STATECZNOŚĆ KOLUMNY PRZEGUBOWEJ Z AKTUATORAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI

36, s. 249-256, Gliwice 2008

STATECZNOŚĆ KOLUMNY PRZEGUBOWEJ Z AKTUATORAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI

J

ACEK

P

RZYBYLSKI

, G

RZEGORZ

G

ĄSIORSKI,

K

RZYSZTOF

S

OKÓŁ Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: jacek.pr@imipkm.pcz.czest.pl

Streszczenie. W pracy zbadano wpływ siły piezoelektrycznej generowanej przez dwa aktywatory na obciąŜenie krytyczne kolumny z przegubem wzmocnionym spręŜyną rotacyjną. Rozpatruje się róŜne warunki podparcia kolumny ogranicza- jące przemieszczenia osiowe jej końców. Na podstawie zasady wariacyjnej w od- niesieniu do funkcjonału energii potencjalnej przy uwzględnieniu równań konsty- tutywnych materiału piezoelektrycznego wyprowadza się równanie opisujące związek między siłą generowaną przez aktywatory a siłą osiową rozciągającą ko- lumnę. Badania numeryczne dotyczą wpływu połoŜenia piezosegmentu i przegu- bu oraz relacji sztywności na ściskanie piezoaktuatorów do sztywności kolumny na jej obciąŜenie krytyczne, a następnie takŜe wpływu napręŜenia residualnego na stateczność układu.

1. WSTĘP

Badania wyboczenia smukłych ciągłych kolumn spręŜystych stanowią jedno z podstawowych zagadnień stateczności konstrukcji. W wielu przypadkach zastosowań inŜy- nierskich kolumna jest układem złoŜonym z segmentów połączonych przegubowo ze spręŜy- nami rotacyjnymi zwiększającymi sztywność układu. Przykładem takich układów są ramiona robotów przemysłowych, systemy przewodów wiertniczych stosowane w eksploracji ropy naftowej, anteny stacji kosmicznych, elementy konstrukcyjne budynków wielokondygnacyj- nych itp. Badania stateczności i powyboczeniowego zachowania kolumn przegubowych o róŜnych warunkach zamocowania prowadził C.Wang [1]. Jednym ze sposobów poprawy nośności wyboczeniowej kolumn jest integrowanie w układzie piezoaktywatorów generują- cych siłę rozciągającą kompensującą obciąŜenie zewnętrzne [2]. Zastosowanie tego typu ele- mentów było przedmiotem pracy Thompsona i Loughlana [3], którzy badali eksperymentalnie wyboczenie kompozytowej kolumny wspornikowej z naklejonymi po obu stronach jej środ- kowej części piezoaktywatorami ceramicznymi. Poprzez przykładanie określonego napięcia usuwano ugięcie boczne kolumny, poniewaŜ aktywatory były poddawane działaniu pola elektrycznego o tej samej wartości i przeciwnym znaku. Alternatywny sposób podnoszenia siły krytycznej kolumn o róŜnych warunkach podparcia i identycznie zamocowanych piezo- elektrykach podał w swojej pracy teoretycznej Q.Wang [4]. W tym przypadku aktywatory były pod działaniem identycznego pola elektrycznego, by indukować siłę rozciągającą.

W pracy tej podano, Ŝe wzrost siły krytycznej zaleŜy nie tylko od wartości przykładanego napięcia, ale takŜe od połoŜenia aktywatorów względem punktów podparcia kolumny.

Celem niniejszej pracy jest zbadanie wpływu siły piezoelektrycznej generowanej przez dwa aktuatory na obciąŜenie krytyczne kolumny z przegubem wzmocnionym spręŜyną rota- cyjną. Rozpatruje się róŜne warunki podparcia kolumny ograniczające przemieszczenia osio- we jej końców.

2. SFORMUŁOWANIE PROBELMU

Przedmiotem pracy jest kolumna złoŜona z dwóch współosiowych członów połączonych przegubem wzmocnionym spręŜyną rotacyjną przedstawiona na rys. 1. Kolumna jest podparta obustronnie na podporach przegubowych lub z jednej strony wspornikowo, a z drugiej za po- mocą podpory przegubowej. Przemieszczanie jednej z podpór wywołuje siłę wzdłuŜną, która po osiągnięciu wartości krytycznej moŜe doprowadzić do utraty stateczności. Zjawisku temu moŜna przeciwdziałać przez zastosowanie aktywatorów, które, będąc zespolone z kolumną, wywołują jej odciąŜenie. W tym celu po obu stronach jednego z członów kolumny zamoco- wane są dwa elementy piezoceramiczne, do których przykładane jest stałe pole elektryczne generujące siłę piezoelektryczną. Zakłada się, Ŝe układ do momentu wyboczenia zachowuje prostoliniową postać równowagi statycznej, a poszczególne jego segmenty mają długości od- powiednio l₁, l₂ i l₃.

δ

P

l

l1

l2

l3

3

c

3A E

2 2A E

1 1A E

Rys. 1. Schemat kolumny przegubowej ze spręŜyną rotacyjną i aktywatorami piezoceramicznymi

Badanie stateczności układu wymaga wyznaczenia siły generowanej przez aktywatory.

W tym celu zakłada się prostoliniowy stan początkowy układu. Jeśli do obu aktywatorów (idealnie przylegających do kolumny) przyłoŜone zostanie jednakowe pole elektryczne w kierunku prostopadłym do osi układu, to, zaleŜnie od zwrotu wektora pola, spowoduje to ich jednoczesne rozciąganie lub ściskanie. Konsekwencją tego będzie wstępne spręŜenie układu. Wielkość takiego spręŜenia moŜe być wyznaczona na drodze sformułowania energe- tycznego po określeniu energii potencjalnej układu z uwzględnieniem sprzęŜeń elektrome- chanicznych:

h

p

h h

p

b

) 2 (

1 ³

1

∑ ∫ ∫

=

−

=

i

p z z i i i xi pot

p i

d E D d

x E

Γ Γ

Γ Γ

ε

σ (1)

gdzie:

- napręŜenie normalne w segmentach jest definiowane następująco σ_xj =E_jε_j(x_j) (j=1,3)

z x₂ E₂ε₂(x₂)-2e₃₁E

σ = (2)

- przemieszczenie wywołane przyłoŜonym polem elektrycznym E_z jest równe

z

z e x E

D = ₃₁ε₂( ₂)+ξ₃₃ , (3)

a pozostałe wielkości występujące w równaniach (1)-(3) to odkształcenie (εj(xj)), moduł sprę- Ŝystości podłuŜnej (E_j), współczynnik przewodności (ξ₃₃) oraz współczynnik piezoelektrycz- ny (e31).

Po zdefiniowaniu pola elektrycznego jako ilorazu przykładanego napięcia do grubości pie- zoelektryka (Ez = V/hp) i wykonaniu przekształceń energia potencjalna moŜe być zapisana w postaci:

∑ ∫ ∫

=

−

 +



 



= ³ 

1

2 33 2 2

0 2

2 2

0

2 ( ) 1

) ( 2

1 ²

i p

l

i l

i i i i i

pot bL V

dx h dx

x F dU dx dx

x A dU

E E

i

ξ (4)

gdzie: l₂ - długością piezosegmentu, b - szerokością piezoaktuatorów i kolumny a F jest siłą piezoelektryczną równą:

V be

F =−2 ₃₁ (5) Po obliczeniu wariacji energii potencjalnej i przyrównaniu jej do zera otrzymuje się układ trzech równań róŜniczkowych drugiego rzędu na przemieszczenia poprzeczne poszczegól- nych segmentów wraz ze zbiorem sześciu odpowiadających im warunków brzegowych:

( )

₂ ¹ 0

1 2

= dxi

x U

d ,

(

i=1,2,3

)

(6) oraz

( )

0 ₃

( )

₃ 0

1 =U l =

U , U_i

( )

l_i =U_i+1

( )

0 ,

(

i=1,2

)

,

( ) ( )

0

2 0 2 2 2 2 1

1 1 1 1

2 1

1

=

−

−

=

=

dx F x A dU dx E

x A dU E

x l

x

,

( ) ( )

0

3 0 3 3 3 3 2

2 2 2 2

3 2

2

= +

−

=

=

dx F x A dU dx E

x A dU E

x l

x

Rozwiązanie tak postawionego zagadnienia brzegowego umoŜliwia wyznaczenie siły wzdłuŜnejF)

w kolumnie pochodzącej od siły piezoelektrycznej F. Siła F)

zaleŜy takŜe od sto- sunku długości piezosegmentu do długości całej kolumny oraz ilorazu sztywności na ściska- nie piezosegmentu do sztywności kolumny i moŜe być wyraŜona jako:





 







 



 −

−

=

2

1

1 l

a l F

F) _m

, przy czym

EA A E EA A E

A

a_m E + ^{p p}

=

=

1 1

2

2 (7)

Przez EA oznaczono sztywność na ściskanie kolumny, przez EpAp sztywność na ściskanie piezoceramików.

Analiza stateczności kolumny obciąŜanej siłą P powstającą na skutek przemieszczenia jed- nej z podpór oraz siłą F)

wynikającą z napięcia przyłoŜonego do piezoelektryków wymaga rozwiązania trzech równań róŜniczkowych o następującej postaci bezwymiarowej:

) 0 ( )

(

2 2

4 4

= +

i i i i i

i

i w

w k

∂ξ ξ

∂

∂ξ ξ

∂ (i=1,2,3) (8)

gdzie

l x w_{i i} Wⁱ( ⁱ)

)

(ξ = ,

J E

l F k P

k

2

3 1

)

( )

= −

= ,

p pJ E J E

l F k P

+

= − ²

2

)

( )

,

a w_i(ξ_i) jest przemieszczeniem poprzecznym, J, J_p to momenty bezwładności przekrojów kolumny i aktywatorów.

Rozwiązania równań (8) spełniają jedenaście następujących warunków brzegowych

( )

0

1 0

1 1

= = ξ ξ

w , ₁

( )

_{1 2}

( )

_{2 0}

2 1

1= = _ξ =

ξ ξ

ξ w

w d , ₂

( )

_{2 3}

( )

_{3 0}

3 2

2= = _ξ =

ξ ξ

ξ w

w d ,

( )

0

3

3 3

3 _=d =

w ξ _ξ ,

( ) ( ) ( )

0 1

0 2 2

2 2 2

2 1

1 1 2

2 1

1

∂ = + ∂

∂ −

∂

=

= ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ w

w r

m d

,

( ) ( ) ( )

0 1

0 3 2

2 2 3

3 1

1 1 3

2 1

1

∂ = + ∂

∂ −

∂

=

= ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ w

w r

m d

,

( )

0

3 3

2 3

3 3 2

∂ =

∂

=d

w ξ ξ

ξ ,

( ) ( )

2 0 2 2

1 1 1

2 1

1= ∂ =

=∂

∂

∂

ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ w

w

d

,

( ) ( ) ( )

1 0

3 0 3 3

2 2 2 2

2 2 2 2

3 2

2 2

2

=













∂

−∂

∂

∂ + +

∂

∂

=

=

= ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ w w

r c w

m d d

,

( ) ( ) ( )

0

3 0 3 3

2 2 2

0 2 2

3 3 2

3 2

3 2

=













∂

−∂

∂ + ∂

∂

∂

=

= ξ = ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ w w

w c

d

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1

2 2 3 3

2

2 2

2 2

3 0 3 3 1 0 3 3

3 3 3

3 2

2 2 3

=













∂

−∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ + ∂

=

= =

=d d

m

w w w k

r w

ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ,

oraz dwunasty, który w przypadku kolumny wspornikowo-przegubowej ma postać:

( )

, 0

1 0 1 1

1

∂ =

∂

ξ=

ξ τ ξ

w ,

a dla kolumny z obustronnym podparciem przegubowym jest następujący:

( )

, 0

0 2 1

1 1 2

1

∂ =

∂

ξ =

ξ τ ξ w

Występujące w pracy wielkości bezwymiarowe są określone przez następujące związki:

l x_i

i = ξ ,

l d_i =lⁱ ,

1 1J E

J r_m = E^{p p} ,

EJ

c = Cl , gdzie E₁J₁=E₃J₃ =EJ, E₂J₂ =EJ +E_pJ_p.

3. WYNIKI I ANALIZA OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Po opracowaniu programu obliczeń numerycznych na podstawie modelu matematycznego przygotowano program badań symulacyjnych układu. Jego zasadniczym celem było określe- nie wpływu napięcia przykładanego do piezoelektryków oraz parametrów geometrycznych i fizycznych układu na siłę krytyczną kolumn wykonanych z duraluminium i ze stali. Własno- ści fizyczne materiałów niezbędne do przeprowadzenia obliczeń zawarto w tabeli 1. Oblicze-

nia dotyczyły układów, w których grubość piezoelektryka h_p pozostaje w stałym stosunku do grubości kolumny h (hp = h/4). W niniejszej pracy przyjęto stałą długość piezosegmentu (d2 = 0.6) przylegającego z jednej strony do przegubu, natomiast zmieniano długości pozostałych segmentów kolumny. Zmienne parametry fizyczne układu to sztywność spręŜyny rotacyjnej wzmacniającej przegub oraz współczynniki określające iloraz modułów Younga materiału piezoceramików do materiału kolumny (α1 = Ep/E) i iloraz sztywności na ściskanie piezoseg- mentu do sztywności kolumny a_m (7).

Tabela 1. Własności fizyczne materiałów Stała fizyczna Stal węglowa Duraluminium PZT (PP-6CM)

E [GPa] 210 69.587 77.519

ρ [kg/m³] 7800 2780 7560

Na rys. 2 i 3 pokazano wpływ połoŜenia przegubu z przylegającym piezosegmentem na siłę krytyczną przy róŜnej sztywności spręŜyny rotacyjnej dla wspornikowo-przegubowej kolum- ny duraluminiowej (rys. 2) i stalowej (rys. 3). Obraz zmian jakościowych badanego zjawiska jest w obu przypadkach podobny, natomiast róŜne są wartości bezwymiarowych sił krytycz- nych odnoszonych do sztywności na zginanie danej kolumny. Wraz ze wzrostem sztywności spręŜyny rotacyjnej c, siła krytyczna p przyjmuje coraz większe wartości niezaleŜnie od _cr połoŜenia przegubu i piezosegmentu wyznaczanego przez długość d₁. Największa zmiana ilościowa obciąŜenia krytycznego w funkcji połoŜenia piezosegmentu występuje przy sztyw- ności spręŜyny c = 0.1 . Sztywność spręŜyny obu kolumn nie wpływa na siłę krytyczną, gdy długość trzeciego segmentu kolumny jest równa zeru, tzn. przy d1 = 0.4 .

Rys. 2. Wpływ sztywności spręŜyny na siłę krytyczną kolumny wspornikowo- przegubo-wej przy zmiennym połoŜeniu przegubu (pozostałe dane: a_m =1.5569,

113 .

1=1

α , d₂ =0.6, duraluminium)

Rys. 3. Wpływ sztywności spręŜyny na siłę krytyczną kolumny wspornikowo- przegubo-wej przy zmiennym połoŜeniu przegubu (pozostałe dane: a_m =1.184,

369 .

1 =0

α , d₂ =0.6, stal)

Na rys. 4 zaprezentowano krzywe sił krytycznych w funkcji połoŜenia przegubu przy róŜnym napięciu podawanym na parę piezoceramików zamocowanych do kolumny duraluminiowej.

Siła krytyczna przy kaŜdym napięciu początkowo maleje, a następnie rośnie do maksymalnej wartości, gdy przegub ze spręŜyną przyjmuje skrajne połoŜenie na podporze. Znając wartości

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

10.0 30.0 50.0

0.0 20.0 40.0 60.0

c=1000

c=1 c=5

c=0.1

p_cr

d₁

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

5.0 15.0 25.0 35.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0

c=1000

c=1

p_cr

d₁

c=5

c=0.1

sił krytycznych przy kaŜdej wartości napięcia, moŜna określić jej procentową zmianę zgodnie z zaleŜnością

( )

( ) 100%

0 0

cr cr cr

p p

K = p − , gdzie p_cr^{( )0} jest siłą krytyczną układu bez przyłoŜenia na- pięcia ( rys. 5). Im większa jest wartość napięcia V przyłoŜonego do piezoceramika, tym większy jest przyrost siły krytycznej kolumny, przy czym nie jest on proporcjonalny, lecz zaleŜy od geometrii układu. Wraz ze wzrostem długości pierwszego segmentu d₁, przyrost procentowy siły krytycznej K jest coraz większy, osiągając maksimum przy d₁ =0.17, nie- zaleŜnie od wartości napięcia V przyłoŜonego do piezoceramika. Następnie przyrost K ma- leje wraz ze wzrostem długości d₁, chociaŜ wartość bezwzględna siły krytycznej dla obu ko- lumn jest największa przy d₁ = 0.4.

Rys.4. Wpływ napięcia przyłoŜonego do zacisków piezoceramika na siłę krytyczną kolumny wspornikowo-przegubowej (pozo- stałe dane: a_m =1.5569, α₁=1.113, c=1,

6 .

2 =0

d , duraluminium)

Rys.5. Procentowa zmiana siły krytycznej w funkcji połoŜenia przegubu kolumny wspornikowo-przegubowej (pozostałe da- ne: a_m =1.5569, α₁ =1.113, c=1,

6 .

2 =0

d , duraluminium)

Obraz zmian badanego zjawiska jakościowo analogiczny do zaprezentowanego na rys. 4 i 5 dla kolumny duraluminiowej otrzymuje się takŜe w przypadku kolumny stalowej, co pokaza- no na rys. 6 i 7. Zasadnicza róŜnica wynika z wartości napięcia, jakie musi być przykładane do piezoceramików w obu przypadkach, by uzyskać względny i bezwzględny wzrost siły kry- tycznej. Spowodowane jest to tym, Ŝe do wygenerowania siły piezoelektrycznej o tej samej wartości w kolumnach duraluminiowej i stalowej o identycznych wymiarach geometrycznych naleŜy przyłoŜyć napięcia V, których wartość pozostaje w relacji odpowiadającej ilorazowi modułów spręŜystości materiałów obu kolumn.

Badania numeryczne w zakresie wpływu napięcia przyłoŜonego do zacisków piezocerami- ków na siłę krytyczną dotyczyły takŜe kolumn duraluminiowej i stalowej podpartych obu- stronnie przegubowo. Wyniki tych badań przedstawiono na rys. 8 i 9. Przebieg krzywych sił krytycznych odbiega od tych jakie uzyskano na rys. 4 i 6, poniewaŜ w przypadku kolumn z podparciem przegubowym zwiększanie długości pierwszego segmentu powoduje stały wzrost siły krytycznej, bez występowania minimum charakterystycznego dla krzywych kry- tycznych kolumny wspornikowo-przegubowej.

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

10.0 30.0 50.0

0.0 20.0 40.0 60.0

V=88 [V]

V=176 [V]

V=264 [V]

V=352 [V]

K

d₁

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

5.0 15.0 25.0 35.0 45.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

V=0 [V]

V=88 [V]

V=176 [V]

V=264 [V]

V=352 [V]

p_cr

d₁

4. PODSUMOWANIE

W pracy rozwaŜano zagadnienie stateczności kolumny obustronnie podpartej z przegubem wzmocnionym spręŜyną rotacyjną oraz aktywatorami piezoceramicznym. Do obliczeń nume- rycznych wybrano układy złoŜone z kolumny stalowej lub duraluminiowej oraz aktywatorów o grubości równej czwartej części grubości kolumny.

Rys.6. Wpływ napięcia przyłoŜonego do zacisków piezoceramika na siłę krytyczną kolumny wspornikowo-przegubowej (pozo- stałe dane: a_m =1.184, α₁ =0.369, c=1,

6 .

2 =0

d , stal)

Rys.7. Procentowa zmiana siły krytycznej w funkcji połoŜenia przegubu kolumny wspornikowo-przegubowej (pozostałe da- ne: a_m =1.184, α₁ =0.369, d₂ =0.6,

=1

c , stal)

Rys.8. Wpływ napięcia przyłoŜonego do zacisków piezoceramika na siłę krytyczną kolumny podpartej przegubowo (pozostałe dane: a_m =1.5569, α₁ =1.113, c=1,

6 .

2 =0

d , duraluminium)

Rys.9. Wpływ napięcia przyłoŜonego do zacisków piezoceramika na siłę krytyczną kolumny podpartej przegubowo (pozostałe dane: a_m =1.1184, α₁ =0.369, c=1,

6 .

2 =0

d , stal)

Na podstawie przeprowadzonych badań numerycznych i analizy otrzymanych wyników moŜna stwierdzić, Ŝe:

• wzrost sztywności spręŜyny rotacyjnej c powoduje usztywnienie układu, co przekłada się na wzrost sił krytycznychp , _cr

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

5.0 15.0 25.0 35.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0

V=0 [V]

V=265 [V]

V=531 [V]

V=797 [V]

V=1062 [V]

p_cr

d₁

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

10.0 30.0 50.0 70.0

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0

V=265 [V]

V=531 [V]

V=797 [V]

V=1062 [V]

K

d1

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

2.0 6.0 10.0 14.0 18.0

0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0

V=0 [V]

V=265 [V]

V=531 [V]

V=797 [V]

V=1062 [V]

p_cr

d₁

0.05 0.15 0.25 0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

6.0 10.0 14.0 18.0 22.0

4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0

V=0 [V]

V=88 [V]

V=176 [V]

V=264 [V]

V=352 [V]

p_cr

d₁

• powyŜej wartości spręŜyny rotacyjnej

(

c=1000

)

siła krytyczna p ma stałą wartość, _cr a dalszy wzrost sztywności spręŜyny c nie powoduje wzrostu siły krytycznejp , _cr

• połoŜenie przegubu ma istotny wpływ na nośność układu. Przemieszczanie przegubu w kolumnie wspornikowo-przegubowej, przy małych wartościach sztywności spręŜyny c, powoduje początkowe zmniejszenie siły krytycznej p , a następnie jej wzrost, _cr

• wprowadzenie do układu siły rozciągającej generowanej przez aktywatory piezocera- miczne podnosi wartość siły krytycznej p , _cr

• do wygenerowania siły piezoelektrycznej o tej samej wartości w kolumnach duralumi- niowej i stalowej o identycznych wymiarach geometrycznych naleŜy przyłoŜyć róŜne na- pięcia V , których wartość pozostaje w relacji odpowiadającej ilorazowi modułów spręŜy- stości materiałów obu kolumn,

• w przypadku układu ze spręŜyną o małej sztywności

(

c=1

)

procentowy wzrost siły kry- tycznej K , zaleŜnie od połoŜenia przegubu i piezoaktuatorów, zmienia się w granicach od 3.2 ÷ 64.3 [%] w kolumnie stalowej, a w kolumnie duraluminiowej w granicach od 2 ÷ 52.2 [%] (przy podparciu wspornikowo-przegubowym),

• w przypadku układu ze spręŜyną rotacyjną o duŜej sztywności (c = 1000), wzrost procen- towy siły krytycznej K waha się od 3.2 ÷ 21.8 [%] w kolumnie duraluminiowej i od 5.5 ÷ 31.4 [%] w kolumnie stalowej przy podparciu obustronnie przegubowym).

Wyniki badań otrzymane w pracy mogą być wykorzystane przy projektowaniu kolumn z elementami piezoelektrycznymi.

Niniejsza praca powstała przy dotacji Politechniki Częstochowskiej otrzymanej w ramach prac BW -1-101/204/07/P i BS-1-101-302/99/P.

LITERATURA:

1. Wang C. Y.: Stability and post buckling of articulated columns. “Acta Mechanica” 2003, 166, 1/4, p.

131-140.

2. Faria A. R.: On buckling enhancement of laminated beams with piezoelectric actuators via stress stiffening.

“Composite Structures” 2004, 65, 2, p. 187-192.

3. Thompson S., Loughlan J.: The active buckling control of some composite column strips using piezoceram- ic actuators. “Composite Structures” 1995, 32, p. 59-67.

4. Wang Q.: On buckling of column structures with a pair of piezoelectric layers., “Engineering Structures”

2002, 24, p. 199-205.

STABILITY OF AN ARTICULATED COLUMN WITH A PAIR OF PIEZOELECTRIC ACTUATORS

Summary. The problem of buckling of continuous slender columns is one of the main subjects of the structural mechanics. In many engineering applications a column can be treated as a system of articulated segments with joints strengthen by rotational springs.

The purpose of this work is to examine the influence of the piezoelectric force induced by two colocally bonded actuators on the buckling load of an internally hinged column with a rotational spring. Different ways of supporting of the column with axially restrained ends are considered. The stress stiffening equation leading to establishing the relation be- tween the piezoelectric force and the axial force stretching the column was derived by us- ing the variational principle. Numerical investigations concern the influence of the loca- tion of piezoceramics and the hinge as well as the relation between the axial stiffness of the piezo to that of the column on the critical buckling load. it is shown also that the stress stiffening can be used to counteract the effect of a compressive force leading to the instability of the column.