𝑎𝑛= √𝑎𝑘 dla dowolnego 𝑘 ∈ ℕ.
Mówimy, że ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli ⋀ ⋁ ⋀𝑀 𝛿 𝑛>𝛿𝑎𝑛≥ 𝑀. Piszemy wtedy
𝑛→∞lim 𝑎𝑛 = ∞ albo 𝑎𝑛 → ∞ (przy 𝑛 → ∞). Analogicznie określamy ciąg rozbieżny do −∞. Przykładami ciągów rozbieżnych do nieskończoności są 𝑛, 𝑛2, √𝑛, 2𝑛, log2𝑛 , 𝑛!. Ogólnie:
Twierdzenie: (podstawowe granice):
a) Jeśli 𝛼 > 0, to lim
𝑛→∞𝑛𝛼 = ∞ b) Jeśli 𝑞 > 1, to lim
𝑛→∞𝑞𝑛= ∞.
9. Oblicz granice:
a) lim
𝑛→∞
4𝑛2+3𝑛−2020
3𝑛2−2𝑛+9 b) lim
𝑛→∞
−7𝑛3+3𝑛
1+2𝑛+3𝑛2+4𝑛5 c) lim
𝑛→∞
√4𝑛2+9+8𝑛
2𝑛+7 d) lim
𝑛→∞
1+5+9+⋯+(4𝑛−3) 𝑛2−𝑛+1
e) lim
𝑛→∞
4𝑛+3−3𝑛+2
2∙4𝑛+3𝑛−1 f) lim
𝑛→∞(11𝑛3+6𝑛+5
6𝑛3+1 −2𝑛2+2𝑛+1
5𝑛2−4 ) g) lim
𝑛→∞
(3𝑛2+5𝑛)3(2𝑛−1)4 (6𝑛5+𝑛+1)2
h) lim
𝑛→∞(0,5𝑛3− 10𝑛2− 25𝑛 + 89) i) lim
𝑛→∞(3𝑛2+4𝑛+1
2𝑛+1 −6𝑛2+𝑛−1
4𝑛−1 ) j) lim
𝑛→∞(√2𝑛 + 7 − √𝑛 + 1) k) lim
𝑛→∞(√𝑛 + 2√𝑛 + 3 − √𝑛 − 6√𝑛 + 12).
Twierdzenie o trzech ciągach:
Niech 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛≤ 𝑐𝑛 dla prawie wszystkich 𝑛 oraz lim
𝑛→∞𝑎𝑛= lim
𝑛→∞𝑐𝑛= 𝑔. Wówczas lim
𝑛→∞𝑏𝑛= 𝑔.
10. Oblicz granice:
a) lim
𝑛→∞
3+2 sin 𝑛 4+3 cos 𝑛 b) lim
𝑛→∞
⌊𝑛√2⌋
𝑛 (⌊𝑥⌋ oznacza część całkowitą z 𝑥) c) lim
𝑛→∞𝑛√24𝑛+ 33𝑛+ 42𝑛 d) lim
𝑛→∞𝑛√5𝑛− 2𝑛 e) lim
𝑛→∞( 𝑛
√𝑛2+1+ 𝑛
√𝑛2+2+ 𝑛
√𝑛2+3+ ⋯ 𝑛
√𝑛2+𝑛)
Odpowiednikiem ostatniego twierdzenia dla ciągów rozbieżnych do nieskończoności jest Twierdzenie o dwóch ciągach:
Niech 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 dla prawie wszystkich 𝑛 oraz lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = ∞. Wówczas lim
𝑛→∞𝑏𝑛= ∞.
11. Oblicz granice:
a) lim
𝑛→∞(1
√1+ 1
√2+ 1
√3+ ⋯ 1
√𝑛) b) lim
𝑛→∞(1
1+1
2+1
3+ ⋯1
𝑛)
