WdM 2.12.2019

WdM 2.12.2019A1

Imię i nazwisko: ...

Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uza- sadniać! Powodzenia!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 SUMA

Zadanie 1. Które z poniższych zdań są zawsze prawdziwe? (Proszę wpisać odpowiedź: tak/nie. Otrzy- masz 3 punkty za komplet poprawnych odpowiedzi i 0 punktów, jeśli na dwa z pytań podasz błędną odpowiedź. Otrzymasz 1¹₂ punktu, jeśli zaznaczysz dwie poprawne od- powiedzi, a jedno z pytań pozostawisz bez odpowiedzi i 1 punkt, jeśli zaznaczysz dwie poprawne odpowiedzi, a jedną błędną.)

(a) (A ∪ B) \ (C ∪ D) = (A \ C) ∪ (B \ D), (b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C),

(c) Jeśli P (A⁰∩ B) + P (A ∩ B⁰) = 1 − P (A⁰ ∩ B⁰), to P (A ∩ B) = 0.

Zadanie 2. Ciąg a_nokreślony jest równościami: a₁ = 1, a₂ = 3, a_n+1 = a_n+ 2a_n−1+ 2 dla n = 2, 3, . . ..

(a) Wyznacz a3, a₄, a₅, a₆.

(b) Podaj jawny wzór na an i go uzasadnij.

Zadanie 3. * Mamy dwa patyki: jeden długości 1, drugi długości 3. Dłuższy patyk łamiemy w losowym miejscu, zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że z trzech powstałych patyków da się utworzyć trójkąt?

Zadanie 4. Znajdź największą liczbę m i najmniejszą M o własności: dla każdych zdarzeń A, B takich, że P (A) = ³₄, P (B) = ³₈ zachodzą nierówności.

m ¬ P (A ∩ B) ¬ M.

Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.

Zadanie 5. Mamy 21 różnych kostek domina. (Na kostkach domina 2 × 1 napisane są dwie, nieko- niecznie różne, liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}.) Losujemy dwie z nich. Jakie jest praw- dopodobieństwo, że uda się je połączyć. (Kostki domina daje się połączyć, jeśli mają napisaną wspólną liczbę. Na przykład, daje się połączyć kostki [3, 6] i [2, 6] bokiem na którym napisana jest liczba 6.)

Zadanie 6. Z talii 52 kart losujemy 7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowania układu 3 − 3 − 1?¹

Zadanie 7. * Ile wynosi współczynnik przy x⁻¹ w rozwinięciu (√

x + ²_x)¹⁰ ?

Zadanie 8. Ile jest dwunasto-cyfrowych liczb całkowitych dodatnich, dla których suma cyfr jest równa 10? Uwaga, liczba nie może zaczynać się na zero.

Zadanie 9. * Ze zbioru {1, 2, . . . , 30} losujemy bez zwracania trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wszystkie wylosowane liczby będą nieparzyste lub przynajmniej jedna z wyloso- wanych liczb będzie większa od 20.

1Trzy karty jednej wysokości, trzy karty drugiej wysokości i jedna karta trzeciej wysokości, np:

K♥, K♦, K♠, 10♣10♠, 10♣D♠

WdM 2.12.2019 B

Imię i nazwisko: ... ...

Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uza- sadniać! Powodzenia!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 SUMA

Zadanie 1. Które z poniższych zdań są zawsze prawdziwe? (Proszę wpisać odpowiedź: tak/nie. Otrzy- masz 3 punkty za komplet poprawnych odpowiedzi i 0 punktów, jeśli na dwa z pytań podasz błędną odpowiedź. Otrzymasz 1¹₂ punktu, jeśli zaznaczysz dwie poprawne od- powiedzi, a jedno z pytań pozostawisz bez odpowiedzi i 1 punkt, jeśli zaznaczysz dwie poprawne odpowiedzi, a jedną błędną.)

(a) (A ∩ B) \ (C ∩ D) = (A \ C) ∩ (B \ D), (b) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C,

(c) Jeśli P (A⁰∪ B) + P (A ∪ B⁰) = 2 − P (A ∪ B), to P (A ∩ B) = 0.

Zadanie 2. Ciąg a_n określony jest równościami: a₁ = 3, a₂ = 5, a_n+1= a_n+ 2a_n−1− 2 dla n = 2, 3, . . ..

(a) Wyznacz a3, a₄, a₅, a₆.

(b) Podaj jawny wzór na an i go uzasadnij.

Zadanie 3. * Mamy dwa patyki: jeden długości 2, drugi długości 5. Dłuższy patyk łamiemy w losowym miejscu, zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że z trzech powstałych patyków da się utworzyć trójkąt?

Zadanie 4. Znajdź największą liczbę m i najmniejszą M o własności: dla każdych zdarzeń A, B takich, że P (A) = ³₄, P (B) = ³₈ zachodzą nierówności.

m ¬ P (A ∪ B) ¬ M.

Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.

Zadanie 5. Mamy 28 różnych kostek domina. (Na kostkach domina 2 × 1 napisane są dwie, nie- koniecznie różne, liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.) Losujemy dwie z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uda się je połączyć. (Kostki domina daje się połączyć, jeśli mają napisaną wspólną liczbę. Na przykład, daje się połączyć kostki [3, 6] i [2, 6] bokiem na którym napisana jest liczba 6.)

Zadanie 6. Z talii 52 kart losujemy 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest trójka. ²

Zadanie 7. * Ile wynosi współczynnik przy x⁰ w rozwinięciu (x + ^√2_x)⁹ ?

Zadanie 8. Ile jest jedenasto-cyfrowych liczb całkowitych dodatnich, dla których suma cyfr jest równa 10? Uwaga, liczba nie może zaczynać się na zero.

Zadanie 9. * Ze zbioru {1, 2, . . . , 30} losujemy bez zwracania trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wszystkie wylosowane liczby będą parzyste lub przynajmniej jedna z wylosowa- nych liczb będzie mniejsz lub równa 10.

2Trójka kart tej samej wysokości i pozostała dwójka różnej wysokości.