Ćwiczenia nr 3, GAL I.2, 20.3.2020 Twierdzenie Jordana, II
Zadanie 1. Niech Jk(λ) ∈ Mk×k(R) będzie klatką Jordana wymiaru k z liczbą λ na przekątnej.
Znajdź postać i bazę Jordana macierzy (J7)3.
Zadanie 2. Znajdź postać i bazę Jordana następujących macierzy
(a)
"
5 2 0 5
#
, (b)
5 0 0 2 1 −1 0 0 1
, (c)
1 1 0 −1
1 0 0 2
0 1 1 −1
0 −1 0 2
Zadanie 3. Udowodnij, że jeśli macierze rzeczywiste A, B ∈ Mn×n(R) są podobne nad C, to są podobne również nad R. Wskazówka: zapisać macierz przejscia C ∈ Mn×n(C) w postaci C = X + iY dla pewnych X, Y ∈ Mn×n(R).
Zadanie 4. Wykaż podobieństwo i znajdź macierz przejścia dla
A =
2 0 0 1 1 1
−1 0 1
, B =
1 1 1
−1 2 0 1 −1 1
Zadanie 5. Niech λ będzie wartością własną endomorfizmu f : V → V , dim V < ∞. Udowod- nij, że istnieje m 1 takie, że
V = ker(f − λ · idV)m⊕ im(f − λ · idV)m,
przy czym, jeśli µ 6= λ, to dla każdego k 1 mamy ker(f − µ · idV)k ⊂ im(f − λ · idV)m. Zadanie 6. Dla każdej wartości własnej λ endomorfizmu f : V → V skończenie wymiarowej
przestrzeni liniowej V nad C istnieje mλ 1 takie, że V =M
λ
ker(f − λ · idV)mλ,
gdzie sumowanie odbywa się po wartościach własnych endomorfizmu f .
Zadanie 7. Podaj dwie istotnie różne1 bazy Jordana endomorfizmu f : R2 → R2, f (x1, x2) = (x1, x1+ x2).
Zadanie 8. Niech f ∈ End(R3) będzie zadane wzorem
f (x1, x2, x3) = (2x1− x3, 3x1− x3, 2x1− x3).
(a) Znajdź bazę, w której endomorfizm f jest w postaci Jordana.
(b) Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste t, dla których istnieje baza Jordana zawierająca wektor (2, 4, t).
1Bazy A = {α1, α2} i B = {β1, β2} uznamy za istotnie różne, jeśli (β1, β2) 6= (uα1, uα2) i (β1, β2) 6= (uα2, uα1) dla każdego u ∈ C.
Zadanie 9. Niech f ∈ End(C3), f (x, y, z) = (ix + iy, iy, y + iz).
(a) Znajdź bazę Jordana endomorfizmu f .
(b) Wyznacz wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu f . Zadanie 10. Niech
A =
2 1 0 0 0 2 0 0
0 2 0
0 0 0 1
Znajdź wielomian stopnia 3 taki, że w(A) = 0.
Zadanie 11. Niech
A =
7 −2 0 0 8 −1 0 0
−2 1 2 1
−2 1 1 4
Czy istnieje wielomian w ∈ C[x] stopnia niższego niż 4 taki, że w(A) = 0?
Zadanie 12. Niech A ∈ M5×5(C). Udowodnij, że jeśli A9 = 0, to A5 = 0.
2
