WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 8
Minory w grafach
Definicja: Niech G- graf, e = xy ∈ E(G). Ściągnięciem krawędzi e do wierzchołka ve w grafie G nazywamy graf G/e otrzymany z G przez zastąpienie krawędzi e = xy przez nowy wierzchołek ve, który sąsiaduje w G/e z wszystkimi sąsiadami x oraz y w G.
Formalnie:
V (G/e) = V (G) \ {x, y} ∪ {ve}
E(G/e) = {uv ∈ E(G) : {u, v} ∩ {x, y} = ∅} ∪ {vew : xw ∈ E(G) \ e lub yw ∈ E(G) \ e
Definicja: Niech G, X grafy. G = MX jeśli rodzina zbiorów {Vx : x ∈ V (X)} tworzy podział znioru V (G) na spójne podzbiory (tzn. podzbiory V (G) indukujące w G spójne podgrafy), takie, że:
∀x, y ∈ V (X) istnieje Vx− Vy krawędź w G ⇔ xy ∈ E(X)
(Vx− V y krawędź to krawędź między pewnym wierzchołkiem z Vx a pewnym wierzchołkiem z Vy).
Zbiory Vx nazywamy zbiorami gałęziowymi (branch sets) albo gałęziami w M X.
Intuicyjnie: X można otrzymać z G przez ściągnięcie gałęzi do pojedynczych wierzchołków i usunięcie równoległych krawędzi i pętli.
Przykład:
Uwaga: M X oznacza klasę grafów, czyli zapis G = M X oznacza ”graf G nalezy do klady grafów, które ściągają się do X”.
Fakt: G = M X ⇔ X można otrzymać z G przez ciąg ściągnięć krawędzi, tzn. istnieje ciąg grafów G0, G1, . . . , Gh i krawędzi ei ∈ Gi, dla i = 0, 1, . . . , h − 1, taki, że
G0 = G, Gh = X oraz Gi+1 = Gi/ei, dla i = 0, 1, . . . , h − 1.
Dowód: praca domowa (3 punkty) Wskazówka: Spróbuj zastosować indukcję po |G| − |X|.
Definicja: Mówimy, że X jest minorem w Y (albo że Y zawiera X jako minor) i piszemy X 4 Y , jeśli G = M X ⊆ Y .
Przykład:
K4 jest minorem w Y
Definicja: Podpodziałem krawędzi e = xy w grafie G nazywamy operację dodania wierzchołka z i zastąpienia krawędzi xy przez krawędzie xz i zy.
Mówimy, że graf G jest podpodziałem grafu X (piszemy G = T X) jeśli G można otrzymac z X przez ciąg podpodziałów krawędzi.
Inna równoważna definicja” Graf G jest podpodziałem grafu X (G = T X) ⇔ G można otrzymać z X poprzez zastąpienie krawędzi grafu X niezależnymi ścieżkami (tzn. żadna z tych ścieżek nie ma jako wewnętrznego wierzchołka, wierzchołka z X lub z innej ścieżki.
Uwaga: T X oznacza klasę grafów.
Definicja: Graf X jest minorem topologicznym w grafie Y ⇔ G = T X ⊆ Y (tzn. Y zawiera podpodział X)
Fakt: Każdy T X jest też M X (T X ⇒ M X).
(podpodzielenie krawędzi da się odwrócić jako ściągnięcie, ale ściągnięcia nie da się odwrócić jako podpodzielenia)
Tw. Kuratowskiego (wersja z minorami): Graf G jest planarny ⇔ G nie zawiera jako minora topologicznego ani podgrafu izomorficznego z K5 ani podgrafu izomorficznego z K3,3.
Fakt: Jeśli ∆(X) ¬ 3, to każdy M X zawiera T X (to znaczy, że każdy minor o maksymalnym stopniu niewiększym niż 3 jest też minorem topologicznym).
Dowód: Praca domowa (2 punkty).
Wniosek: Z powyższego Faktu oraz z tego, że każdy graf zawierający M K5 zawiera T K3,3 albo T K5 (dlaczego ?! - praca domowa - 2 punkty) wynika, że w Twierdzeniu Kuratowskiego słowo ”minor topo- logiczny” można zastąpić słowem ”minor”.
Uwaga: Relacja minora 4 ( i minora topologicznego 4T) jest relacją częsciowego porządku w klasie grafów skończonych, to znaczy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
Dowód: praca domowa (4 punkty)
Przykład:
G = T K4 = M K4
Hipoteza Hadwigera
Hipoteza Hadwigera (1943):
Dla każdej liczby naturalnej r > 0 zachodzi implikacja:
χ(G) r ⇒ Kr4 G (równoważnie: G nie zawiera Kr jako minora, to χ(G) ¬ r − 1).
Postać równoważna (dla ustalonego r):
Każdy graf, który nie zawiera Kr jako minora ma dobre r − 1-pokolorowanie wierzchołków.
(ALBO: Jeśli nie ma dobrego r − 1 pokolorowania wierzchołków, to zawiera Kr jako minor).
Uwaga: Oczywiście
Kr 4 G ; r ¬ χ(G).
Przykład dla r = 3:
K3 jest minorem w G, ale χ(G) = 2, czyli K3 4 G oraz χ(G) < 2
Co wiadomo:
Hipoteza:
• trywialna dla r = 2 (G nie zawiera K2 jako minora, to E(G) = ∅);
• prosta do udownodnienia dla r = 3 i r = 4;
• dla r = 5 i r = 6 równoważna hipotezie czterech kolorów;
• dla r = 7 problem otwarty.
Uwaga: Z prawdziwości hipotezy Hadwigera dla r + 1 wynika jej prawdziwość dla r Dowód: praca domowa (2 punkty)
Charakteryzacja grafów bez Kr jako minora:
dla r = 3: Grafy bez K3 jako minora, to grafy bez cykli, czyli lasy.
dla r = 4:
Fakt: Graf G jest krawędziowo maksymalnym grafem bez K4 jako minora ⇔ G można otrzymać z trójkątów (grafów izomorficznych z K3) poprzez sklejanie wzdłuż boków. (bez dowodu)
Wniosek: Jeśli G nie zawiera K4jako minora, to χ(G) ¬ 3 < 4. (bo jeśłi G otrzymujemy przez sklejanie trójkątów wzdłuż krawędzi, to liczba chromatyczna otrzymanego grafu jest równa maksimum z liczb chromatycznych sklejanych grafów)
Liczba Hadwigera
Definicja: Liczbą Hadwigera grafu G nazywamy liczbę oznaczaną przez h(G) równą maksymalnemu k takiemu, że Kk 4 G.
Uwaga: Hipotezę Hadwigera można sformułować następująco:
χ(G) ¬ h(G)
Hipoteza Hajosa” W hipotezie Hadwigera słowo ”minor” można zastąpić słowem ”minor topologicz- ny”.
Co wiadomo:
• dla r ¬ 4 prawda;
• dla r 7 nieprawda;
• dla r = 5 i r = 6 problem otwarty;
Snarki (snake lub snail + shark) (pol. żmirłacze = żmija + żarłacz) Snarki = 3-regularne grafy G takie, że χ0(G) = 4 oraz κ0(G) > 1
Uwaga: Żaden snark nie zawiera cyklu Hamiltona. (dowód: praca domowa - 1 punkt)
Historia poszukiwań snarków:
• 1898 graf Petersena
• 1946 dwa kolejne snarki
• 1975 nieskończona rodzina snarków
Hipoteza Tutte’a (twierdzenie o snarkach): Dla każdego 3-regularnego grafu G (czyli też dla każdego snarka!) zachodzi następująca implikacja:
Jeśli χ0(G) > 3, to G zawiera graf Petersena jako minor ( a tym samym minor topologiczny).
Hipoteza Tutte’a została udowodniona w 2001 roku przez Robertson, Sandersm Seymour i Thomas.
Twierdzenie Tait (1980): Twierdzenie o czterech kolorach jest równoważne stwierdzeniu, że żaden snark nie jest planarny. (bez dwowodu)
Zadania domowe:
1. Wykaż, że G = M X ⇔ X można otrzymać z G przez ciąg ściągnięć krawędzi. (3 punkty)
2. Wykaż, że jeśli ∆(X) ¬ 3, to każdy M X zawiera T X (to znaczy, że każdy minor o maksymalnym stopniu niewiększym niż 3 jest też minorem topologicznym). (2 punkty)
3. Wykaż, że każdy graf zawierający M K5 zawiera T K3,3 albo T K5.(2 punkty)
4. Wykaż, że relacja minora4 ( i minora topologicznego 4T) jest relacją częsciowego porządku w klasie grafów skończonych, to znaczy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. (4 punkty)
5. Wykaż, że z prawdziwości hipotezy Hadwigera dla r + 1 wynika jej prawdziwość dla r (2 punkty) 6. Udowodnij hipotezę Hadwigera dla grafów krawędziowych (3 punkty).
7. Udowodnij twierdzenie o czterech kolorach zakładając prawdziwość hipotezy Hadwigera dla r = 5 (1 punkt).
8. Wykaż, że każdy snark nie zawiera cyklu Hamiltona. (1 punkt) - zadanie zrobione na zajęciach
