7.3.2019, kl 1b
Funkcja kwadratowa - powtórzenie Zadanie 1. Dla jakich wartości parametru m ∈ R
(a) pierwiastki równania x2 − mx − 12m2 = 0 leżą pomiędzy pierwiastkami równania x2− 3mx + 2m2 = 0;
(b) nierówność (2m − 3)x2+ (6 − m)x + (m − 9)/7 > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ∈ R?
(c) równanie x2+ (m − 2)x − m = 0 ma dwa pierwiastki leżące poza przedziałem [1, 2]?
(d) równanie (m − 1)x2+ (m + 1)x + m − 1 = 0 ma dwa pierwiastki należące do (−2, 4)?
(e) równanie mx2 + (2m − 1)|x| + 2 − 3m = 0 ma cztery różne rozwiązania?
(f) równanie (m − 2)x2 − (m − 4)x − 2 = 0 ma dwa pierwiastki spełniające warunek
|x1 − x2| = 3?
Zadanie 2. Pierwiastkami trójmianu f (x) = x2+ px + q są x1, x2, natomiast X1, X2 są pierwiastkami trójmianu g(x) = x2+ P x + Q. Wyraź R(f, g) = (x1− X1)(x1− X2)(x2− X1)(x2− X2) za pomocą p, q, P, Q.
Zadanie 3. Wiadomo, że pierwiastki równania x2 − 5x + a są o jeden mniejsze od odpowiednich pierwiastków równania x2− 7x + 3a − 6 = 0. Oblicz a i pierwiastki obu równań.
Zadanie 4. Niech a, b oznaczają pierwiastki równania x2− 7x − 7 = 0. Nie rozwiązując równania ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby b−1a i a−1b .
Kącik olimpijski.
Zadanie 1. Wykazać równość 2
x2− 1+ 4
x2− 4+ 6
x2− 9+ . . . + 20 x2− 100 =
11 1
(x − 1)(x + 10) + 1
(x − 2)(x + 9) + . . . + 1
(x − 10)(x + 1)
!
Zadanie 2. Nauczyciel napisał na tablicy trójmian x2 + 10x + 20, po czym jego uczniowie kolejno zwiększali lub zmniejszali o 1 współczynnik przy x lub wyraz wolny. (Wolno zmienić tylko jeden współczynnik. ) W rezultacie otrzymano trójmian x2+ 20x + 10. Czy prawdą jest, że w pewnym momencie napisany był trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby całkowite?
Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność
|a(a − 1)(a − 2) · · · (a − n)| hain!
2n, gdzie hai ∈ [0,12] jest odległością a do najbliższej liczby całkowitej.
