12.11.2019, kl 2b Liczby całkowite I
Definicja (Liczba pierwsza, złożona). Liczbę naturalną p nazywamy liczbą pierwszą, jeśli p 6=
1 oraz spełniona jest implikacja: jeśli p dzieli iloczyn a · b liczb naturalnych a, b, to p dzieli przynajmniej jedną z liczb a, b. Liczbę n > 1, n ∈ N, która nie jest pierwsza, nazywamy liczbą złożoną.
Definicja (Dzielenie z resztą). Dla danych m, n ∈ N istnieją q ( iloraz) oraz 0 ¬ r < n ( reszta) takie, że
m = qn + r.
Zadanie 1. Uzasadnij, że liczba p ∈ N jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy p 6= 1 i zachodzi implikacja a|p =⇒ a = p lub a = 1.
Twierdzenie. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Twierdzenie (Podstawowe twierdzenie arytmetyki). Dowolną liczbę naturalną n > 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Wniosek. Dowolną liczbę n ∈ Z, n 6= 0, ±1 możemy jednoznacznie zapisać w postaci n = · pα11 · pα22 · . . . pαkk
gdzie = ±1, p1 < p2 < . . . < pk są liczbami pierwszymi oraz α1, . . . , αk∈ N.
Zadanie 2. Znajdź wszystkie liczby całkowite takie, że (a) n + 1|n2+ 1,
(b) 3n + 4|7n + 1, (c) n + 10|n3+ 10,
(d) n2− n + 1|n3+ n + 1.
Zadanie 3. Udowodnij, że dla dowolnego n ∈ N liczba n(n + 1)(2n + 1) jest podzielna przez 6.
Zadanie 4. Liczby a, b, c, d są całkowite. Wykaż, że liczba
(a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d) jest podzielna przez 12.
Zadanie 5. Udowodnij, że 8640|n9− 6n7+ 9n5− 4n3. Zadanie 6. Udowodnij, że dla kazdej liczby n ∈ N
(a) 225|16n− 15n − 1, (b) 72|3n+ 63,
(c) 19|52n+1· 2n+2+ 3n+2· 22n+1, (d) (n − 1)2|nn−1− 1.
Zadanie 7. Liczby a, b są całkowite oraz 21|a2+ b2. Udowodnij, że 441|a2+ b2. Zadanie 8. Niech a, b ∈ N i a + b|a2+ ab + b2. Wykaż, że (a + b)2|a4+ b4.
Zadanie 9. Niech a, b, c ∈ Z i n ∈ N, n > 3. Udowodnij, że istnieje liczba całkowita k taka, że żadna z liczb k + a, k + b, k + c nie jest podzielna przez n.
Zadanie 10. Znajdź wszystkie liczby n ∈ N o następującej własności: n nie jest iloczynem liczb naturalnych a, b takich, że a 6= 7 i b 6= 7.
Zadanie 11. Udowodnij, że nie istnieje wielomian w ∈ Z[x] taki, że w(7) = 5 i w(15) = 9.
Zadanie 12. Niech n ∈ N, n 5. Udowodnij, że n jest liczbą złożoną wtedy i tylko wtedy, gdy n dzieli (n − 1)!.
Zadanie 13. Udowodnij, że liczby postaci 2 · 222n + 1 i 3 · 222n + 1 są złożone dla n ∈ N.
Zadanie 14. Niech a, b, c, d ∈ Z, n ∈ N i załóżmy, że liczby a + b + c + d oraz a2+ b2+ c2+ d2 są podzielne przez n. Udowodnij, że a4+ b4+ c4+ d4+ 4abcd też jest podzielna przez n.
Zadanie 15. Dane są liczby naturalne a1, a2, . . . , ak. Udowodnij, że a1!a2! . . . ak!|(a1+ a2+ . . . + ak)!.
Zadanie 16. Niech n ∈ N. Wskaż n kolejnych liczb złożonych.
Zadanie 17. Udowodnij, że dowolna liczba pierwsza większa od 3 jest postaci 6k ± 1.
Zadanie 18. Udowodnij, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.
Zadanie 19. Niech a, b ∈ N i załóżmy, że a|b2, b2|a3, a3|b4, b4|a5, itd. Udowodnij, że a = b.
Zadanie 20. Udowodnij, że jeśli p 5 i 2p + 1 są liczbami pierwszymi, to 4p + 1 jest liczbą złożoną.
Zadanie 21. Znajdź wszystkie liczby n ∈ N takie, że n4+ 4, (a) n4+ 4n jest pierwsza.
Zadanie 22. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a takich, że dla do- wolnej liczby naturalnej n liczba n4+ a jest złożona.
Zadanie 23. Niec n ∈ N. Udowodnij, że liczba 33n+ 1 jest iloczynem co najmniej 2n + 1 licz pierwszych (które nie muszą być różne).
Zadanie 24. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 liczba 2n− 1 nie jest podzielna przez n.
Zadanie 25. Udowodnij, że 4n|(2n − 1)2n+1+ (2n + 1)2n−1.
Zadanie 26. Ze zbioru {1, 2, . . . , 2000} wybrano podzbiór S złożony z 1001 liczb. Udowodnij, że dla pewnych a, b ∈ S, a 6= b liczba a dzieli b.
Zadanie 27. Niech n ∈ N. Udowodnij, że liczba 22n + 22n−1 + 1 jest iloczynem co najmniej n różnych liczb pierwszych.
2
