Zestaw 6: wyra»enia, równania i nierówno±ci wymierne oraz niewymierne.

Zestaw 6: wyra»enia, równania i nierówno±ci wymierne oraz niewymierne.

Zadanie 1. Rozªo»y¢ na czynniki wyra»enia:

a) xy + yz + x + z,

b) a⁵¡ a³+ a²¡ 1,

c) (a ¡ b)(p ¡ a)(p ¡ b) + bp(p ¡ b) ¡ ap(p ¡ a),

d) a³+ b³+ c³¡ 3abc,

e) (b ¡ c)³+ (c¡ a)³+ (a¡ b)³.

Zadanie 2. Wykaza¢, »e je±li a + b + c = 0, to

a³+ b³+ c³= 3abc:

Zadanie 3. Upro±ci¢ wyra»enia:

a) ^x2+x1

x +¹

x¡ 1, b) _{(x + y)}¹ 2

 ₁

x²+_y¹₂

+_{(x + y)}² ₃₁

x+¹_y , c) _a2+ a c + c^{a¡ c 2}
_a^a2b^{3¡ c}¡ bc³²

1 +_a^c

¡ c¡^{1 + c}_c 

:^{c(1 + c)a}_bc ;

d) _a

¡ b a + b+_a^{a + b}

¡ b

_a2+ b²

2ab + 1 _{a b}

a²+ b², e) _(x¡ y)(x ¡ z)^x2 +_(y ^y2

¡ z)(y ¡ x)+_(z ^z2

¡ x)(z ¡ y). Zadanie 4. Upro±ci¢ wyra»enia:

a)  ^p_{1 + a}

1 + a

p ¡ 1 ¡ ap + ^{1¡ a}

1¡ a² p ¡ 1 + a

 ₁

a²¡ 1 q

¡¹_a

 , b) 

a³

4p

¡ b⁴p³ pa

¡ bp ¡ a⁴p

¡ b⁴p  a b 4q

+ 1 ,

c) ^{pa¡ 2 ap + 1}

pa

¡ 2 a⁴p + 1:^4a

p + 1

4a

p ¡ 1+ 1,

d) _{a + 1}

pa +_a ¹

¡ ap ¡^p_a^a_{+ 1}^p_{3¡ a 3}^p

a + 1 , e) ^{(x2+ a2)¡}

1

2+ (x²¡ a²)^¡

1 2

(x²+ a²)^¡

1

2¡ (x²¡ a²)^¡

1 2

!_¡2 .

Zadanie 5. Rozwi¡za¢ równania:

a) ³⁽²_4x^{¡ x)}_{¡ 3} =³₂;

1

b) _{x2¡ 3x + 2}^{x¡ 2} = 0,

c) x⁴+ 4x³¡ 18x²¡ 12x + 9 = 0, d) x²+_{(5 + 2x)}^25x2 ₂¡⁷⁴₄₉= 0,

e) x³+_x¹₃= 6¡ x +_x¹
. Zadanie 6. Rozwi¡za¢ nierówno±ci:

a) x <_x¹,

b) _{x¡ 1}² <_x³,

c) _x2 ¹⁴

¡ 5x + 6<₂¹⁰

¡ x¡ 3, d) x + 2¹

  <x¡ 1²

 ,

e) jx³¡ 1j < x²+ x + 1.

Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªady równa«:

a)

(xy = x²y² 3(x²y + xy²) = 5(x¡ y),

b)

(x²+3xy = 54 xy + 4y² = 115 ,

c) ( ₁

x+¹_y+¹_z = 1 xy + xz + yz = 27,

d) 8<

:

x (x + y) = 3 x(x + z) = 1 x(y + z) = 2 ,

e) 8>

<

>:

1

x+¹_y+¹_z = 1 x+y + z = 1

xyz = ¡1

.

Zadanie 8. Rozwi¡za¢ równania:

a) ^{x +px2¡ 1}

x¡ xp ²¡ 1 +^{x¡ x2¡ 1}

p

x +px²¡ 1 = 34, b) p4x + 2

+ 4xp ¡ 2

= 4,

c) 2 x³p ²

¡ 5 x³p = 3, d) ^{x x3p ¡ 1}

x²

3p

¡ 1¡^3x2

p ¡ 1

3x

p ¡ 1 = 12,

2

e) px + 1

+ x²¡ 2x ¡ 1 = 0.

Zadanie 9. Rozwi¡za¢ nierówno±ci:

a) p1 + x²

> x + 1, b) p2 + x¡ x²

> x¡ 4, c) px + 2

> 2xp ¡ 8, d) (x ¡ 1) x + 4p

< 2¡ 4x, e) ^{x2+ 2}

x²+ 1 p > 2.

Zadanie 10. Rozwi¡za¢ ukªady równa«:

a) 8<

:

x¡ y = ⁷₂ x²y

3p

¡ xy³p ²

3 x

p ¡ y³p = 3 ,

b) 8<

:

x y

q ¡q_x^y

= ³₂ x + xy + y = 9 ,

c) 8<

:

5 x + yp

¡^p_{x + y}¹⁸ = 27 x²¡ y²

p ¡ 5 x ¡ yp = 4 ,

d)

(px²+ y²

+ 2xyp = 8 2p px

+ yp = 4 ,

e)

(px + y+ xp ¡ y = 4 7p x²+ y²

p ¡ xp ²¡ y²

= ¡ p41

¡ 3
7 .

3