5.3.2019, kl 1b
Funkcja kwadratowa, część 2
Zadanie 1. (a) Wyznacz miejsce geometryczne punktów (x, y) równoodległych od prostej y = −1 i punktu (0, 1).
(b) Wywnioskuj, że dla każdej paraboli istnieje punkt O i prosta k o własności, że każdy punkt paraboli leży w takiej samej odległości od punktu O i prostej k. Punkt O nazywa się ogniskiem, a prostą k—kierownicą paraboli.
Zadanie 2. Znajdź miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do danej prostej y = ax, których oba końce leżą na paraboli y = x2.
Zadanie 3. Dla jakich wartości parametru a ∈ R:
(a) równanie (a + 1)x2− (2a − 3)x + a = 0 nie ma pierwiastków (rzeczywistych)?
(b) parabola y = 2x2− x − a i prosta y = 3x − 1 mają dokładnie jeden punkt wspólny?
(c) parabole y = x2+ ax − 3 i y = 2x2− a mają dwa punkty wspólne?
Zadanie 4. Wykaż, że zbiór punktów (x, y) spełniających równanie 3(x − y)2 = −1 + x + y jest parabolą.
Zadanie 5. Czy istnieje trójmian kwadratowy o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkami są liczby √
2 i √12?
Zadanie 6. Dla jakich k suma kwadratów pierwiastków trójmianu x2+(k−3)x+k−5 jest najmniejsza?
Zadanie 7. Liczby α, β są pierwiastkami trójmianu x2+ax+bc, liczby β, γ są pierwiastkami trójmianu x2+ bx + ca oraz ac 6= bc. Wykaż, że liczby α i γ są pierwiastkami trójmianu x2+ cx + ab.
Zadanie 8. Wyznacz liczbę rozwiązań równania |x2 + x − 6| + |x2 − x − 6| = a w zależności od parametru a ∈ R.
Zadanie 9. Pierwiastki trójmianu x2 + px + q + 1 są liczbami naturalnymi. Pokaż, że liczba p2+ q2 jest liczbą całkowitą dodatnią.
Zadanie 10. Niech f (x) = x2 − 2. Ile rozwiązań ma równanie f (f (f (x))) = x? Odpowiedź proszę starannie uzasadnić.
Zadanie 11. Niech f (x) = ax2 + bx + c. Jedna z liczb f (a1), f (c) jest dodatnia, a druga ujemna.
Uzasadnij, że jeden z pierwiastków trójmianu f jest dodatni, a drugi ujemny.
Zadanie 12. Pierwszy uczeń rozwiązał 60 równań kwadratowych w czasie o 3 godziny krótszym niż drugi. Ile czasu potrzebuje drugi na rozwiązanie 90 równań, jeżeli razem rozwiązują w ciągu godziny 30 równań. (Zakładamy, że uczeń potrzebuje tyle samo czasu na rozwiązanie każdego równania.)
