Fizyka 1- Mechanika

(1)

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 8

23.XI.2017

(2)

Moment siły

F r

M  

Moment siły rośnie ze wzrostem siły i odległości punktu jej

przyłożenia od osi obrotu.

Ważny jest kąt między

kierunkiem siły i promienia.

(3)

Ogólna definicja momentu siły

Trzy czynniki:

1. Wartość siły

F r

M  

(4)

Moment siły _M _ _r _ _F

Trzy czynniki:

1. Wartość siły

2. Odległość punktu przyłożenia od osi obrotu 3. Kąt przyłożenia



r F

(5)

Znak momentu siły

Gdy siła generuje przyspieszenie zgodne z ruchem wskazówek zegara moment siły jest ujemny; gdy ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara moment siły jest

dodatni. Iloczyn wektorowy wyjaśnia wszystko.

F r

M  



 0

M

(6)

Prawoskrętny układ współrzędnych

x z

y

x y

z

y x

z  

(7)

Środek masy a równowaga

Rozciągły obiekt zrównoważyć możemy wykorzystać pojęcie środka masy.

Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działające na nią siły i momenty sił równoważą się:

(8)

Statyka

Warunek równowagi:

0 0  



  ^F ^d _dt ^p

F

i

zew i zew

0 0  



  ^M ^d _dt ^L

M

i

zew i zew

Siły, z którymi na ogół będziemy mieć do

czynienia, to siła ciężkości i siły reakcji więzów

(9)

Środek masy a równowaga

Rozciągły obiekt w jednorodnym polu grawitacyjnym jest w

równowadze gdy podparty jest pod lub nad środkiem masy. Ten fakt może posłużyć do empirycznego wyznaczenia środka masy układu

(10)

Ruch obrotowy – moment pędu

Definicja dla punktu materialnego:

p r

v r

m

L    

Wprowadzając pojęcie momentu

bezwładności dla punktu materialnego:

r r v

v mr

I 

²

     

Mamy:



I

L 

(11)

Moment pędu – ruch na płaszczyźnie

Moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci:

 





2

L mr

r mr v

L

mrv L

v v

r m

L

_r



















I

L ˆ 

(12)

Zasada zachowania momentu pędu

Siły centralne

Jeśli układ ciał (lub pojedyncze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna to pęd układu musi się zmieniać:

Siły które działają na układ często są siłami centralnymi - działają w kierunku ustalonego źródła siły.

Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu

Przykład:

• siła grawitacyjna:

• siła kulombowska

• siła sprężysta

Czy można coś “uratować” z zasady zachowania pędu ?.

 0 F

tot

const p

_i





 

_r

tot

F r i

F  ,... 

 

¹ ₂ ²

r m G m

r

F   

 

¹ ₂ ²

r q k q

r

F  

  ^r ^k ^r

F   

(13)

Zasada zachowania momentu pędu

F r

M  

Równanie ruchu:

 I p

r

L   

 

M F

r p

v

dt p r d

dt p r d dt

p r

d dt

L d



















 



0 





(14)

Przykład: Wirujące koło

1. Koło i student(ka) nie wirują

2. Student rozkręca koło przy pionowej osi koła z momentem pędu w górę (co się

dzieje z krzesłem?) Krzesło rotuje z momentem pędu w dół.

3. Zatrzymujemy ręką rotację koła. Co się dzieje z krzesłem?.

L

₁

= L

₂

= L

₃

 Krzesło zatrzymuje się

(15)

Pytanie 1

[ 1] Spoczywam trzymając rotujące koło

[2] Odwracam oś rotacji koła, a krzesło zaczyna rotować Pytanie: Co się stanie jeśli [3] odwrócimy jeszcze raz?

[1] [2]

??

[3]

(16)

Dwukrotne odwrócenie koła

L

_NET

L

_W

L

_S

L

_NET

L

_W

L

_NET

brak obrotu L

_W

[1] [2] [3]

(17)

Ruch obrotowy – moment bezwładności

Dla punktu materialnego:

p r

v r

m

L    

Przy wprowadzeniu pojęcia momentu bezwładności dla punktu materialnego:

mr

2

I 



I L 

Dla układu punktów materialnych względem

osi obrotu:

^ 

^

i

i i

r m

I

²

Dla ciągłego rozkładu masy:

(18)

Moment bezwładności - pręt

Jednorodny pręt wokół osi przechodzącej przez środek liczymy z definicji:

Jednorodny liniowy rozkład masy:

 ^

^

 dm r

²

I

dl l dm

M   

 



12 12

3 2 2

2 3 2

2

2 3

3 2 3

/

0 3

0 2 2

/

0

2

l

l M l

dl l l

l dl I

l l





  ^ ^  ^ ^ ^

Jednorodny pręt wokół osi przechodzącej przez koniec pręta:

2 3

3 2

2

l

l M dl l

l l

dl I

l l l





  ^ ^  ^ ^

(19)

Moment bezwładności - przykłady

Dla ciała jednorodnego (=const=M/V):

Gdzie:

Obręcz (pusta w środku) obrót wokół osi symetrii. Wszystkie punkty

równoodległe od osi:

 ^

^

 dm r

²

I

















  ^dv ^r

_²

^M _V  ^dv ^r

_²

 ^M _dv  ^dv ^r

_²

^M ^r

_²

I 



 r

_² średni kwadrat odległości od osi obrotu

Stosunek momentu bezwładności do masy

zależy od kształtu i rozmiarów ciała:  r

_²

 M

I

(20)

Moment bezwładności - przykłady

Obręcz (pusta w środku) obrót wokół średnicy, oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu – oś Y:

2 2

2 1 2 2 1

2

2 2

2

Mr I

r y

r

y x

i r

y x

























Sfera (pusta w środku) obrót wokół osi symetrii:

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

Mr I

r y

x r

z y

x i

r z

y x

























(21)

Twierdzenie Steinera – o osiach równoległych

Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości S

Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...

Moment bezwładności względem osi równoległej 0, odległej o h od osi S:

Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/