MIECZYSŁAW LUBAWSKI
U W A G I
O A R Y STO TELESO W SK IM PO D ZIA LE K A TEG O R II ILOŚCI
1. A r y s t o t e l e s o w s k i p o d z i a ł k a t e g o r i i i l o ś c i . W ujęciu A rystotelesa ilość (ąuantitas) należy do kategorii przypadłości.
Stanowi jedną z dziewięciu przypadłości. K ategoria ilości nie może być, ściśle biorąc, definiowana. A rystoteles w yróżnia natom iast trzy rodzaje ilości, m ianowicie: continuum , contiguum oraz conseąuenter se habens.
W spom niane ujęcie A rystotelesa utrzym ało się w filozofii scholasty- cznej do chw ili obecnej. P. Hoenen 1 np. tak pisze: „Tria enim genera extensorum ab Aristotele optim e distinguuntur: continuum , contiguum e t conseąuenter se habens; [...] quae ita definiuntur: «continua sunt quo- rum extrem a unum , contigua quorum extrem a sunt simul, consequenter se habentia inter quae nihil eiusdem generis m edium cadit» I dalej czytam y: „D uplex distinguitur genus continuorum: Continuum permanens est sive physicum (corpus naturale) sive m athem aticum ; hoc pótest esse sive corpus (vel solidum ) sive superficies sive linea, prout habet sive tres sive duas dim ensiones sive unam tantum . Continuum fluens (successivum) est sive m otus sive tem pus. Quanta quae non constituunt unum per se (contigua igitur et distantia) ab Aristotele vocantur quanta discreta
Identyczne stanowisko zajm ują także I. G red t8, C. B o y e r 4, P. S elv a g g i5
1 P. H o e n e n , Cosmologia, Romae 1945 *, s. 7.
2 Ibid., s. 8, 9.
* „Quantitas praedicamentalis dividitur in conlinuam et discretam seu numerum (praedicamentalem); continua est, cuius partes inter se continuantur; discreta, cuius partes inter se non continuantur. Numerus dividitur in binarium, ternarium etc.;
unitas enim addita numeri speciem variat. Quantitas continua dividitur in lineam seu ąuantitatem unius dimensionis, superficiem seu duarum dimensionum, corpus mathematicum seu trinam dimensionum." (I. G r e d t , Elemenła Philosophiae ari- stotelico-thomisticae, vol. I, Friburgi Br. 1926 J, s. 150— 151).
4 „lam age, extensum est triplicis generis: vel continuum, vel contiguum, vel conseąuenter se habens. Etenim si habentur duo extensa quae ab invicem distant (cogita lunam et terram), sunt conseąuenter se habentia, unter quae nihil eiusdem generis medium cadit». Si duo ext'ensa sese tangunt (cogita navim in mari), sunt contigua, seu «quorum extrema sunt s im u l». Si deniąue id ąuod est extensum est
70
i inni n eo sch o lasty cy . T ak i je s t s ta n fak ty czn y . J . M a rita in 6 zw racał w praw dzie uw agę n a to , że dan e geom etrii nieeuklidesow ej p o ciąg ają za sobą pew ne rep erk u sje ty czące się pojęcia k ateg o rii ilości, je d n a k uw aga ta nie zo stała w y k o rz y sta n a . Nie w y d aje się to by ć dziw ne, gdyż jeśli • n a p o d an e w yżej określenia rodzajów ilości oraz n a sam podział ilości sp o jrzy m y ze zdrow orozsądkow ego p u n k tu w idzenia, to b ędziem y całko
wicie skłonni u zn ać i p o d ział i sam e określenia za bardzo n a tu ra ln e , w łaś
ciwe i nie b u d zące w ątpliw ości.
P . H oenen 7, I. G r e d t 8, A. G. v a n Melsen 9 w y raźn ie p rz y jm u ją , że figury geom etryczne m ogą być b ra n e ja k o p rz y k ła d słu żący do ilu s tro w an ia w spom nianego podziału k ateg o rii ilości. T en f a k t u p o w ażn ia do wzięcia p o d uw agę bard ziej skom plikow anych figur g eo m etry czn y ch w po
ró w n an iu do ty c h , k tó re zn am y z geom etrii e lem en tarn ej. P o w sta je więc p y ta n ie , czy tw o ry geom etryczne, znane we w spółczesnej m a te m a ty c e , d a d z ą się sklasyfikow ać w edług ujęcia A ry sto telesa. W ty m celu ro zw aży m y ' n a jp ierw trz y w zględnie p ro ste p rz y k ła d y z topologii teoriom nogoś- ciow ej.
2. T r z y p r z y k ł a d y . J a k o pierw szy p rz y k ła d w eźm iem y zbiór liczb w y m iern y ch d o m kniętego o dcinka (0,1), a w ięc zbiór w szy stk ich d o d a tn ic h u łam ków w łaściw ych z w łączeniem zera i jedności. O znaczm y te n zbiór przez W . O tóż je s t rzeczą dobrze z n a n ą 10, że n a o d cin k u (0,1) zbiór W w y p ełn ia ty lk o przeliczalnie wiele m iejsc, tj. zbiór W je s t rów nej m ocy (in aczej: rów noliczny) ze zbiorem w szy stk ich liczb n a tu ra ln y c h . N a to m ia st zb ió r w szy stk ich liczb od cin k a (0,1) je s t m ocy k o n tin u u m 11, p rzeto zbiór W nie w y p ełn ia sobą całego o d cin k a (0,1). Co w ięcej, m iejsc nie w y p ełn io n y ch przez W je s t nieprzeliczalnie wiele. Z atem zb ió r W nie je s t ciągły, gdyż je s t „p o p rzed zielan y " liczbam i n iew y m iern y m i. Lecz zbiór W p osiada z n a n ą w łasność, m ianow icie iż m ięd zy k ażd y m i dw iem a liczbam i w y m iern y m i istn ieje trzecia p o śred n ia. J e s t więc, ja k to się m ów i,
unum per se (cogita unam plantam) est continuum, seu «quorum exlrema sunt unum (C. B o y e r, Cursus philosophiae, vol. I, ed. altera, s. 373).
5 P. S e 1 v a g g i, Cosmologia, Romae 1959, s. 21—22.
8 J. M a r i t a i n , Les degres du savoir, Paris 1934 2, s. 101, 102, 354, 355.
7 P. H o e n e n , op., cit., s. 8.
8 „Linea, superficies, corpus mathematicum sunt verae species ąuantitatis.
Nam in unoquoque eorum seorsim sumpto salvatur ratio quantitatis seu ordo partium, ergo quantitates sunt; et unumquoque specialem habet ordinem, ergo essentialiter distinguuntur in ipsa ratione quantitatis, seu verae sunt species quan- titatis".' (I. G r e d t , óp. cit., s. 152).
9 A. G. van M e l s e n , Filozofia przyrody, 1963, s. 231— 232.
10 Zob. np. K. K u r a t o w s k i , Wstęp do teori.i mnogości i topologii, War
szawa 1962 2, s. 55.
u Ibid., s. 54.
zbiorem g ęsty m . N ie m a w nim p u n k tó w sąsiednich, m im o że nie je s t ciągły.
Z a trz y m a jm y w p am ięci zauw ażone pow yżej w łasności zbioru W.
D rugim p rz y k ła d e m niech n am posłuży tzw . zbiór n igdziegęsty C an to ra.
G eom etrycznie m ożem y określić go n a stę p u ją c o . W eźm y o dcinek d o m k n ię ty 01 i podzielm y go n a trz y rów ne części. U su ń m y n a stę p n ie w n ętrze o d cin k a środkow ego. P o z o sta n ą w ięc dw a o d cin k i: (0,1/3) oraz (2/3,1).
Z k a żd y m z p o zo stały ch odcinków p o stą p m y ja k pop rzed n io , tz n . po
dzielm y go n a trz y rów ne części i u su ń m y część środkow ą (d o k ład n iej:
w n ętrze części środkow ej). Tę o p erację b ędziem y p o w ta rz a ć w niesk o ń czoność. Zbiór, k tó ry o trz y m a m y z o d cin k a 01 u su w a ją c zeń w o p isan y sposób przeliczalnie wiele odcinków o tw a rty c h , nosi w łaśnie nazw ę zbioru C an to ra. W łasności jego są in te resu jące. W y m ień m y je. Z k o n stru k c ji zbioru w idać, że je s t on d o m k n ię ty oraz nie zaw iera żadnego przedziału.
T en o s ta tn i f a k t w y ra ż a m y m ów iąc, że je s t on zbiorem nigdziegęstym . Z auw ażm y, że zbiór te n je s t m ocy k o n tin u u m . P o siad a więc, m ów iąc potocznie, ty le sam o elem entów , co cały odcinek O l.12 J a s n e je s t rów nież, że nie m ożna w p rz y p a d k u zbioru C a n to ra rnówić o p u n k ta c h sąsiednich.
M ożna je d y n ie w yróżnić dla n ie k tó ry c h ty lk o p u n k tó w sąsiadów je d n o stro n n y c h , nie d w u stro n n y ch .
P rz e jd ź m y obecnie do trzeciego p rz y k ła d u . W eźm y w ty m celu z n an y n a m ju ż zbiór C a n to ra, położony n a odcinku 01, oraz p u n k t płaszczy zn y euklidesow ej o w spółrzędnych (1/2, 1/2). P ołączm y n a stę p n ie p u n k t (1/2, 1/2) z p u n k ta m i zbioru C a n to ra o d cinkam i p rostoliniow ym i. Jeśli d a n y odcinek zaw iera koniec w y jęteg o p rzed ziału , to do budow anego obecnie zbioru zaliczym y ty lk o te p u n k ty o dcinka, k tó ry c h rzędne są w y m iern e. W p rz y p a d k u przeciw nym zaliczym y do naszego zbioru te p u n k ty o d cin k a, k tó ry c h rzęd n e są niew ym ierne. T a k p o w stały zbiór oznaczm y przez K 13. P o siad a on bąrd zo in te re su ją c ą w łasność. M iano
wicie je s t to zbiór spójny. P o słu g u jąc się term in o lo g ią filozoficzną pow ie
dzielibyśm y, że je s t on zbiorem ciągłym w ty m sensie, że nie d aje się roz
łożyć n a dw a p o d zb io ry w łaściw e d o m k n ięte i rozłączne. Jeg o spójność je s t je d n a k b a rd zo in te re su ją c a, a to z tego w zględu, że zbiór pow yższy nie d aje się p rzed staw ić ja k o su m a dw u podzbiorów sp ó jn y ch rozłącznych i zaw ierający ch więcej niż je d en p u n k t. N a d to , jeśli z rozw ażanego zbioru u su n iem y p u n k t (1/2, 1/2), to o trz y m a m y zbiór całkow icie niesp ó jn y , tz n . sp ó jn y m i jego częściam i b ęd ą ty lk o poszczególne p u n k ty . Z biór te n p osiada w ięc b ard zo p a ra d o k sa ln e w łasności.14
11 ibid.', s. 163.
13 Przykład ten podali B. Knaster i K. Kuratowski. Zob. ich artykuł Sur les ensembles connexes, umieszczony w drugim tomie czasopisma „Fundamenta Mathe- maticae".
14 Zob. C. K u r a t o w s k i , Topologie I I , Warszawa-—Wrocław 1950, s. 85.
72 MIECZYSŁAW LUBANSKI
3. W n i o s k i i p r o p o z y c j e t e r m i n o l o g i c z n e . P o s ta ra jm y się obecnie zobaczyć, czy p o d an e tu trz y p rz y k ła d y tw orów m a te m a ty c z n y c h d a d z ą się zaklasyfikow ać do k tó re jś z k ateg o rii ilości roz
różnionych przez A ry sto telesa. W eźm y w ięc pod uw agę p ie rw s z y ^ rz y k ła d , tj. zbiór W . Z fa k tu , że je s t on „p o d ziu raw io n y " liczb am i.n iew y m iern y m i w y n ik a jego nieciągłość w sensie A ry sto telesa. Nie m ożna go je d n a k za
liczyć rów nież ani do co n tig u u m , ani do c o n seq u en ter se h a b e n tia , gdyż nie m ożna m ów ić o p u n k ta c h sąsiednich. Nie m a ta k ic h . P rz e to zbiór W nie p o d p a d a p o d żaden z w y m ienionych przez A ry sto telesa rodzajów ilości.
D rugi z ro z p a try w a n y ch zbiorów , czyli zbiór C an to ra, w sposób oczy
w isty ta k ż e nie je s t zbiorem ciągłym w sensie A ry sto telesa. W id ać to w y raźn ie z k o n stru k c ji zbioru. Nie m ożna go je d n a k z ty c h sam y ch racji, co i zbioru W , zaliczyć do obu p o zo stały ch rodzajów k a te g o rii ilości.
M ielibyśm y więc jeszcze je d e n p rz y k ła d zbioru nie m ieszczącego się w a ry - stotelesow skim podziale ilości.
R ozw ażm y te ra z zbiór trzeci. Z m atem aty czn eg o p u n k tu w idzenia je s t on sp ó jn y . Czy m ożna go je d n a k nazw ać ciągłym (continuum ) w sensie A ry sto te le sa ? W y d aje się raczej, że nie. D laczego? Z tej racji, że elem en
ta m i tw o rzący m i rozw ażany zbiór są „oddzielne" p u n k ty , tz n . nie bierzem y całych odcinków łączący ch p u n k t (1/2, 1/2) z p u n k ta m i zbioru C an to ra, a ty lk o p u n k ty b ąd ź o o d cięty ch w y m iern y ch , bąd ź n ie w y m ie rn y c h .' J e s t to , m ów iąc p otocznie, „d ziu raw y " zbiór. Poniew aż, dalej, nie m ożna w zbiorze ty m m ówić o p u n k ta c h sąsiednich, p rzeto nie m oże on być zaliczony i do obu p o zo stały ch rodzajów ilości. M ielibyśm y w ięc trzeci p rz y k ład zbioru, k tó ry nie d aje się zaklasyfikow ać w edług po d ziału A ry sto telesa.
W a rto tu w spom nieć, że p o d an e p rz y k ła d y zbiorów nie są czym ś w y ją tk o w y m w m a te m a ty c e w spółczesnej. Tego ro d z a ju zbiorów m a te m a ty k a dzisiejsza zna b ard zo wiele. Są one w b a d a n ia c h m a te m a ty c z n y c h czym ś codziennym . T ak i s ta n rzeczy pociąga za sobą kpnieczność do k o n a n ia rew izji podanego przez A ry sto telesa po d ziału k a te g o rii ilości. Nie m ożna p o w ta rz a ć ty lk o tego, co w te j dziedzinie pow iedział k iedyś A ry sto teles. K oniecznie n ależy uw zględnić w y n ik i u zy sk an e w m a te m a ty c e w spółczesnej. K o n sek w en tn ie w ięc p o jaw ia się pro b lem d o k o n a n ia now ej k lasy fik acji k a te g o rii ilości. To je s t pierw sza sp raw a, ja k a w y n ik a ze w spół
czesnego sta n u m a te m a ty k i.
D rugim zagadnieniem je s t k w estia ad ek w atn o ści określeń ró żn y ch rodzajów ilości p o d a n y c h przez A ry sto telesa. Czy d a d z ą się one u trz y m a ć dziś? P rz y k ła d trzeci w y d aje się w skazyw ać, że określenia A ry sto te le sa nie b ard zo h a rm o n iz u ją z pojęciam i, w y p raco w an y m i w dzisiejszej m a te m a ty c e , dokładniej m ów iąc, w teoriom nogościow ych działach m a te m a
ty k i. O siągnięcia w sp o m n ian y ch działów m a te m a ty k i są dziś bezspornie u zn an e. W y n ik a ło b y p rzeto s tą d , że n ależało b y p rzep raco w ać ta k ż e i sam e ok reślenia p o d an e przeż A ry sto telesa. O kazuje się więc, że nie ty lk o po
dział ary sto teleso w sk i k a te g o rii ilości nie m oże uchodzić za a d e k w a tn y , ale ta k ż e i sam e w yróżnione ro d zaje ilości nie w y d a ją się b yć określone w sposób, k tó ry dziś u z n a lib y śm y za naukow o celow y i p o p raw n y .
J e s t sp raw ą nie u leg ającą w ątpliw ości, że oba p o ruszone tu zag ad n ie
n ia w zajem nie się że sobą w iążą. O dróżnienie ich pozw ala n a łatw iejsze zorientow anie się w pow stałej sy tu a c ji, k tó ra w y n ik ła z ra c ji bujn eg o rozw oju działów teoriom nogościow ych m a te m a ty k i w spółczesnej.
P rzejd źm y obecnie do zary so w an ia pew nych p ro p o zy cji te rm in o lo gicznych, w iążących się z o m aw ian y m tu zagadnieniem . O tóż w y d a je się, że klasycznem u pojęciu ciągłości zbioru odp o w iad a teoriom nogościow e pojęcie spójności zbioru 15. K o n sek w en tn ie więc, w y d aje się by ć właściw e przeniesienie tego pojęcia do ogólnej k a te g o rii ilości. N ależałoby zatem m ówić nie o ilości ciągłej, ile raczej o ilości sp ó jn ej. P ow iem y, że ilość Q je s t sp ó jn a, jeśli n ie d aje się przed staw ić w po staci su m y rozłącznej dw óch ilości Q x i 0 2, b ęd ący ch ilościam i tego sam ego ro d zaju , co O ie. Ilość, k tó ra nie je s t sp ó jn a, zw ać będziem y ilością n iesp ó jn ą. P o d a n e p rzed chw ilą określenie je s t określeniem spójności w sensie in te g ra ln y m . W y d a je się b y ć w łaściw e w prow adzenie jeszcze pojęcia spójności lokalnej. P ow iem y m ianow icie, ie ilość Q je s t lokalnie sp ó jn a w swoim elem encie q, jeżeli q m ieści się we w n ętrzu dow olnie m ałej ilości spójnej S. Jeżeli ilość O je s t lokalnie sp ó jn a w k a żd y m swoim elem encie, to m ów im y po p ro stu , że je s t lokalnie sp ó jn a. M ożna łatw o pod ać p rz y k ła d tw o ru m a te m a ty c z n eg o , k tó r y je s t sp ó jn y , ale nie je s t lokalnie spójny.
W eźm y m ianow icie p u n k t p łaszczyzny (0,1) i p o łączm y go o d cin k am i z p o czątk iem u k ła d u (0,0) oraz z p u n k ta m i ( l/n , 0) gdzie n = 1, 2, 3, ...
T ak o trz y m a n y zbiór je s t oczyw iście sp ó jn y , lecz nie je s t lokalnie sp ó jn y . W e w szy stk ich p u n k ta c h p o staci (0, y), gdzie 0 < y < 1, zbiór te n nie je s t lokalnie sp ó jn y 17.
M ożna b y w prow adzić dalsze jeszcze specy fik acje.p o jęcia ilości. A więc n p . m ożna b y m ów ić o ilości spójnej w pew nym w ym iarze, o ilości łukow o spójnej, o ilości g ęstej, d y sk re tn e j itd . C zytelnik, z n a jący elem en ty to p o logii teoriom nogościow ej, bez tru d u w idzi tu ta j, sk ąd te pojęcia zostały zaczerpnięte i ja k m ożna b y je dalej specyfikow ać. Nie w y d aje się to je d
15 Zob. K. K u r a t o w s k i, Wstęp do teorii mnoaości i tapoloaii, Warszawa 1962 *, s. 92.
16 Por. mój artykuł O pojęciu nieskończoności, „Roczniki Filozoficzne",X (1962), z. 3, s. 107.
17 Zob. K. K u r a t o w s k i , Wstęp do teorii mnogości i topologii, Warszawa 1962 2, s. 189.
74 MIECZYSŁAW LUBANSKI
n a k konieczne dla celu tej n o ty . T oteż p o p rzestan iem y n a w yżej pow ie
dzianym . K ró tk o m ów iąc chodzi o to, że zo stała zap ro p o n o w an a in n a defi
nicja ilości spójnej (w daw nej term inologii: ciągłej) aniżeli tra d y c y jn a , pochodząca od A ry sto telesa. N astęp n ie zo stały w p row adzone dw a pojęcia spójności, m ianow icie w sensie in te g ra ln y m i lo k aln y m . P o jęcia te m a ją p e łn ą stosow alność we w spółczesnej nauce. K o n sek w en tn ie więc m ożem y m ów ić o ilości spójnej i niespójnej w sensie in te g ra ln y m i lokalnym .
4. U w a g i . W idzieliśm y, że neo sch o lasty cy , p o d a ją c p rz y k ła d y ró ż
n y c h rodzajów ilości, spokojnie p o słu g u ją się tw o ra m i m a te m a ty c z n y m i.
To upow ażniło a u to ra , a b y rozw ażyć tw o ry ze w spółczesnej m a te m a ty k i, a nie ograniczać się je d y n ie do bardzo p ro sty c h i niem al b a n a ln y c h p rz y kładów z geom etrii elem en tarn ej. W sk u te k tak ieg o p o stę p o w a n ia okazało się, że n ależy zm odyfikow ać i sam podział ary sto teleso w sk i k a te g o rii ilości oraz określenia różnych rodzajów ilości. W te n sposób m a m y k o n k re tn y p rz y k ła d zw iązku zachodzącego m iędzy n a u k a m i szczegółow ym i ( w . ty m w y p a d k u — m a te m a ty k ą ) a filozofią p rz y ro d y , a b y ć m oże n a w e t i bardziej ogólnym i działam i filozofii, ty m i m ianow icie, gdzie m ożna m ów ić o specyfice różnych rodzajów ilości. Z atem błędne je s t tw ierdzenie, że filozofię p rz y ro d y m ożna u p raw iać zupełnie niezależnie od w spółczes
n y c h n a u k szczegółow ych. W p ra k ty c e zależność t a istn ieje. N a d to n ależy u zn ać, że zw iązek te n je s t dla filozofii p rz y ro d y k o rz y stn y . P o zw ala on n a lepsze, bardziej p recy zy jn e ujm ow anie n ie k tó ry c h zag ad n ień z zakresu filozofii p rz y ro d y . W y d a je się, że przez opracow yw anie tego ro d z a ju k o n k re tn y c h p rzy p ad k ó w pow iązań m ięd zy filozofią p rz y ro d y a n a u k a m i szczegółow ym i będzie m ożna stopniow o dojść do m ożliw ie ogólnego i naukow o uzasadnionego pog ląd u n a ro d zaj i w ielkość w sp o m n ian ej za
leżności.18 Innej drogi ch y b a nie m a. Chcieć rozw iązać in te re su ją c e nas zagadnienie przez w yjście z o kreśleń, czym je s t filozofia p rz y ro d y i czym są n a u k i szczegółowe, w y d aje się zaw ierać w sobie zn aczn ą dozę ap rio ry zm u .
REM ARKS ON TH E ARISTOTELIAN D IV ISIO N OF CĄTEGORIES OF QUĄ N TITY
Aristotle distinguished three kinds of categories of ąuantity: continuum, con- tiguum and conseąuenter se habens. The Stagyrite also gives their definitions. In this note it was shown that the Aristotelian division of ąuantity and the definitions the,mselves are no longer adeąuate today. In modern mathematics there are known sets, which cannot bę included in ariy of the kinds of ąuantities distinguished by Aristotle. In addition, the definitions themselves are not, in view of known concepts in settheoretical topology, sufficiently accurate and precise. In this note the dis- tinction is proposed between a unified ąuantity in the integral and local sense. De
finitions of the concepts mentioned are also given.
18 Jako przyczynki mogą być uważane dwie następujące moje notki: O pojęciu nieskończoności, „Roczniki Filozoficzne", X (1962), z. 3, s. 103— 110, oraz: Zagadnienie arytmetyzacji kontinuum, „Roczniki Filozoficzne", XI (1963),z. 3, s. 81—85.
