Moment pędu punktu materialnego i układu punktów materialnych, moment siły

Moment pędu punktu materialnego i układu punktów materialnych, moment siły

Zasada zachowania momentu pędu

Dynamika ruchu obrotowego bryły

Moment pędu

punktu materialnego

x

V m r

p r

L

r r r

v r

×

=

×

=

Długość wektora momentu pędu

=

= mVr mVr

L sin α

r

L r

α

α

sin r =

r

O

rr A

pr

α

r⊥ L .

r α

Określamy go względem ustalonego punktu O (np. początku układu

współrzędnych)

- pęd punktu materialnego -wektor określający jego

położenie względem punktu O

V m p

r r

= r r

rp L

p

r ⊥ → =

r r r

V V

r r

r r

=

= ;

L r

jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny w której leżą

wektory i ,a jego zwrot ustala reguła śruby prawoskrętnej

p r 0

|| p → L = r

r r

r

Moment pędu układu punktów materialnych (bryły sztywnej) określony względem początku układu

współrzędnych

∑

∑ ^{= ×}

=

i

i i

i

i

r p

L

L r r r r

suma po wszystkich punktach materialnych układu

wektor wodzący i-tego punktu pęd i-tego punktu

moment pędu i-tego punktu

(suma wektorów)

Moment siły

O

A

r r

F r

α

r⊥

.

F⊥

. ^τr

α α

F r

r r v = ×

τ

( ) ⁼

⁼

=

= τ rF α r F rF

τ r sin

F F

r r

r r

=

= ;

α sin r

r =

^{F =}

^{F sin α}

Określamy go względem ustalonego punktu O (np.

początku układu współrzędnych)

- siła przyłożona

-wektor określający miejsce przyłożenia siły względem punktu O

r r F r

0

|| → τ ^r = r r

F

r

^τ

jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny w której leżą

wektory i ,a jego zwrot ustala reguła śruby prawoskrętnej

τ ^r

r r

F r

Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny

Gdy na punkt ^materialny działa kilka sił to wówczas wypadkowy moment siły jest równy momentowi siły wypadkowej

- określa miejsce przyłożenia i-tej siły

- określa miejsce położenia punktu materialnego przy czym dla dowolnego i ( dowolnej siły)

( ) ( )

i i i

i i

i i

i i

w r F r F r F r F

r r r r

r r r r

r

r =

∑

∑

∑

∑

rri

rr Fⁱ

r

r rr_i r

=

Wypadkowy moment siły działający na układ punktów materialnych (bryłę sztywną)

Wypadkowy moment siły nie jest równy momentowi siły wypadkowej gdyż różne siły mogą być przyłożone do różnych punktów układu

Gdy siła jest przyłożona do innego punktu niż siła to

Wypadkowy moment siły jest równy sumie momentów wszystkich sił

j

i r

rr r

≠

( )

∑

∑

=

i

i i

i i

w r F

r r r

r τ

τ

Fi

r Fj

r

dt L d

w

r r =

τ

Szybkość zmiany w czasie momentu pędu punktu

materialnego (określona przez jego pochodną po czasie) jest równa wypadkowemu momentowi siły działającemu na ten punkt równemu momentowi siły wypadkowej .

Momenty pędu i siły są określone względem tego samego punktu nieruchomego w układzie inercjalnym (np. początku układu).

Równanie powyższe pozostaje prawdziwe także gdy moment pędu układu punktów materialnych i wypadkowy moment siły działający na ten układ siły określimy

względem środka masy układu punktów materialnych (środka masy bryły)

Związek momentu siły z momentem pędu

( )

dt p r d

dt p r p d

dt r d dt

L

d τ^r

r r r r

r r r

r r r

r r r

=

×

=

× +

×

=

× +

×

=

×

=

Dowód w

przypadku punktu materialnego

w w

i i i

iw i

i iw

i

dt L L d

dt d dt

L d dt

L

d τ τ τ τ^r

r r r

r r

r r

⇒ =

⇒ =

⇒ =

=

∑ ∑ ∑

Dla układu punktów w układzie inercjalnym

Szybkość zmiany w czasie momentu pędu układu punktów materialnych jest równa wypadkowemu momentowi siły będącemu sumą wektorową momentów sił

działających na wszystkie punkty układu. Gdy siły działające miedzy ciałami układu są równolegle do prostych łączących te ciała to jest on równy sumie momentów sił

zewnętrznych nie związanych z oddziaływaniami między ciałami układu.

Jeżeli wypadkowy moment siły jest równy zeru to moment pędu jest zachowany

const dt L

L d

w

= ⇒ = ⇒ =

r r

r 0 0

τ

Zasada zachowania momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu w ruchu punktu materialnego pod wpływem siły centralnej na przykładzie siły grawitacyjnej

m

M rr

FG

r V

r

L r.

3 × = 0

−

=

×

= r r

r F GmM

rr r_G r r

τ

r r r

A

r r r

F GmM F_{G mM}

r r r r

⋅

=

=

⋅

−

=

= ) (

2

Moment siły grawitacyjnej określony względem

nieruchomego położenia ciała o masie M (centrum siły)

Np. siła grawitacyjna działająca na planetę o masie m poruszająca się po elipsie wokół Słońca o masie M

const L =

→

= r r

τ 0

Moment pędu ciała o masie m określony

względem centrum siły nie zmienia się trakcie ruchu. Ruch ciała o masie m odbywa się w stałej płaszczyźnie prostopadłej do wektora

Siła centralna –skierowana w kierunku stałego punktu w przestrzeni-centrum siły

L r

r r r

=

Zasada zachowania momentu pędu w ruchu planety o masie m wokół nieruchomej gwiazdy (Słońca) o masie M po elipsie

m

M rr

r_P r_A

peryhelium aphelium

VP

r

VA

r rrP

rrA

FG

r V

r

L

r. W peryhelium i

aphelium

aphelium peryhelium

L

L

r r

= mV

r

= mV

r

P A A

P

r r V

V =

V r

r r

⊥

V m r

L

r r r

×

=

Moment pędu

P P

P P

peryhelium r mV r mV

L = =

r r r

A A

A A

aphelium r mV r mV

L = =

r r r

Z zasady zachowana

momentu pędu

Szybkość w peryhelium jest większa niż w

aphelium

Bryła sztywna się składa z wielu punktów materialnych przy czym odległości między dowolnymi punktami bryły nie ulęgają zmianie w czasie ruchu bryły.

Bryła sztywna może podlegać:

a) ruchowi postępowemu w którym wszystkie punkty bryły

poruszają się z jednakow^ą prędkością (co do wartości, kierunku i zwrotu)

b) ruchowi obrotowemu w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki leżą na osi obrotu, z jednakową

prędkością kątową

c) złożeniu obu ruchów przy czym kierunek osi obrotu może ulegać w ogólności zmianie w czasie

Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

F

r

F

r r r

r r

τ ^r

Bryła pozostająca w spoczynku może zacząć się obracać nawet wówczas gdy siła wypadkowa jest równa zeru

2

0

1

+ =

= F F F

r r

r

Gdy siły nie ulegają zmianie w czasie to bryła pozostająca przed przyłożeniem sił w spoczynku zaczyna podlegać ruchowi obrotowemu wokół osi obrotu przechodzącej przez środek masy podczas którego każdy z punktów bryły nie leżący na osi obrotu podlega ruchowi jednostajnie przyspieszonemu po okręgu. Omawiany ruch bryły jest wywołany przez stały w czasie wypadkowy moment siły różny od zera określony względem pozostającego w spoczynku środka masy bryły. Do jego opisu można wykorzystać równanie w którym występują rzuty wektorów momentu pędu i wypadkowego momentu siły na oś obrotu

0 2

2 2

1

1

× + × = × ≠

= r F r F r F

w

r r r r

v r

τ r

1

2

F

F

r r

−

= r r

r r

−

=

dt L d

w

r r =

Równanie ruchu

τ

Środek masy w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym

Moment siły r F r r

v = ×

τ

Określamy go względem ustalonego punktu O - siła przyłożona

-wektor określający miejsce przyłożenia siły względem punktu O

r r

F r

Do policzenia rzutu momentu siły na pewien kierunek np.

ustalony przez kierunek osi obrotu Oz względem punktu O leżącego na tej osi możemy stosować wzór

⊥

⊥

×

= r F r r

v

τ

τ^v||

rr⊥

- rzut wektora na płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu^r

r

Rzut ten nie zależy od wyboru punktu O na osi obrotu

Rzut momentu siły na oś obrotu

τ||

τ_z = ^v

gdy zwrot osi Oz zgodny ze zwrotem wektora

τ||

τ_z = − ^v gdy zwrot osi Oz przeciwny do zwrotu wektora

τ^v||

τ^v||

- rzut wektora na płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu^Fr

F⊥

r

gdyż rr = rr + rv⊥

|| F = F + F⊥

r r

r

||

(

)

Oz os

rr ⇒ v × r ⊥

||

|| || ^F|| || ^{o ś Oz ⇒}

(

)

v r r

F r

F r

r r r r

v = _⊥ × + _|| ×

τ r F r F r F||

r r r r

r r

× +

×

=

× _{⊥ ⊥ ⊥}

⊥

⊥

⊥ × + × = +

=

×

= _{i i i i i i i i}

i r p r p r p L L

L

r r r

r r

r r

r r

||

||

rzut momentu pędu punktu o masie m_i poruszającego się z prędkością V_i po okręgu o promieniu r_i⊥na oś obrotu (r_i⊥ rzut wektora wodzącego tego punktu na płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu)

∑

∑

∑

× =

=

=

i

i i i

i i

i i

i i

i

m V m r V m r

r

L

ω ^r

r r r r

v

i

i

V

r r r

⊥

⊥ ^r ω ^r

r

=

i

r

V

Suma po punktach tworzących bryłę

⊥

rri

Rzut momentu pędu obracającej się bryły na oś obrotu ( określony względem dowolnego punktu na osi obrotu )

∑

∑ ^{× = ×}

=

i

i i i

i

i

i

p r m V

r L

r r r

r r

||

L ||

r

V i

r

∑

=

i

i i

r m L ^v

ω ^r

ω

Prędkość kątowa jednakowa dla wszystkich punktów bryły_ω^r

Zwrot rzutu momentu pędu jednakowy dla

wszystkich punktów bryły

Oz oś

p bo

Oz oś p r L

i i i i

⊥

×

= _⊥ r

r r r

|| ||

Oz os p

r

Lr_i⊥ = r_i × r_i ⊥

||

Moment bezwładności

∑

=

i

i i

r m

I

m₁=m m₂=m

r

2mr

I =

Dla brył

suma → całka

ρ

r_1⊥= r_2⊥ =r

odległość od osi i-tego punktu

Suma po punktach układu r

∑

∑

=

=

=

=

=

=

⊥

⊥

i

i

r const r

i

i i

m r m

r

r m I

i

2 2

m_i 2

r_⊥ dV

masa i-tego punktu

dV r

dV r

dm r

I

V const

V m

∫

∫

∫

⁼

⁼

=

ρ

ρ

ρ

Charakteryzuje rozkład masy bryły względem osi obrotu

dm(dV)- masa (objętość ) elementu bryły leżącego w odległości od osi obrotu z zakresu gdzie (r_⊥,r_⊥ + dr_⊥) dr_⊥ →0

Moment bezwładności

Dysk (walec)

(względem osi symetrii walca)

Kula o promieniu r (względem osi

przechodzącej przez środek kuli)

Pręt o długości l (względem osi

prostopadłej do pręta

przechodzącej przez jego środek )

2 2

1

mr

I =

2 5

2

mr I =

2 12

1

ml I =

l/2 l/2

m-masa bryły

I

d I

Twierdzenie Steinera

2

0 md

I

I = +

I0

I₀ -moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy bryły

I -moment bezwładności

względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy bryły

m-masa bryły,

d-odległość między osiami

d=l/2 l/2

I

I

2 12

1

0

ml

I =

2 3

2 1 4

2 1 12

2 1

0

md ml ml ml

I

I

= + = + =

Przykład zastosowania Twierdzenia Steinera –moment bezwładności pręta o masie m względem osi przechodzącej przez koniec pręta

ω ^r

r

L =

I

∑

=

i

i i

r m

L

ω ^r

r

∑

=

i

i i

r m

I

⊥

rri

Rzut momentu pędu bryły na oś obrotu

L ||

r

ω

ω

I L

=

k L

L

r r

||

=

k

z

k

r r r

ω ω

ω = =

k r

1

= k

r

V i

r

Rzut ten nie zależy od wyboru punktu na osi obrotu względem

którego go określamy

const L

wz

= 0 → =

τ

const

w_||

= 0 → L

= r r

τ

Jeżeli rzut wypadkowego momentu siły na oś obrotu jest równy zeru to rzut momentu pędu bryły na tą oś jest zachowany

dt L d

w

r r =

τ

dt L d

w

||

||

r r =

τ dt

dL

wz

=

τ

Zasada zachowania momentu pędu w przypadku ruchu obrotowego

Związek rzutu momentu pędu na oś obrotu z rzutem wypadkowego momentu siły na oś obrotu Oz

Zakładamy iż oś obrotu Oz musi być nieruchoma w pewnym układzie inercjalnym lub ma ustalony kierunek i przechodzić przez środek masy bryły (lub układu złożonego z obracających się brył) . Rzuty momentu pędu bryły (układu brył) i wypadkowego momentu siły na oś obrotu określamy względem dowolnego punktu leżącego na tej osi gdyż nie zależą one od wyboru punktu na osi obrotu, względem którego je określamy. Do wypadkowego momentu zwykle nie dają wkładu siły wewnętrzne działające między punktami materialnymi układu. Moment bezwładności układu złożonego z kilku brył może ulegać zmianie w trakcie ruchu.

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

2 2

2 1 2

2 2 1

2 2

2 1 2

1

,

m V m r ω m r ω I ω

E

i

i i i

i i i

i i obr

kin

 =



 



= 

=

= ∑ ∑

∑

⊥

rri

L ||

r

ω

V i

r

ω ^r r r

=

i

r

V

Jest ona równa sumie energii kinetycznych wszystkich punktów materialnych

tworzących bryłę bryły

ω_p

I_p

ω_k

I_k

Przykład

Początkowy moment bezwładności całego układu I_p, a prędkość kątowa układu ω_p

końcowy moment bezwładności I_k. Jaka jest prędkość kątowa układu ω_k?.

Czy energia kinetyczna układu ulegała zmianie?

– Rzut moment pędu na oś obrotu jest zachowany – L_kz=L_pz

– początkowy: L_pz = I_pωωωω_p – końcowy: L_kz = I_k ωωωω_k

ω_p

I_p

ω_k

I_k

L_p L_k

z z

Rzut wypadkowego momentu siły na oś obrotu równy zeru

p

k

ω

ω >

p

k

I

I <

k p p

k I

ω

ω

ω_p

I_p

ω_k

I_k

L_p L_k

z z

Wzrostowi prędkości kątowej towarzyszy w omawianym przypadku wzrost energii kinetycznej układu

2

2 ,

p p p

kin

E I

ω

= 2

2 ,

k k k

kin

E I

ω

= _k

p p

k I

ω

ω

k p p p k

kin I

I E I

2

2 ,

=

ω

p kin k

kin

E

E

>

p

k

I

I <

Energia kinetyczna bryły sztywnej podlegającej ruchowi postępowemu i obrotowemu względem osi przechodzącej przez środek masy jest sumą energii w ruchu postępowym i obrotowym

2 2

2 1 2

1 + ⋅ ω

= _{sm o}

kin mV I

E

energia kinetyczna energia kinetyczna w ruchu postępowym w ruchu obrotowym

I₀ -moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

Jeśli na bryłę działa siła ciężkości to można przyjąć iż jest ona przyłożona do środka ciężkości bryły oraz ma wartość równą

gdzie m-masa bryły , g- wartość przyspieszenia ziemskiego

co możemy uwzględnić licząc wypadkowy moment siły działający na bryłę

Energia potencjalna bryły w polu siły ciężkości jest równa gdzie h to wysokość środka ciężkości nad poziomem odniesienia

Gdy g=const w obszarze bryły to środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Jeżeli na bryłę działa tylko siła ciężkości będąca siłą zachowawczą to suma energii kinetycznej i potencjalnej bryły w polu siły ciężkości nie ulega zmianie w czasie. Wniosek pozostaje słuszny także w przypadku występowania innych sił nie wykonujących pracy w trakcie jej ruchu.

Bryła w polu siły ciężkości

mg F_c =

mgh E_pot =

II zasada dynamiki ruchu obrotowego

bryły sztywnej (o stałym momencie bezwładności) wokół osi obrotu nieruchomej ( w pewnym układzie inercjalnym ) lub osi o ustalonej

orientacji w przestrzeni przechodzącej przez środek masy

I-stały moment bezwładności względem osi obrotu ε-przyspieszenie kątowe,

τ_wz –składowa z-towa wypadkowego momentu siły (oś Oz –oś obrotu)

ε τ

ε

τ

= ^I ⇔ ^r

= ^{I r}

ω ε

τ ω I

dt I d

dt I d dt

dL

wz

= = = =

)

(

ω ω I I

L

=

=

k

z

k

r r r

ω ω

ω = = k

z

k

r r r

ε ε

ε = = dt d ω ε =

V i

⊥ r

rvi

wz k

w

r r

τ τ _|| =

k r

k r r

ε ε =

0 0

0 0

⇒ <

<

⇒ >

>

ε τ

ε τ

wz wz