ANALIZA STATYCZNA KOLUMNY Z DODATKOWYM PRĘTEM PIEZOCERAMICZNYM

36, s. 257-264, Gliwice 2008

ANALIZA STATYCZNA KOLUMNY Z DODATKOWYM PRĘTEM PIEZOCERAMICZNYM

J

ACEK

P

RZYBYLSKI

, K

RZYSZTOF

S

OKÓŁ

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: jacek.pr@imipkm.pcz.czest.pl

Celem pracy jest opisanie zachowania przedwyboczeniowego kolumny geometrycznie nieliniowej złoŜonej z pręta nośnego swobodnie podpartego, do którego zamocowano dyskretnie pręt piezoceramiczny. Z uwagi na mimośrodowość obciąŜenia zewnętrznego względem osi pręta nośnego układ znajduje się w stanie równowagi krzywoliniowej. Na rozkład sił w prętach układu wpływają, oprócz obciąŜenia zewnętrznego i siły piezoelektrycznej, wartości mimośrodów obciąŜenia, relacje między sztywnościami na zginanie i ściskanie oraz wartość dystansu między osiami prętów zasadniczego i pomocniczego.

1. WSTĘP

Konwencjonalna metoda naklejania elementów piezoelektrycznych na powierzchnię lub wklejania ich między warstwy zasadniczej struktury nośnej nie wyczerpuje moŜliwości integrowania układów tego typu w celu ich najbardziej efektywnego wykorzystania.

Chaudhry i Rogers [1] zaproponowali dyskretne zamocowanie mimośrodowe piezoelementu ceramicznego względem belki spoczywającej na podporach przegubowych. Po wykonaniu serii obliczeń numerycznych i badań eksperymentalnych stwierdzili jednoznacznie, Ŝe zamocowanie piezoelementu w sposób dyskretny daje większe moŜliwości sterowania i korekcji przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających belki w stosunku do układu z elementem zespolonym z belką. Dyskretne zamocowanie piezoceramika do struktury zostało zastosowane w konstrukcjach aktuatorów Moonie i Cresent [2, 3]. Dzięki konfiguracji piezoceramika i belki aktuatory takie mogą doznawać duŜych odkształceń w trzech kierunkach przy relatywnie małym polu elektrycznym. Przedmiotem badań w niniejszej pracy jest kolumna swobodnie podparta z dodatkowym prętem piezoceramicznym zamocowanym dyskretnie w osi lub mimośrodowo względem osi kolumny. O róŜnych zastosowaniach niezaleŜnie mocowanych elementów piezoelektrycznych traktuje praca Tylikowskiego [4]

poświęcona inteligentnym konstrukcjom i materiałom.

Celem pracy jest określenie relacji między siłami wzdłuŜnymi w kolumnie i pręcie, wynikającymi z przyłoŜonego obciąŜenia zewnętrznego i siły piezoelektrycznej, aŜ do wystąpienia wyboczenia układu, a następnie wyznaczenie wpływu siły generowanej w pręcie piezoelektrycznym na redukcję przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających w układzie. Rozwiązanie problemu polega na rozwiązaniu dwóch zagadnień nieliniowych, spośród których pierwsze słuŜy wyznaczeniu sił wzdłuŜnych w elementach układu pochodzących od obciąŜenia zewnętrznego i sprzęŜenia siłą wewnętrzną. Znając siłę wzdłuŜną w pręcie piezoelektrycznym, rozwiązuje się drugie zadanie nieliniowe, na

podstawie którego określa się wielkość siły piezoelektrycznej niezbędnej do ustalenia korzystnego rozkładu momentów zginających i ostatecznie korekcji przemieszczeń poprzecznych. To drugie zadanie formułuje się na podstawie zasady wariacyjnej na funkcjonale energii potencjalnej utworzonym z uwzględnieniem równań konstytutywnych materiału piezoelektrycznego.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Rzeczywiste konstrukcje inŜynierskie charakteryzują się imperfekcjami kształtu, montaŜu i wykonania. W związku z tym osiągnięcie idealnie osiowego obciąŜenia jakiejkolwiek konstrukcji jest niezmiernie trudne, a praktycznie wręcz niewykonalne. W niniejszej pracy zakłada się, Ŝe podstawowy pręt nośny kolumny jest w sposób niezamierzony obciąŜany mimośrodowo, co wywołuje inicjowanie przemieszczeń poprzecznych. Takiemu zjawisku moŜna przeciwdziałać przez zastosowanie dodatkowego pręta piezoceramicznego, zamocowanego dyskretnie i odsadzonego od osi pręta głównego o wartość d, w którym będzie generowana określona siła piezoelektryczna. Uzasadnieniem takiego rozwiązania konstrukcyjnego jest to, Ŝe wytwarzane obecnie elementy piezoceramiczne w szerokim zakresie kształtów i rozmiarów charakteryzują się własnościami mechanicznymi porównywalnymi z powszechnie stosowanymi materiałami konstrukcyjnymi.

Przedmiotem pracy jest kolumna swobodnie podparta i złoŜona z zasadniczego pręta nośnego oraz pręta piezoceramicznego, który jest zamocowany dyskretnie na końcach elementu głównego. Pręt zasadniczy jest obciąŜony siłą skupioną P przyłoŜoną mimośrodowo. PrzyłoŜenie obciąŜenia zewnętrznego wywołuje przemieszczenia poprzeczne prętów, co wprowadza strukturę w stan krzywoliniowej postaci równowagi.

e2

P d

e1

d P Pręt piezoceramiczny

2 2 2,J ,A E

) ( ), ( 1 2 2

1 x W x

W

2 x1

x

d

Pręt nośny

1 1 1,J ,A E

Rys.1. Schemat badanego układu

Celem badań jest określenie wpływu wartości odsadzenia piezoceramicznego pręta pomocniczego i siły w nim generowanej na korekcję przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających powstających wskutek mimośrodowego obciąŜania układu. Jako dodatkowe zmienne parametry układu przyjęto relację sztywności na zginanie i ściskanie prętów kolumny. Rozpatrywanie tak postawionego problemu musi być poprzedzone rozwiązaniem zadania rozkładu sił wzdłuŜnych w prętach kolumny wynikającego z obciąŜania zewnętrznego P i spręŜania prętów układu siłą P_w o tej samej wartości i przeciwnym znaku. Opisuje to następujące zagadnienie brzegowe:

) 0 ) (

) ( (

2 2

4 4

=

± +

i i i w i i

i i i

i dx

x W P d dx S

x W J d

E (i =1,2) (1)

gdzie:









 

 + 



− 

=

) 2

( 2 1 ) (

i i i

i i i i i

i dx

x dW dx

x A dU E

S , S₁+S₂ =P,

oraz E - to moduł Younga, _i J - moment bezwładności, _i A - pole przekroju poprzecznego _i pręta a warunki brzegowe mają postać:

0 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0

( _{2 1 2}

1 =W =W l =W l =

W ,

2 0 0 2

1 1

2 1

) ( )

( = = =

x I x

I x W x

W ,

l x I l x

I x W x

W = = =

2 1

) ( )

( _{1 2 2}

1 ,

0 1 2 2 2 0 2

1 1 1 1

2 1

) ( )

(x E J W x Pd Pe

W J

E _w

x II x

II + = ±

=

= ,

2 2

2 2 2 1

1 1

1 1 2

) ( )

(x E J W x Pd Pe

W J

E _w

l x II l

x

II + = ±

=

= ,

0 ) 0

1( =

U , U W x d

x I

2 0 1 2

2

) ( )

0

( =− = ,

d x W l U l

U x l

I

+ =

=

2

) ( ) ( )

( _{2 2 2}

1 (2)

Zadanie sformułowane powyŜej umoŜliwia wyznaczenie sił wzdłuŜnych w elementach układu przy dowolnym sposobie spręŜania, np. w wyniku połączenia dwóch prętów o zróŜnicowanej długości. Specyfika generowania siły przez pręt piezoceramiczny wymaga rozwaŜenia problemu relacji między napięciem, jakie musi być przyłoŜone do piezoelektryka, by indukować siłę piezoelektryczną, a siłą wzdłuŜną w tym elemencie, która zaleŜy takŜe od geometrii układu i przemieszczeń prętów. Sformułowanie nowego problemu moŜna przeprowadzić na podstawie wariacji energii potencjalnej układu, którą moŜna wyrazić następująco:

) ( )

( )

2 ( 1 2

1 2

1

1 2

1 0 2

2 1 1 2 2

2 2 1

1 1

2 2

2 2

1

l PU x

W Pe x

W Pe dA E D dA

dA x l

I x

I

A A

F z x

x A

x

x + − ± +

=

∫

^{σ ε}

∫

^{σ ε}

∫

= ^m =

Π (3)

gdzie:

• związki napręŜenie-odkształcenie wyraŜane są przez równania konstytutywne materiałów

x

x E_{1 1}

1 ε

σ = , σ_2x =E₂ε_2x −e₃₁E_F,

• przemieszczenie elektryczne

F x

z e E

D = ₃₁ε₂ +ξ₃₃

• odkształcenie na podstawie teorii von Karmana

2

2 2

2

1 







− 

−

=

i i

i i

i i

ix dx

dW dx

W zd dx

ε dU ,

a symbolem EF oznaczono pole elektryczne, e31 to stała piezoelektryczna materiału, ξ33 to współczynnik przenikliwości.

Po wykonaniu operacji obliczania wariacji i całkowania otrzymuje się dwa równania róŜniczkowe o postaci

( ) ( )

2 0

1 1 1 2 4 1

1 1 1 4

1 1 + =

dx x W S d

dx x W J d

E f ,

( ) ( )

0 )

( ₂

2 2 2 2 4 2

2 2 2 4 2

2 + − =

dx x W F d dx S

x W J d

E f (4)

gdzie: S_1f +S_2f =F+P , F =−be₃₁V,

( ) ( )



























 +

=

2

2 1

i i i

i i i i

if i

dx x W d dx

x U A d E

S m

oraz odpowiadający im zbiór warunków brzegowych o postaci (2).

Rozwiązanie przebiega dwuetapowo. W pierwszej kolejności rozwiązuje się zagadnienie w poszukiwaniu wartości sił wzdłuŜnych w kaŜdym z prętów kolumny. Następnie przystępuje się do ponownego rozwiązania problemu, którego wynik pozwala ustalić wartość siły piezoelektrycznej F, którą określa wyznaczony w po przednim kroku rozkład sił wzdłuŜnych.

Obliczenia numeryczne wykonuje się przy uŜyciu wielkości bezwymiarowych, które są określone przez następujące związki:

l d =^* d ,

l

e =^* e, λ_i =A_il² l, µ =λ₁/λ₂,

1 1

2

J E f = Fl ,

1 1

2

J E p = Pl ,

2 2

1 1

J E

J r_m = E ,

1 1

2

0 EJ

l s_i = S^if ,

10

10 s

k = , k₂₀ =(s₂₀+ f)r_m, u_i(ξ_i)=U_i(x_i) l , w_i(ξ_i)=W_i(x_i) l, (5)

3. WYNIKI I ANALIZA OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Po opracowaniu programu obliczeń numerycznych na podstawie modelu matematycznego przystąpiono w pierwszej kolejności do wyznaczenia relacji pomiędzy siłami wzdłuŜnymi w pręcie nośnym konstrukcji (k10) i pręcie piezoceramicznym (k20). Przyjmując identyczną sztywność na zginanie kaŜdego z prętów ( r_m = 1) oraz sztywność na ściskanie określoną parametrem µ = 0.3, otrzymano wyniki zaprezentowane na rys. 2, 3. Przy osiowym obciąŜaniu układu (ei = 0) krzywa rozkładu sił wzdłuŜnych OC ma początkowo nachylenie zgodne z nachyleniem prostej OA, gdzie α =^arctg

(

^E₁^A₁^/E₂^A₂

)

i przebiega blisko punktu bifurkacyjnego A. Wygenerowanie w odsadzonym pręcie piezoceramicznym napięć o róŜnych potencjałach wywołuje zmianę wartości sił wzdłuŜnych przy rosnącym obciąŜeniu zewnętrznym, czego obrazem są krzywe o przebiegach zaczynających się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

12.0

k10

k20

12.0 4.0

C

O

f= 0 f= 5.824

-4.0

f= -5.824 A

α 4 π/

Rys.2. Relacja pomiędzy siłami wzdłuŜnymi przy osiowym obciąŜeniu kolumny i róŜnych

wartościach siły piezoelektrycznej f

(pozostałe dane e*₁ = e*₂ = 0, r_m = 1, µ = 0.3, d* =0.001)

12.0 12.0

k20

C

A

e^*1=e^*2=0 e^*1= e^*2 =0.001 e^*1 =0.001,e^*2 =0.005

O

k₁₀

α π/4

4.0 4.0

20.0

Rys. 3. Relacja pomiędzy siłami wzdłuŜnymi k_i0 przy obciąŜeniu siłą p na róŜnych mimośrodach i zerowej sile piezoelektrycznej

(pozostałe dane, rm = 1, µ = 0.3, d* = 0.001)

Oznacza to, Ŝe początkowo jeden z prętów konstrukcji poddawany jest rozciąganiu, a drugi ściskaniu. Po wzroście wartości obciąŜenia zewnętrznego oba pręty kolumny są ściskane.

Wprowadzenie niezerowych wartości mimośrodów ei ≠ 0 prowadzi do zmiany przebiegu

krzywych sił wzdłuŜnych przez odchylenie od prostej OA. Odchylenie to jest tym większe, im większe są wartości mimośrodów obciąŜenia zewnętrznego. Przy duŜych wartościach mimośrodów i dystansu między osiami prętów krzywe obrazujące rozkład sił wzdłuŜnych, przy rosnącym obciąŜeniu zewnętrznym bez siły generowanej przez pręt piezoceramiczny, mogą znajdować się w róŜnych ćwiartkach układu współrzędnych. Oznacza to, Ŝe pręty mogą być zarówno rozciągane, jak i ściskane. Im większa jest wartość mimośrodów, tym ich wpływ na wartości sił wzdłuŜnych jest większy, niezaleŜnie od kierunku działania siły zewnętrznej względem pręta nośnego. Po przeprowadzeniu obliczeń numerycznych i analizie otrzymanych wyników, moŜna stwierdzić, Ŝe niezaleŜnie od wartości mimośrodów i dystansu d^* siła krytyczna układu jest stała. Przemieszczenia poprzeczne prętów układu znajdującego się w stanie równowagi statycznej o postaci krzywoliniowej dąŜą do nieskończoności po przekroczeniu siły krytycznej równej pcr = 9.8696.

Dalsza część analizy dotyczyła wpływu generowania siły piezoelektrycznej w dodatkowym pręcie struktury na moŜliwość moderowania przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających w elementach układu. Przy obciąŜeniu zewnętrznym przyłoŜonym na róŜnych mimośrodach e1 i e2 otrzymuje się krzywe obrazujące rozkłady przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających w kaŜdym z prętów kolumny jak na rys. 4 – 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.001 0.002

f = 0.12 f = 1.13 f = 2.49 f = 3.17 wi0

ξ

Rys.4. Wpływ siły piezoelektrycznej f na redukcję przemieszczeń poprzecznych,

(pozostałe dane k10 = 3, k20 = 1.506, d* = 0.005, e*₁ = 0.001, e*₂ = 0.01, r_m = 1,

µ = 0.3)

0 0.2 0.4

0

0.6 0.8

0 0

0.0004

wi0

f = 0 f = 0.62 f = 2.48 f = 3.09

0.0003

0.0002

0.0001

1

ξ

Rys.5. Wpływ siły piezoelektrycznej f na redukcję przemieszczeń poprzecznych,

(pozostałe dane k₁₀ = 3, k₂₀ = 0.983, d* = 0.005, e*₁ = - 0.005, e*₂ = 0.005, r_m = 1,

µ = 0.3)

Znając stan wyjściowy układu po przyłoŜeniu obciąŜenia zewnętrznego, generowano siłę w piezoelemencie przez przyłoŜenie określonego pola elektrycznego. Stwierdzono, Ŝe niezaleŜnie od wartości mimośrodów, dystansu pomiędzy osiami prętów układu, sztywności na zginanie i ściskanie, istnieje moŜliwość redukcji przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających. Wielkość korekcji jest jednak ściśle uzaleŜniona od stałych geometrycznych i fizycznych układu.

Jeśli dodatkowy pręt konstrukcji jest umieszczony po stronie włókien rozciąganych pręta nośnego, to wpływ wygenerowanej siły piezoelektrycznej na redukcje momentów zginających i przemieszczeń poprzecznych jest większy niŜ wtedy, gdy piezoceramik umieszczony jest po stronie włókien ściskanych pręta nośnego. W przypadku sterowania przemieszczeniami poprzecznymi i wielkością momentów zginających najistotniejszym czynnikiem jest wartość potencjału pola elektrycznego przyłoŜonego do piezoceramika, od której zaleŜy wartość siły korygującej odkształcenia i momenty wewnętrzne w układzie.

Znając wartości sił wzdłuŜnych w prętach kolumny, przy róŜnej konfiguracji geometrycznej układu i róŜnych mimośrodach obciąŜenia zewnętrznego, moŜna wyznaczyć numerycznie ich zaleŜność od siły piezoelektrycznej f generowanej przez piezoelement.

Dokonując ponownego rozwiązania zadania z uwzględnieniem wyznaczonych wcześniej wielkości, otrzymano krzywe tej zaleŜności przedstawione na rys. 8 – 9.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.03 -0.02 -0.01

M_i

ξ

f = 0 f = 0.62

pręt nośny

pręt piezoceramiczny

Rys.6. Wpływ siły piezoelektrycznej f na redukcję momentów zginających, (pozostałe

dane k10 = 3, k20 = 1.506,d* = 0.005, e*₁ = 0.001, e*₂ = 0.01,r_m = 1, µ = 0.3)

0 0.20 0.40 0.60 0.80 1

-0.01 -0.005 0 0.005

ξ

f = 0 f = 0.62

M_i

pręt nośny pręt piezoceramiczny

Rys. 7. Wpływ siły piezoelektrycznej f na redukcję momentów zginających, (pozostałe

dane k₁₀ = 3, k₂₀ = 0.983, d* = 0.005, e*₁ = -0.005, e*₂ = 0.005, r_m = 1, µ = 0.3) W przypadku, gdy stosunek sztywności na ściskanie i zginanie jest równy jedności, zaleŜność między siłami wzdłuŜnymi a siłą piezoelektryczną jest zbliŜona do zaleŜności liniowej. Liniowość ta ulega zaburzeniu, gdy wartości sił w prętach zbliŜają się do wartości krytycznej lub gdy wartości sztywności na zginanie i ściskanie w obu prętach są róŜne.

10.0 20.0

-20.0 -10.0 0

10.0 k10

k20

f k₁₀, k₂₀

Rys.8. Relacja pomiędzy siłą piezoelektryczną f, a siłami w prętach kolumny, przy r_m = 1, d* = 0.001, λ1=1,

µ = 0.3, e*1 = 0.001, e*2 = -0.005

20.0 20.0

k20

0

k10

f k10, k20

Rys. 9. Relacja pomiędzy siłą piezoelektryczną f, a siłami w prętach kolumny, przy r_m = 1, d* = 0.001,λ1 = 1,

µ = 1, e*1 = e*2 = 0.001

Znając wartości siły piezoelektrycznej f, moŜna określić wielkość potrzebnego napięcia, które musi być przyłoŜone do piezoceramika w celu uzyskania efektu korekcji przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających. Zmniejszenie sztywności na ściskanie pręta piezoceramicznego powoduje, Ŝe do przeniesienia obciąŜenia o tej samej wartości potrzebne

jest wygenerowanie większych napięć w pręcie piezoceramicznym. Biorąc pod uwagę rozwaŜany smukły układ prętowy, lepszy efekt korekcji uzyskuje się, gdy relacja sztywności na ściskanie pomiędzy prętem nośnym a piezocermicznym jest równa jedności, poniewaŜ przeniesienie tych samych obciąŜeń wymaga przyłoŜenia mniejszego napięcia.

4. WNIOSKI

W pracy rozwaŜano przedwyboczeniowe zachowanie mimośrodowo obciąŜanej kolumny swobodnie podpartej i wzmocnionej prętem piezoceramicznym. W elemencie tym jest generowana siła piezoelektryczna niekorzystnego celu zmniejszenia niekorzystnego rozkładu przemieszczeń poprzecznych układu znajdującego się w stanie równowagi o postaci krzywoliniowej. Równania do wyznaczenia relacji pomiędzy siłą generowaną w pręcie piezoceramicznym a siłami osiowymi w prętach kolumny wyprowadzono metodą energetyczną na podstawie wariacji energii potencjalnej z uwzględnieniem równań konstytutywnych materiału piezoelektrycznego. Bazując na przeprowadzonym rozwiązaniu, opracowano program obliczeń numerycznych do obliczeń symulacyjnych statycznego zachowania układu.

Po przeprowadzeniu badań numerycznych i analizie otrzymanych wyników moŜna wysnuć następujące wnioski:

• niezaleŜnie od wielkości mimośrodu i dystansu pomiędzy prętami siła krytyczna układu jest stała,

• przemieszczenie poprzeczne i momenty zginające w prętach kolumny wywołane niezamierzonym mimośrodem obciąŜenia zewnętrznego mogą być korygowane przez wygenerowanie siły piezoelektrycznej w pręcie pomocniczym struktury,

• siła generowana przez piezoelement, w zaleŜności od kierunku pola elektrycznego, moŜe być ściskająca lub rozciągająca, przez co istnieje moŜliwość zmniejszania niekorzystnego przemieszczenia poprzecznego lub momentu zginającego w zasadniczym elemencie nośnym.

• zwrot wektora pola elektrycznego przykładanego do piezoceramika jest determinowany postacią odkształcenia układu. Większą korekcję przemieszczeń i momentów zginających otrzymuje się przy zamocowaniu pręta piezoceramicznego po stronie włókien rozciąganych pręta nośnego,

• przy niewielkich mimośrodach obciąŜenia i nieznacznym odsadzeniu pręta pomocniczego krzywe rozkładu sił wewnętrznych w prętach kolumny mają początkowo przebieg bliski prostej OA nachylonej pod kątem α =^arctg

(

^E₁^A₁^/E₂^A₂

)

, a następnie przecinają się w punkcie krytycznym C. Zwiększenie wartości mimośrodów powoduje odchylenie krzywej rozkładu od prostej OA,

• korygowanie wartości przemieszczeń poprzecznych i momentów zginających jest moŜliwe takŜe przez zmianę odległości między osią pręta piezoceramicznego i pręta nośnego.

Otrzymane wyniki badań numerycznych mogą być zastosowane przy projektowaniu kolumn z odsadzonym prętem piezoceramicznym.

Niniejsza praca powstała przy dotacji Politechniki Częstochowskiej otrzymanej w ramach prac BW -1-101/204/07/P i BS-1-101-302/99/P.

LITERATURA:

1. Chaudhry Z., Rogers C.A.: Enhancing induced strain actuator authority through discrete attachment to structural elements. “AIAA Journal” 1993, 31, 7, p.1287-1292.

2. Lalande F., Chaudhry Z., Rogers C.A.: A simplified geometrically nonlinear approach to the analysis of the moonie actuator. “IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectric and frequency control” 1995, Vol. 42 No. 1 p. 21-27.

3. Moskalik A.J., Brei D.: Force-deflection behavior of piezoelectric C-block actuator arrays. „Smart Mater. Struct.” 1999, 8, p. 531-543

4. Tylikowski A.: Inteligentne materiały i konstrukcje.”Przegląd Mechaniczny” 1998, LVII, z. 20, s. 17-23.

STATIC ANALYSIS OF A COLUMN WITH AN ADDITIONAL PIEZOCERAMIC ROD

Summary. The purpose of this work is to determine the relation between axial forces in the column and the rod resulting from both the applied external load and the piezoelectric force. On the base of a variational principle (on the potential energy functional), by using the constitutive equations for the piezoelectric material, one derives an equation describing the dependence between the force generating by actuators and the axial forces in both elements of the system. The piezoforce is then implemented into buckling equations, which are analytically solved. The obtained solution is used for preparing the code for numerical simulation of the static behaviour of the system. It is assumed that the external load can be applied axially or eccentrically. The piezoelectric force, which dependently on the direction of the electric field can compress or stretched the column, may be used for controlling the flexural displacement or the bending moment in the column.