25.2.2019, kl 1b
Zestaw przygotowawczy do sprawdzianu nr 5
Zadanie 1. Funkcja f : R2 → R2 jest zadana wzorem
f (x, y) = (x|x| + 1, x − y 1 + x2).
Zbadaj, czy f jest różnowartościowa i czy jest „na”.
Zadanie 2. Dla danej liczby a ∈ R definiujemy funkcję f : R → R wzorem f (x) = x + |2x − 3| − 2|x| + sgn(x) · (a|x| + 4).
(a) Przyjmij a = 2. Sporządź wykres funkcji f o określ jej przedziały monotoniczności.
(b) Dla jakich wartości a funkcja f jest ograniczona? Jakie są wówczas jej wartości najmniejsze i największe?
Zadanie 3. Rozstrzygnij, czy istnieje f : N → N taka, że dla każdego n ∈ N f (f (n)) = f (n) + 1
i liczba 1 jest wartością funkcji f .
Zadanie 4. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji
y = x2+ x + 1
x2+ 2x + 1, x ∈ R, x 6= −1.
Znajdź wartość najmniejszą i największą.
Zadanie 5. Znajdź wszystkie przekształcenia wzajemnie jednoznaczne f : N → N spełniające waru- nek
∃k∈N∀nkf (n) ¬ n.
Zadanie 6. Niech f : R → R, f (x) = |x| − 2 i n ∈ N. Ile elementów ma przeciwobraz zbioru {0}
względem funkcji fn= f ◦ f ◦ . . . ◦ f (n razy)?
Zadanie 7. Niech a 6= 0. Udowodnij, że jeśli funkcja f : R → R spełnia dla każdej liczby rzeczywistej warunek f (x + a) = 3f (x)−1f (x) , to jest okresowa.
Zadanie 8. Rozstrzygnij, czy funkcja f : R → R, spełniająca dla każdej liczby rzeczywistej x nierów- ność f (x2) − (f (x))2 4 musi być różnowartościowa.
Zadanie 9. Znajdź wszystkie funkcje f : R → R spełniające dla wszystkich liczb rzeczywistych x równanie f (x − |x|) + f (x + |x|) = x.
Zadanie 10. Funkcja f : R → R dana jest wzorem
f (x) = x · bxc.
(a) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f .
(b) Wyznacz zbiór wartości funkcji f . Zadanie 11. Funkcja f : R2 → R2 dana jest wzorem
f (x, y) = (x + y, sgn(x) · |x − y|).
Dla każdego punktu (a, b) ∈ R2 wyznacz liczbę elementów przeciwobrazu←−
f ({(a, b)}).
Zadanie 12. Niech a < b. Pokaż, że każda funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest ograniczona.
Zadanie 13. Znajdź wszystkie funkcje f : R → R takie, że dla każdego x ∈ R \ {1, 5} zachodzi
f ( x + 3
2x − 2) = 3x + 1 x − 5 .
2
