Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki:
R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań 2006.
Spis treści
0 Alfabet grecki 2
1 Rachunek zdań 2
1.1 Podstawowe definicje . . . 2
1.2 Wybrane tautologie rachunku zdań . . . 3
1.3 Zadania . . . 4
2 Rachunek predykatów 6 2.1 Podstawowe definicje . . . 6
2.2 Wybrane tautologie rachunku predykatów . . . 7
2.3 Zadania . . . 8
3 Teoria mnogości 10 3.1 Teoria . . . 10
3.1.1 Podstawowe definicje i fakty . . . 10
3.1.2 Działania na zbiorach . . . 11
3.2 Zadania . . . 13
4 Relacje 14 4.1 Teoria . . . 14
4.1.1 Podstawowe definicje . . . 14
4.1.2 Relacje binarne i ich własności . . . 14
4.1.3 Relacje równoważności . . . 15
4.2 Zadania . . . 16
5 Funkcje 18 5.1 Teoria . . . 18
5.1.1 Podstawowe definicje . . . 18
5.1.2 Operacje na funkcjach . . . 18
5.1.3 Obrazy i przeciwobrazy . . . 19
5.2 Zadania . . . 20
6 Relacje porządkujące 22 6.1 Częściowy porządek . . . 22
6.1.1 “Elementy wyróżnione” . . . 22
6.2 Dobry porządek . . . 23
6.3 Zadania . . . 25
7 Teoria mocy 27 7.1 Teoria w skrócie . . . 27
7.2 Zadania . . . 27
7.3 Wybrane tautologie rachunku zdań . . . 28
7.4 (kpn) i (apn) . . . 28
0 Alfabet grecki
A, α alfa H, η eta N, ν ni T, τ tau
B, β beta Θ, θ, ϑ theta Ξ, ξ ksi Υ, υ ypsilon Γ, γ gamma I, ι jota O, o omikron Φ, φ, ϕ phi [fi]
∆, δ delta K, κ kappa Π, π pi X, χ chi
E, ε epsilon Λ, λ lambda P, ρ, % rho Ψ, ψ psi
Z, ζ dzeta M, µ mi Σ, σ sigma Ω, ω omega
1 Rachunek zdań
1.1 Podstawowe definicje
1. Zdanie w sensie logicznymto wyrażenie oznajmujące, które jest na tyle jednoznaczne, by móc określić czy jest ono prawdziwe lub fałszywe.
2. Wartości logiczne: prawda (oznaczamy symbolem 1) i fałsz (oznaczamy symbolem 0).
3. Język logiki: składnikami języka logiki są zdaniowe symbole elementarne (oznaczane przez p, q, r, p1, p2, . . . itd., tzw. zmienne zdaniowe), spójniki dwuargumentowe: koniunkcji ∧, alternatywy ∨, implikacji →, równoważności ↔ oraz spójnik jednoargumentowy: negacji ¬ zwane spójnikami logicznymi i nawiasy (, ), [, ].
4. Formuła języka rachunku zdań:
Definicja 1.1. (i) Każda zmienna zdaniowa jest formułą języka rachunku zdań.
(ii) Jeśli ϕ, ψ są formułami języka rachunku zdań, to napisy ¬(ϕ), (ϕ) ∧ (ψ), (ϕ) ∨ (ψ), (ϕ) → (ψ), (ϕ) ↔ (ψ) są formułami języka rachunku zdań.
(iii) nie ma innych formuł języka rachunku zdań poza zmiennymi zdaniowymi i takimi formułami, które powstają dzięki zastosowaniu reguły (ii).
5. Schemat zdania wyrażony w języku rachunku zdańto formuła powstająca ze zdania przez konsekwentne zastąpienie zdań prostych zmiennymi zdaniowymi, a spójników międzyzdaniowych odpowiednimi spójnikami logicznymi.
6. Tautologia rachunku zdańlub prawo logiczne rachunku zdań to formuła języka rachunku zdań, która przy dowolnej interpretacji zmiennych zdaniowych zmienia się w zdanie prawdziwe.
7. Spójniki logiczne:
Tabelki, które określają sens poszczególnych spójników logicznych:
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
p ¬p
1 0
0 1
p q p/q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
8. Symbolika beznawiasowa/prefiksowa/Łukasiewicza
N C K A E
¬ → ∧ ∨ ↔
9. Warunek konieczny i dostateczny
Definicja 1.2. Niech prawdziwe będzie zdanie warunkowe „jeśli p, to q”. Wówczas to o czym mówi zdanie pjest warunkiem wystarczającym dla tego, o czym mówi zdanie q, a to o czym, mówi q , jest warunkiem koniecznym dla tego, o czym mówi p. Mówi się wtedy skrótowo, że p jest warunkiem dostatecznym dla q, a q warunkiem koniecznym dla p.
1.2 Wybrane tautologie rachunku zdań
1. p → p prawo tożsamości
2. p ∨ ¬p prawo wyłączonego środka
3. ¬(p ∧ ¬p) prawo sprzeczności
4. ¬¬p ↔ p prawo podwójnej negacji
5. (p → q) ↔ (¬q → ¬p) prawo transpozycji
6. ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) pierwsze prawo De Morgana 7. ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) drugie prawo De Morgana
8. (p → q) ↔ (¬p ∨ q) definicja implikacji za pomocą alternatywy i negacji 9. (p → q) ↔ ¬(p ∧ ¬q) definicja implikacji za pomocą koniunkcji i negacji 10. ¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q) prawo negowania implikacji
11. (p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)) prawo przekształcenia równoważności na implikacje 12. (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) prawo przemienności koninkcji
13. (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) prawo przemienności alternatywy 14. (p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r) prawo łączności koniunkcji 15. (p ∨ (q ∨ r)) ↔ ((p ∨ q) ∨ r) prawo łączności alternatywy
16. p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy 17. p ∨(q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji 18. (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) prawo sylogizmu hipotetycznego
19. (p ↔ q) ∧ (q ↔ r) → (p ↔ r) sylogizm hipotetyczny koniunkcyjny dla równoważności 20. ((p ∧ q) → r) → (p → (q → r)) prawo eksportacji
21. (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r) prawo importacji
1.3 Zadania
Zadanie 1.1. Dla podanych zdań utwórz schemat w języku rachunku zdań.
(a) Jeśli ktoś kradnie drewno w lesie lub poluje na zwierzynę łowną w okresie ochronnym, to podlega karze.
(b) Przyjąłeś fałszywe założenia lub popełniłeś błąd w rozumowaniu.
(c) Rozumiesz treść mojej wypowiedzi wtedy i tylko wtedy, gdy potrafisz wyrazić ją własnymi słowami.
(d) Jeżeli nieprawda, że twierdzenia matematyki mogą okazać się fałszywe, to nieprawda, że twierdzenia logiki mogą okazać się fałszywe.
(e) Nieprawda, że jeżeli spory filozoficzne są nierozstrzygalne, a uczeni biorą w nich udział, to filozofia hamuje postęp w nauce.
(f) Jeżeli dwa trójkąty mają parami równe boki lub parami równe kąty, to są one przystające.
(g) Jeżeli nie jest prawdą, że albo prosta l jest równoległa do prostej m albo prosta p nie jest równoległa do prostej m, to albo prosta l nie jest równoległa do prostej m, albo prosta p jest równoległa do prostej m.
(h) (2 interpretacje) Będziesz matematykiem lub będziesz informatykiem i założysz firmę komputerową.
(i) (5 interpretacji) Będziesz matematykiem lub będziesz informatykiem i założysz firmę komputerową wtedy i tylko wtedy, gdy nie poświęcisz się pracy nauczycielskiej.
Zadanie 1.2. Dla podanych zdań utwórz schemat w języku rachunku zdań.
(a) Jeśli czytasz swobodnie po angielsku, to o ile nie potrafisz mówić w tym języku, to znasz angielski biernie.
(b) Polubisz logikę i uznasz ją za łatwą, jeśli nie masz złych wspomnień z lekcji matematyki.
(c) Nie posiadasz gruntownej wiedzy o języku, jeśli słabo znasz gramatykę i nigdy nie uczyłeś się logiki.
Zadanie 1.3. Które z poniższych zdań są zdaniami w sensie logicznym?
(a) Paryż jest stolicą Francji.
(b) Wszyscy ludzie są wzrostu powyżej 1,6 m.
(c) Jutro będzie padał śnieg.
(d) Studiowanie matematyki zajmuje 5 lat.
(e) W minioną sobotę Polska zdobyła brązowy medal Mistrzostw Europy.
Zadanie 1.4. Zdefiniować:
(a) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji, (b) alternatywę za pomocą implikacji i negacji,
(c) negację, koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność za pomocą dysjunkcji.
Zadanie 1.5. Zapisz podane zdania w symbolice prefiksowej (Łukasiewicza):
(a) p →(¬q → r),
(b) (p → r) → [(q → r) → (p → r)], (c) p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), (d) ¬(p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q),
(e) p →[(¬q ∧ r) → (p ∨ q)].
Zadanie 1.6. Zapisz podane zdania w symbolice infiksowej:
(a) CCKpqrCpCqr, (b) CApqCKN rpKrq,
(c) CKpCqrCKN pqr, (d) CCpAqrCpKqr,
(e) AKCpqCprCpKqr,
(f) CAKpqrCpCN qN r.
Zadanie 1.7. Sprawdź metodą zero-jedynkową, czy podane formuły są tautologiami.
(a) p ∨ ¬p (b) p → ¬q
(c) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) (d) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
(e) p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(f) [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∨ r) ∧ (q ∨ s)]
(g) [(p ∧ r) → (q ∨ s)] → [(p → q) ∧ (r → s)]
(h) [(p ∨ q) → (q ∨ r)] ↔ [¬p → (¬q ∧ r)]
Zadanie 1.8. Sprawdź metodą skróconą, czy podane formuły są tautologiami.
(a) [(p → q) ∧ (s → ¬q)] → (s → ¬p) (b) [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] → [p ∧ (q ∨ (r ∧ s))]
(c) [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]
(d) (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) (e) (p ∧ q → r) → (p ∧ ¬r → ¬q)
(f) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) (g) ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p
(h) (p ∧ ¬q) → (p → (¬q → ¬p)) (i) ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q
Zadanie 1.9. Czy prawdziwe są następujące zdania:
(a) Jeżeli z faktu, że wszystkie boki trójkąta ABC są równe wynika, że wszystkie kąty trójkąta ABC są równe, i trójkąt ABC ma nierówne kąty, to ma on również nierówne boki.
(b) Jeśli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie kąty równe, to z faktu, iż A jest czworokątem wynika, że A ma wszystkie boki równe.
(c) Jeśli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 7 wynika, że a dzieli się przez 3.
(d) Jeżeli Jan nie zna logiki, to jeśli Jan zna logikę, to urodził się w IV wieku p.n.e.
(e) Jan zna logikę wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawdą jest, że nieprawdą jest, że Jan zna logikę.
Zadanie 1.10. Wskaż warunek konieczny i dostateczny.
(a) Jeżeli liczba kończy się na cyfrę 2 lub 4, to liczba jest parzysta.
(b) Każdy romb jest czworokątem.
(c) W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. (tw. Pitagorasa)
(d) Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b, c takie, że a2+ b2 = c2, to istnieje trójkąt o bokach długości a, b, c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty.
2 Rachunek predykatów
2.1 Podstawowe definicje
1. Nazwa indywidualnato taka nazwa, która może występować jako podmiot w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym, tj. “P jest O” (P — podmiot, O — orzecznik).
2. Nazwa generalnato taka nazwa, która może występować jako orzecznik w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym.
3. Predykat jednoargumentowy to wyrażenie, które z jedną nazwą indywidualną tworzy zdanie, np. “jest zielony”.
4. Predykat dwuargumentowyto wyrażenie, które po uzupełnieniu dwiema nazwami indywidualnymi tworzy zdanie, np. “jest bardziej zielony niż”.
5. Predykat n-argumentowyto wyrażenie, które po uzupełnieniu n nazwami indywidualnymi tworzy zdanie.
6. Symbol funkcyjnyto nazwa indywidualna, która jest zbudowana z nazw prostszych. Np. symbole funkcyjne jednoargumentowe: “ojciec...”, “starszy brat...”, sin, symbole funkcyjne dwuargumentowe: +, ·, itd.
7. Kwantyfikatoryto symbole zastępujące wyrażenia:
• “dla każdego...”, tzw. duży kwantyfikator, oznaczany ∀ (lub V),
• “istnieje...” lub “dla pewnego...”, tzw. mały kwantyfikator, oznaczany ∃ (lub W).
Definicja 2.1. Następujące symbole są znakami języka rachunku predykatów:
• a1, a2, a3, . . .— stałe indywiduowe
• x1, x2, x3, . . .— zmienne indywiduowe
• P11, P21, P31, . . .— predykaty jednoargumentowe
• P12, P22, P32, . . .— predykaty dwuargumentowe . . .
• P1n, P2n, P3n, . . .— predykaty n-argumentowe . . .
• F11, F21, F31, . . .— symbole funkcyjne jednoargumentowe
• F12, F22, F32, . . .— symbole funkcyjne dwuargumentowe . . .
• F1n, F2n, F3n, . . .— symbole funkcyjne n-argumentowe . . .
• ¬, ∧, ∨, →, ↔ — spójniki logiczne
• ∀, ∃ — kwantyfikatory
• ( ), [ ] — znaki pomocnicze, tj. nawiasy przecinek.
Definicja 2.2. (i) Każda zmienna indywiduowa i stała indywiduowa jest termem.
(ii) Jeśli α1, α2, . . . , αn są termami, to Fkn(α1, α2, . . . , αn) jest termem (dla dowolnych k, n).
(iii) Nie ma innych termów poza wymienionymi w punkcie (i) oraz takich, które mogą powstać według reguły (ii).
Definicja 2.3. Formułą zdaniową atomowąjest każde wyrażenie postaci Pkn(α1, α2, . . . , αn), gdzie α1, α2, . . . , αn są dowolnymi termami.
Definicja 2.4. (i) Każda formuła zdaniowa atomowa jest formułą zdaniową rachunku predykatów.
(ii) Jeśli φ, ψ są formułami zdaniowymi rachunku predykatów, to ¬(φ), (φ) ∧ (ψ), (φ) ∨ (ψ), (φ) → (ψ), (φ) ↔ (ψ), ∀ xi(φ) i ∃ xj(φ) są formułami zdaniowymi rachunku predykatów.
(iii) Nie ma innych formuł zdaniowych rachunku predykatów poza formułami atomowymi i takimi, które powstają dzięki zastosowaniu reguły (ii).
Definicja 2.5. Jeśli formuła ma postać ∀ xi(φ) lub ∃ xi(φ), to mówimy, że odpowiedni kwantyfikator wiąże zmienną xi.
Definicja 2.6. Wyrażenie φ w formule ∀ x(φ) oraz w ∃ y(φ) nazywamy zasięgiem odpowiedniego kwantyfikatora.
Definicja 2.7. Zmienna xi występująca w danym miejscu w formule zdaniowej jest w tym miejscu związana wtedy i tylko wtedy, gdy występuje w zasięgu kwantyfikatora, bezpośrednio po którym napisana jest zmienna xi
lub jest napisana bezpośrednio po jakimś kwantyfikatorze.
Zmienna występująca w danej formule jest związana w tej formule, gdy jest związana w każdym miejscu, w którym występuje w tej formule.
Jeśli zmienna występująca w danej formule nie jest związana w danej formule, nazywamy ją zmienną wolną.
Definicja 2.8. Zdaniem języka rachunku predykatów nazywamy formułę zdaniową nie zawierającą żadnych zmiennych wolnych.
Definicja 2.9. Tautologią rachunku predykatówalbo prawem rachunku predykatów jest formuła zdaniowa języka rachunku, prawdziwa przy dowolnym rozumieniu występujących w niej predykatów, symboli funkcyjnych, stałych indywiduowych i zmiennych.
2.2 Wybrane tautologie rachunku predykatów
1. ¬∀ x φ(x) ↔ ∃ x ¬φ(x) prawo De Morgana 2. ¬∃ x φ(x) ↔ ∀ x ¬φ(x) prawo De Morgana
3. ∀ x(φ(x) ∧ ψ(x)) ↔ ∀ x φ(x) ∧ ∀ x ψ(x) prawo rozdzielności dużego kwantyfikatora względem koniunkcji 4. ∃ x(φ(x) ∨ ψ(x)) ↔ ∃ x φ(x) ∨ ∃ x ψ(x) prawo rozdzielności małego kwantyfikatora względem alternatywy 5. ∀ x φ(x) ∨ ∀ x ψ(x) → ∀ x (φ(x) ∨ ψ(x)) prawo rozdzielności dużego kwantyfikatora względem alternatywy 6. ∃ x(φ(x) ∧ ψ(x)) → ∃ x φ(x) ∧ ∃ x ψ(x) prawo rozdzielności małego kwantyfikatora względem koniunkcji
7. ∀ x φ(x) → φ(x) dictum de omni
8. φ(x) → ∃ x φ(x) dictum de singulo
9. ∀ x φ(x) → ∃ x φ(x)
2.3 Zadania
Zadanie 2.1. W podanych wyrażeniach wskaż zasięg kwantyfikatorów:
(a) ∀ x R(x) → ∀ x ∃ y ((P (x) ∧ S(x, y)) ∨ ∃ z Q(z)) (b) ∀ x(R(x) → ∃ y (P (y) ∨ ∀ z S(y, z)))
(c) ∀ x ∀ y ∃ z(R(x, w, z) → S(x, w, y)) (d) ∀ x ∀ y ∃ z R(x, w, z) → S(x, w, y)
Zadanie 2.2. Czy następujące formuły są zdaniami języka rachunku predykatów:
(a) P11(x) ∨ ∃ x ∀ z P12(x, y) (b) ∀ x P11(x) → P21(x)
(c) ∀ x(P11(x) → P21(x))
(d) ∃ y ∀ x(P11(y) ↔ ∃ z (P12(z, y) ∨ ∀ w P22(w, y))) Zadanie 2.3. Napisz zaprzeczenia poniższych zdań
(a) ∀ x ¬P(x) (b) ∃ x(P (x) ∨ Q(x))
(c) ∀ x ∃ y(P (y) → ∀ z R(x, z))
(d) ∃ x(P (x) ∧ ∀ y (¬P (y) ∨ ¬Q(x, y))) (e) ∃ x ∀ y ¬R(x, y)
Zadanie 2.4. Zbuduj schematy poniższych zdań w rachunku predykatów.
(a) Istnieją krasnoludki.
(b) Wszystko jest piękne.
(c) Wszyscy matematycy są muzykalni.
(d) Tylko ludzie są filozofami.
(e) Ojciec Gawła jest astronomem.
(f) Niektórzy ludzie mają koty.
(g) Nic nie jest doskonałe.
(h) Niektórzy ludzie kochają wszystkich.
(i) Wszyscy ludzie się kochają.
(j) Nie wszystko jest złotem co się świeci.
(k) Ktoś zwiedził wszystkie kontynenty.
(l) Każdy człowiek ma ojca i matkę.
(m) Każdy student zdał pewien egzamin.
(n) Ktoś nie jest uczciwy.
(o) Wszyscy są uczciwi.
(p) Nie ma nikogo, kto byłby uczciwy.
(q) Nie wszyscy są uczciwi.
(r) Wszyscy są nieuczciwi
(s) Pewien mężczyzna jest ojcem.
(t) Niektórzy mężczyźni nie są ojcami.
(u) Wszyscy ojcowie są mężczyznami.
(v) Tylko ojcowie są mężczyznami.
(w) Wszystkie kobiety są matkami.
(x) Żadna kobieta nie jest mężczyzną.
(y) Tylko osoby nie będące matkami są ojcami.
(z) Wszyscy wykładający logikę są złośliwi i wymagający.
(a1) Nie ma niezłośliwych wykładowców logiki, którzy dbaliby o dobro studentów.
(b1) Żaden wykładowca logiki, który dba o dobro studentów, nie jest złośliwy.
(c1) Tylko wykładowcy logiki są złośliwi i wymagający.
(d1) Niektórzy wykładowcy logiki dbają o dobro studentów, mimo że są złośliwi lub wymagający.
(e1) Nikt, kto albo jest wymagający albo dba o dobro studentów, nie wykłada logiki.
(f1) Tylko wykładowcy logiki lub filozofii dbają o dobro studentów.
Zadanie 2.5. Napisz schematy następujących zdań:
(a) Istnieje co najmniej jedna mrówka.
(b) Istnieje co najwyżej jedna mrówka.
(c) Istnieje dokładnie jedna mrówka.
(d) Istnieją co najmniej dwie mrówki.
(e) Istnieją co najwyżej dwie mrówki.
(f) Istnieją dokładnie dwie mrówki.
(g) Istnieją dokładnie trzy mrówki.
Zadanie 2.6. Zakładając, że zmienne x, y ∈ R i korzystając z predykatów =, <, ≤, a także symboli funkcyjnych +, ·, zapisz następujące zdania:
(a) Funkcja f(x) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
(b) Funkcja f(x) ma co najwyżej jedno miejsce zerowe.
(c) Funkcja f(x) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
(d) Funkcja f(x) ma co najmniej dwa miejsca zerowe.
(e) Funkcja f(x) ma dokładnie dwa miejsca zerowe.
Zadanie 2.7. Stosując kwantyfikatory o ograniczonym zakresie, przy założeniach poczynionych w poprzednim zadaniu, mając dodatkowo do dyspozycji predykat n ∈ N (n jest liczbą naturalną), zapisz następujące zdania:
(a) Ciąg (an) jest rosnący.
(b) Ciąg (an) przyjmuje wartości dodatnie.
(c) Ciąg (an) jest od pewnego miejsca stały.
Zadanie domowe 2.8 (http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/kwantyfikatory.pdf, str. 4–9).
Zbuduj schematy poniższych zdań w rachunku predykatów:
(a) Żaden człowiek nie zniszczy bezzasadnie istoty, która ma w sobie wszystkie pierwiastki życia.
(b) Są ubrania stworzone przez dyktatorów mody, którzy nie są pozbawieni zmysłu użytkowości.
(c) Pewien człowiek ma przekonania, z którymi identyfikują się wszyscy ludzie.
(d) Pewni naukowcy maja poglądy, z którymi żaden człowiek się nie zgadza.
(e) Wszyscy naukowcy maja poglądy, z którymi wszyscy naukowcy się nie zgadzają.
(f) Pewien człowiek nie ma sąsiada.
(g) Pewna Europejka nie ma córki pośród Polek.
(h) Każda Polka jest córka jakiejś Europejki.
(i) Nie tylko ludzie są aniołami.
3 Teoria mnogości
3.1 Teoria
3.1.1 Podstawowe definicje i fakty
1. Zasada ekstensjonalności: Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy.
Symbolicznie możemy zapisać:
A= B ↔ ∀ x (x ∈ A ↔ x ∈ B).
2. Zbiory A i B są różne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obiekt x taki, że jest on elementem zbioru A, ale nie należy do zbioru B lub na odwrót. Symbolicznie:
A 6= B ↔ ∃ x [(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)].
3. Relacja inkluzji/zawierania się zbiorówoznaczamy symbolem ⊆. Definiujemy ją następująco:
A ⊆ B ↔ ∀ x(x ∈ A → x ∈ B).
Lemat 3.1. Relacja inkluzji ma następujące własności:
(i) zwrotność, tzn. A ⊆ A,
(ii) antysymetria, tzn. A ⊆ B ∧ B ⊆ A → A = B, (iii) przechodniość, tzn. A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C.
4. Inkluzja właściwaoznaczana (. Definiujemy ją następująco:
A ( B ↔ A ⊆ B ∧ A 6= B.
Lemat 3.2. Relacja inkluzji właściwej ma następujące własności:
(i) przeciwzwrotność, tzn. ¬(A ( A),
(ii) przeciwsymetria, tzn. A ( B → ¬(B ( A), (iii) przechodniość, tzn. A ( B ∧ B ( C → A ( C.
5. Zbiór pusty ∅definiujemy następująco:
∅:= {x : x = x ∧ x 6= x}.
UWAGA 1. Zauważmy, że dla każdego zbioru A, mamy:
∅ ⊆ A.
6. Zbiór potęgowy zbioru Ato rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru A. Oznaczamy symbolem P(A) lub 2A.
7. Parą uporządkowaną ha, binazywać będziemy zbiór {{a}, {a, b}}. Element a nazywamy pierwszą współ- rzędną, a element b drugą współrzędną pary ha, bi.
8. Dwie pary uporządkowane ha, bi i hc, di są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
9. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Iloczynem kartezjańskim albo produktem kartezjańskim zbiorów A i Bnazywamy zbiór
A × B:= {ha, bi : a ∈ A, b ∈ B}.
10. Jeśli zbiory A i B są skończone np. m i n-elementowe odpowiednio, to iloczyn A × B ma m · n elementów.
3.1.2 Działania na zbiorach Definicja 3.1.
1. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór A ∪ B spełniający następujący warunek:
x ∈ A ∪ B ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B, czyli A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
2. Przekrojem/iloczynem/częścią wspólną zbiorów A i B nazywamy zbiór A ∩ B spełniający warunek:
x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B, czyli A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
3. Różnicą zbiorów A i Bnazywamy zbiór A \ B spełniający warunek:
x ∈ A \ B ↔ x ∈ A ∧ x /∈ B, czyli A \ B := {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.
4. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór A ÷ B spełniający warunek:
x ∈ A ÷ B ↔(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B),
czyli A ÷ B := {x : (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}. Zatem A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
5. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, wtedy i tylko wtedy, gdy:
A ∩ B= ∅.
6. Dopełnieniem zbioru Aw zbiorze (względem zbioru) (uniwersum) U nazywamy zbiór A0 spełniający rów- ność:
A0= U \ A = {x ∈ U : x /∈ A}.
Lemat 3.3. Jeśli zbiory A i B są podzbiorami ustalonego zbioru U, to A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz A ÷ B są także zawarte w U, czyli zbiór potęgowy P(U) jest zamknięty ze względu na działania sumy ∪, przekroju ∩, różnicy \ oraz różnicy symetrycznej ÷.
Twierdzenie 3.1.
1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące własności:
A \(B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) oraz A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) zwane prawami De Morgana.
2. Jeśli U jest danym uniwersum oraz zbiory A i B są zawarte w U, to B \ A = B ∩ A0. 3. Dla dowolnych podzbiorów ustalonego uniwersum U zachodzą następujące równości:
(1) A ∪ B = B ∪ A, (1’) A ∩ B = B ∩ A,
(2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, (2’) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, (3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (3’) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(4) A ∪ ∅ = A, (4’) A ∩ U = A,
(5) A ∪ U = U, (5’) A ∩ ∅ = ∅,
(6) ∅0= U, (6’) U0= ∅,
(7) (A ∪ B)0= A0∩ B0, (7’) (A ∩ B)0= A0∪ B0. Prawa (7) i (7’) nazywamy prawami De Morgana.
4. Jeśli A0 = B, to B0= A, gdzie A, B są zawarte w pewnym uniwersum U.
5. Dodawanie i mnożenie zbiorów są działaniami idempotentnymi, tzn. dla dowolnego zbioru A zachodzi: A∪A = Aoraz A ∩ A = A. Spełnione są też następujące pochłaniania:
A ∪(A ∩ B) = A oraz A ∩ (A ∪ B) = A.
6. Mamy następujące inkluzje:
A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B oraz
A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B.
7. Dla dowolnych zbiorów A i B następujące warunki są równoważne:
(i) A ⊆ B, (ii) A ∪ B = B, (iii) A ∩ B = A.
3.2 Zadania
Zadanie 3.1. Obliczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz A ÷ B dla następujących zbiorów : (a) A= {{a, {b}}, c, {c}, {a, b}}, B = {{a, b}, c, {b}}
(b) A= [0, 1) ∪ {5} ⊂ R, B = (−∞, 0) ∪ [1, 5) ⊂ R (c) A= {x ∈ N : 2 | x}, B = {x ∈ N : 2 | (x + 1)}
(d) A= {x ∈ N : x < 3}, B = {x ∈ N : x ≥ 3}
(e) A= {x ∈ R : x < 2}, B = {x ∈ N : x < 2}
(f) A= {x ∈ R : x < 3}, B = {x ∈ R : x < 2}
(g) A= (−5, 2) ∪ {3} ⊂ R, B = {−3} ∪ [1, ∞) ⊂ R
Zadanie 3.2. Zbadaj, czy pomiędzy zbiorami A i B zachodzi w którąś ze stron relacja inkluzji:
(a) A= ∅, B = {a, b}
(b) A= {a}, B = {{a}}
(c) A= {x ∈ N : x3>3}, B = {x ∈ N : x3>7}
(d) A−zbiór kwadratów, B−zbiór równoległoboków Zadanie 3.3. Udowodnij następujące implikacje:
(a) A ⊆ B → A ∩ C ⊆ B ∩ C (b) A ⊆ B → A ∪ C ⊆ B ∪ C (c) A ⊆ B → C \ B ⊆ C \ A
Zadanie 3.4. Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności uzasadnij, że zachodzą następujące równości zbiorów:
(a) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C) (b) A \(B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)
(c) A \(B ∪ C) = (A \ B) \ C (d) (A \ B) ∩ C0= A ∩ (B ∪ C)0
(e) A ÷ B= (A ∪ B) \ (A ∩ B) (f) A ∩(B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C) (g) A ∩(B \ A) = ∅
Zadanie 3.5. Znajdź iloczyn kartezjański A × B oraz B × A następujących zbiorów:
(a) A= {a, b}, B = {a, c, d}
(b) A= {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}, B = {x ∈ R : 0 ≤ x < 2}
(c) A= {x ∈ R : 0 < x}, B = {x ∈ R : 0 < x}
(d) A= {x ∈ R : x < 1 ∧ 1 < x}, B = {x ∈ R : 0 < x2}
(e) A= {x ∈ R : 0 < x < 1 ∨ 2 < x ≤ 3}, B = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2 ∨ 3 < x ≤ 4}
Zadanie 3.6. Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności uzasadnij, że zachodzą następujące równości zbiorów:
(a) A ×(B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (b) A ×(B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (c) A ×(B \ C) = (A × B) \ (A × C) (d) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
(e) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
(f) (A × B) \ (C × D) = [(A \ C) × B] ∪ [A × (B \ D)]
4 Relacje
4.1 Teoria
4.1.1 Podstawowe definicje
Definicja 4.1. Niech n ≥ 2. Relacja n-członowa to dowolny zbiór, którego elementami są n-ki uporządkowane.
Relacja n-członowa R jest relacją w zbiorze X, gdy R ⊆ X × . . . × X
| {z }
n
.
Gdy n = 2, to relację nazywmy binarną, gdy n = 3, to nazywmy ją relacją ternarną.
4.1.2 Relacje binarne i ich własności Niech R będzie relacją binarną.
UWAGA 2. Zamiast pisać hx, yi ∈ R, piszemy:
xRy.
Definicja 4.2. Niech R ⊆ X × Y . Dziedziną lewostronną lub po prostu dziedziną relacji R nazywamy zbiór:
DR:= {x ∈ X : ∃ y (xRy)}, a dziedziną prawostronną lub przeciwdziedziną nazywamy zbiór:
DR∗ := {y ∈ Y : ∃ x (xRy)}.
Definicja 4.3 (Własności relacji binarnych w zbiorze X). Niech R ⊆ X × X. Mówimy, że R jest:
1. zwrotna, gdy ∀ x ∈ X (xRx),
2. przeciwzwrotna, gdy ∀ x ∈ X ¬(xRx),
3. niezwrotna, gdy ¬∀ x ∈ X (xRx) lub równoważnie ∃ x ∈ X ¬(xRx), 4. symetryczna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy → yRx),
5. przeciwsymetrycznalub asymetryczna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy → ¬yRx), 6. antysymetryczna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy ∧ yRx → x = y),
7. przechodnia, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ∀ z ∈ X (xRy ∧ yRz → xRz), 8. spójna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy ∨ yRx ∨ x = y),
9. diagonalna, gdy ∀ x ∈ X [xRx ∧ ∀ y ∈ X (y 6= x → ¬xRy ∧ ¬yRx)], 10. totalna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy).
Definicja 4.4 (Operacje na relacjach binarnych). Niech R, S ⊆ X × X.
1. Suma relacji R i S— R ∪ S jest określona następująco:
x(R ∪ S)y ↔ xRy ∨ xSy.
2. Przekrój relacji R i S— R ∩ S jest określony następująco:
x(R ∩ S)y ↔ xRy ∧ xSy.
3. Różnica relacji R i S — R \ S jest określona następująco:
x(R \ S)y ↔ xRy ∧ ¬xSy.
4. Różnica symsetryczna relacji R i S — R ÷ S jest określona następująco:
x(R ÷ S)y ↔ (xRy ∧ ¬xSy) ∨ (xSy ∧ ¬xRy).
5. Dopełnienie relacji R— R0 jest określone następująco:
x(R0)y ↔ ¬xRy.
6. Złożenielub iloczyn względny relacji R i S — R ◦ S, to relacja określona następująco:
x(R ◦ S)y ↔ ∃ z ∈ X (xRz ∧ zSy).
Definicja 4.5. Konwersemlub relacją odwrotną do relacji R ⊆ X × X jest relacja ˘Rokreślona wzorem:
x ˘Ry ↔ yRx
4.1.3 Relacje równoważności
Definicja 4.6. Niech R ⊆ X × X. R jest relacją równoważności, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Definicja 4.7. Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X i niech x ∈ X. Klasą abstrakcji lub klasą równoważnościelementu x względem relacji R jest zbiór zdefiniowany następująco:
[x]R:= {y ∈ X : xRy}.
Twierdzenie 4.1. Niech R będzie relacją równoważności w niepustym zbiorze X. Wtedy dla dowolnych elementów x, y ∈ X:
1. x ∈[x]R,
2. [x]R= [y]R wtedy i tylko wtedy, gdy xRy, 3. jeśli [x]R6= [y]R, to [x]R∩[y]R= ∅.
Twierdzenie 4.2(Zasada abstrakcji). Każda relacja równoważności R w niepustym zbiorze X ustala podział zbioru X na rozłączne i niepuste podzbiory (klasy abstrakcji) w taki sposób, że dwa elementy x, y zbioru X należą do tego samego podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy xRy.
UWAGA 3. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji równoważności R w zbiorze X oznacza się przez X/R.
4.2 Zadania
Zadanie 4.1. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę relacji R ⊆ N × N.
(a) xRy ↔ y= x + 1, (b) xRy ↔ y < x2,
(c) xRy ↔ y <3x.
Zadanie 4.2. Znaleźć R ◦ S, S ◦ R, R ◦ R, R ◦ S ◦ T , R ∪ S, R ∩ S, R \ S następujących relacji określonych w {a, b, c, d} × {a, b, c, d}:
R:= {(a, b), (b, a), (c, d), (d, a), (c, a)}, S:= {(a, c), (c, d), (d, d)},
T := {(a, a), (b, b), (d, c)}.
Narysować diagramy i macierze odpowiednich relacji.
Zadanie 4.3. Niech R ⊆ X2. Pokazać, że:
(a) jeśli R jest asymetryczna, to R jest przeciwzwrotna.
(b) jeśli R jest przeciwzwrotna i przechodnia, to R jest asymetryczna.
Zadanie domowe 4.4. Czy relacja diagonalna jest symetryczna? Czy jest przechodnia? Czy jest antysymetryczna?
Zadanie domowe 4.5. Scharakteryzuj własności następujących relacji, określonych w zbiorze {a, b, c, d}2. (a) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)},
(b) {(a, b), (b, a), (c, c)}, (c) {(a, b), (b, c), (c, a)}, (d) {(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}.
Narysuj diagramy i macierze tych relacji.
Zadanie 4.6. Złożeniem jakich relacji jest relacja (a) x(R ◦ S)y ↔ x jest teściem y,
(b) x(R ◦ S)y ↔ x jest szwagrem y (szwagier=mąż siostry).
Zadanie 4.7. Jakie własności mają relacje opisane na zbiorze ludzi:
(a) relacja bycia przeciwnej płci, (b) relacja bycia o rok starszym.
Zadanie 4.8. Wykazać, że relacja Rn przystawania modulo n, dla n ∈ N, określona w zbiorze Z wzorem:
a Rnb ↔ a ≡ b (mod n) ↔ n | a − b, dla dowolnych a, b ∈ Z
jest relacją równoważności. Wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji. Wypisać kilka elementów należących do klasy [−3]Rn, dla n = 5.
Zadanie 4.9. Zdefiniować relację równoważności odpowiadającą następującym podziałom zbioru A:
(a) A= {a, b, c, d, e}; podział B = {a, b, c}, C = {d, e}, (b) A= Z; podział B = N, C = {0}, D = {x ∈ Z : −x ∈ B},
(c) A= C (rozumiany jako zbiór punktów płaszczyzny R2); podział dany jest przez okręgi o środku w punkcie (0, 0) oraz punkt (0, 0).
Zadanie 4.10. Sprawdzić, że relacja R ⊂ R2 jest relacją równoważności, gdzie (a) xRy ↔(x − y) ∈ Q i znaleźć [√
2]R oraz [1]R, (b) xRy ↔ ∃ z ∈ Z (x − y) = z i znaleźć [√
3]R oraz [0]R. Zadanie 4.11. Scharakteryzuj własności następujących relacji:
(a) R ⊆ N2; xRy ↔ 2 | (x + y), (b) R ⊆ N2; xRy ↔ x | y,
(c) R ⊆ Z2; xRy ↔ x = 2 ∧ y = 3,
(d) Rrelacja prostopadłości ⊥ w zbiorze P wszystkich prostych płaszczyzny Euklidesowej R2. (e) R ⊆ N2× N2; (a, b)R(c, d) ↔ a + d = b + c,
(f) R ⊆ R2; xRy ↔ x2+ y2= 1, (g) R ⊆ Z2; xRy ↔ 3 | (x − y), (h) R ⊆ R2; xRy ↔ |x| = |y|,
(i) R ⊆ R2; xRy ↔ x + y = 2, (j) R ⊆ R2; xRy ↔ x − y = 2, (k) R ⊆ R2; xRy ↔ |x| + |y| = 3,
(l) R ⊆ {1, 2, . . . , 15, 16}2; xRy ↔ 4 | (x2+ y2).
Jeśli któraś z powyższych relacji jest relacją równoważności, wyznaczyć klasy abstrakcji.
5 Funkcje
5.1 Teoria
5.1.1 Podstawowe definicje
Definicja 5.1. Relację R ⊂ X × Y nazywamy funkcją, gdy spełnione są następujące dwa warunki:
∀ x ∈ DR∃ y ∈ Y (xRy) oraz ∀ x ∈ DR∀ y ∈ Y ∀ z ∈ Y (xRy ∧ xRz → y = z), które możemy równoważnie zapisać jednym warunkiem:
∀ x ∈ DR∃! y ∈ Y (xRy) UWAGA 4.
• dom(f) := Df — zbiór argumentów lub dziedzina funkcji f,
• rng(f) := Df∗ — zbiór wartości lub przeciwdziedzina funkcji f.
• Jeśli dane są dwie funkcje f, g, takie że f ⊆ g, to funkcja g nazywa się przedłużeniem funkcji f, a funkcja f obcięciemfunkcji g.
• Jeśli f ⊆ X × Y jest funkcją oraz dom(f) = X, to piszemy f : X → Y i mówimy, że f odwzorowuje lub przekształcazbiór X w zbiór Y .
Definicja 5.2. Niech f : X → Y i niech A ⊆ X. Obcięciem funkcji f do zbioru A nazywamy funkcję fA:= f ∩ (A × Y ). (Często oznaczamy takowe obcięcie jako f|A).
Definicja 5.3. Funkcję f : X → Y nazywamy:
1. różnowartościowąlub iniekcją, gdy
∀ x1∈ X ∀ x2∈ X [x16= x2→ f(x1) 6= f(x2)].
Powyższy warunek jest równoważny następującemu warunkowi
∀ x1∈ X ∀ x2∈ X [f(x1) = f(x2) → x1= x2].
Piszemy wtedy f : X−−→ Y1−1 .
2. funkcją na zbiór Y lub suriekcją, gdy:
∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X [y = f(x)].
Piszemy wówczas f : X−→ Yna .
3. bijekcją, gdy f jest iniekcją i suriekcją. Piszemy wtedy f : X−−→1−1
na Y. 5.1.2 Operacje na funkcjach
Definicja 5.4. Niech f : X−−→1−1
na Y. Funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja f−1 : Y → X zdefiniowana w następujący sposób:
x= f−1(y) ↔ y = f(x).
Definicja 5.5. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Złożeniem lub superpozycją funkcji f i g nazywamy funkcję g ◦ f : X → Z określoną następującym wzorem:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
(Choć podręcznik oznacza takowe złożenie f ◦ g, gdyż oznaczenie to nawiązuje do pojęcia złożenia relacji, ponieważ składanie funkcji to nic innego jak składanie relacji f i g).
Twierdzenie 5.1. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Wówczas jeśli f i g są iniekcjami (odpowiednio suriekcjami, bijekcjami), to g ◦ f jest również iniekcją (odpowiednio suriekcją, bijekcją).
5.1.3 Obrazy i przeciwobrazy
Definicja 5.6. Niech f : X → Y i niech A ⊆ X. Obrazem zbioru A przez funkcję f nazywamy zbiór:
f~(A) := {f(x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃ x ∈ A (y = f(x))}.
UWAGA 5. Zauważmy, że ~f(X) = rng(f).
UWAGA 6. Niech f : X → Y . Zauważmy, że funkcja f jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy ~f(X) = Y . Twierdzenie 5.2. Niech f : X → Y i niech A1, A2⊆ X. Wówczas:
1. f~(A1∪ A2) = ~f(A1) ∪ ~f(A2), 2. f~(A1∩ A2) ⊆ ~f(A1) ∩ ~f(A2), 3. f~(A1\ A2) ⊇ ~f(A1) \ ~f(A2).
Twierdzenie 5.3. Niech f : X → Y i niech A1, A2⊆ X. Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. f jest iniekcją,
2. f~(A1∩ A2) = ~f(A1) ∩ ~f(A2), 3. f~(A1\ A2) = ~f(A1) \ ~f(A2).
Definicja 5.7. Niech f : X → Y i niech B ⊆ Y . Przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f nazywamy zbiór:
f~−1(B) := {x ∈ X : f(x) ∈ B}.
UWAGA 7. Zauważmy, że ~f−1(Y ) = X.
UWAGA 8. Niech f : X → Y . Zauważmy, że funkcja f jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego elementu y ∈ rng(f), zbiór ~f−1({y}) jest jednoelementowy.
Twierdzenie 5.4. Niech f : X → Y i niech B1, B2⊆ Y. Wówczas:
1. f~−1(B1∪ B2) = ~f−1(B1) ∪ ~f−1(B2), 2. f~−1(B1∩ B2) = ~f−1(B1) ∩ ~f−1(B2), 3. f~−1(B1\ B2) = ~f−1(B1) \ ~f−1(B2).
Twierdzenie 5.5. Niech f : X → Y i niech A ⊆ X oraz B ⊆ Y . Wówczas:
1. f~( ~f−1(B)) ⊆ B, przy czym jeśli B ⊆ rng(f), to zachodzi tutaj równość, 2. f~−1( ~f(A)) ⊇ A.
5.2 Zadania
Zadanie 5.1. Czy następujące relacje są funkcjami:
(a) R ⊆ R2; xRy ↔ x2= y, (b) R ⊆ R2; xRy ↔ x = y2, (c) R ⊆ R2>0; xRy ↔ x = y2, (d) R ⊆ N × Z; xRy ↔ x2= y3,
(e) R ⊆ N × Z; xRy ↔ x3= y2, (f) R ⊆ R2>0; xRy ↔ |y − x| = 1, (g) R ⊆ R2>0; xRy ↔ |y| − |x| = 1, (h) R ⊆ C2; xRy ↔ y = 10√
x.
Zadanie 5.2. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji f : R → R, gdzie (a) f(x) :=√
x − x2, (b) f(x) := |x+1|x ,
(c) f(x) := log(3x2−4x + 5), (d) f(x) :=√
x −1 + 2√ 3 − x, (e) f(x) :=√
2 − x +√ 1 + x.
Zadanie 5.3. Dla danego przekształcenia f : R → R sprawdź, czy f jest iniekcją lub suriekcją. Jeśli nie jest suriekcją wyznacz obraz dziedziny.
(a) f(x) := 3x, (b) f(x) :=
(2x+1
x−1, dla x 6= 1, 0, dla x = 1, (c) f(x) :=(ln |x|, dla x 6= 0, 0, dla x = 0, (d) f(x) :=
( x
x+1, dla x 6= −1, 0, dla x = −1.
Zadanie 5.4. Dla podanych funkcji f, g : R → R wyznacz f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g, jeśli (a) f(x) := x2, g(x) :=
(x −1, dla x ≥ 0,
−x, dla x < 0, (b) f(x) :=
(x+ 1, dla x ≥ 0,
x2, dla x < 0, g(x) :=(2x − 3, dla x ≥ 1, 1 − x, dla x < 1.
Zadanie 5.5. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Udowodnić, że jeśli g ◦ f : X → Z jest:
(a) iniekcją, to f jest iniekcją, (b) suriekcją, to g jest suriekcją,
(c) bijekcją, to f jest iniekcją a g jest suriekcją.
Zadanie 5.6. Podaj przykład zbiorów X, Y, Z oraz funkcji f : X → Y oraz g : Y → Z takich, że:
(a) g nie jest iniekcją, ale g ◦ f jest iniekcją, (b) f nie jest suriekcją, ale g ◦ f jest suriekcją.
Zadanie domowe 5.7. Niech f : X → Y będzie bijekcją. Pokazać, że:
(a) f−1 jest bijekcją,
(b) f−1◦ f = idX, (c) f ◦ f−1= idY.
Zadanie domowe 5.8. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Pokazać, że jeśli f i g są bijekcjami, to (g ◦ f)−1 = f−1◦ g−1.
Zadanie 5.9. Niech f : R → R będzie określone wzorem f(x) := x2−3x + 2. Znajdź: ~f([0, 1]), ~f([−2, 1]), f~−1((−∞, −6]), ~f−1({3, 4}), ~f({1, 2}).
Zadanie 5.10. Niech f : (N ∪ {0})2→ N ∪ {0} będzie funkcją zadaną wzorem f((x, y)) := max(x, y). Czy jest to iniekcja? Czy jest to suriekcja? Wyznacz ~f−1({3}).
Zadanie 5.11. Niech f : R → R będzie określone wzorem f(x) := sin x + 1. Znajdź ~f([0,3π2 ]), ~f({0, π}), f~−1((12, ∞)), ~f−1({1}), ~f−1({0}), ~f−1({−1}).
Zadanie 5.12. Niech Rn[t] oznacza zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia n ≥ 0. Niech f : R[t] → R[t] będzie określona wzorem f (ϕ(t)) := ϕ2(t). Wyznacz: ~f−1(R4[t]), ~f−1({t6+2t3+1}), ~f−1({t2+2t+2}), f~(R0[t]), ~f({−3, 3}).
6 Relacje porządkujące
Definicja 6.1. Relacją binarną R na zbiorze X nazywamy relacją częściowo porządkującą zbiór X lub częściowym porządkiem na X, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
Definicja 6.2. Zbiór X z relacją częściowego porządku R nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym i oznaczamy go przez hX, Ri.
Definicja 6.3. Para hX, Ri jest zbiorem liniowo uporządkowanym, gdy R jest relacją częściowego porządku, a ponadto R jest spójna.
Z reguły porządek liniowy jak i częściowy oznacza się symbolem ≤.
Definicja 6.4. Relacja binarna R w zbiorze X jest silnym porządkiem lub ostrym porządkiem, gdy jest przeciwzwrotna, asymetryczna i przechodnia. Z reguły silny porządek oznaczamy symbolem <. Jeśli ponadto relacja < jest spójna, to nazwiemy ją relacją silnego (lub ostrego) porządku liniowego.
6.1 Częściowy porządek
Przykłady częściowych porządków:
• hZ, ≤i, hR, ≤i, hQ, ≤i
• hN, |i, gdzie a | b ↔ ∃ c (b = ac) dla a, b, c naturalnych,
• dla dowolnego zbioru A, hP(A), ⊆i.
Definicja 6.5. Zbiory częściowo uporządkowane hX, ≤1i, hY, ≤2isą izomorficzne, gdy istnieje bijekcja f : X → Y taka, że
∀ x1∀ x2(x1≤1x2↔ f(x1) ≤2f(x2).
Twierdzenie 6.1 (twierdzenie o reprezentacji relacji częściowo porządkujących). Każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany hX, ≤i jest izomorficzny z pewną rodziną podzbiorów zbioru X, uporządkowaną relacją inkluzji.
Definicja 6.6. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Zbiór Y ⊆ X nazywamy łańcuchem, gdy relacja ≤ jest spójna w Y .
6.1.1 “Elementy wyróżnione”
Definicja 6.7. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Y ⊆ X. Element x0 ∈ X jest ograniczeniem górnym zbioru Y, gdy x0 spełnia następujący warunek:
∀ y(y ∈ Y → y ≤ x0).
Analogicznie definiujemy ograniczenie dolne:
Definicja 6.8. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Y ⊆ X. Element x0 ∈ X jest ograniczeniem dolnym zbioru Y, gdy x0 spełnia następujący warunek:
∀ y(y ∈ Y → x0≤ y).
Zauważmy, że w powyższych definicjach nie wymaga się, by x0∈ Y.
Definicja 6.9. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element x0∈ X nazywamy elementem największym, gdy:
∀ x(x ∈ X → x ≤ x0).
Podobnie definiujemy element najmniejszy, mianowicie element x0 ∈ X nazywamy elementem najmniejszym, gdy:
∀ x(x ∈ X → x0≤ x).
Definicja 6.10. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Y ⊆ X. Supremum albo kresem górnym zbioru Y nazywamy element najmniejszy w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych zbioru Y , jeśli takowy istnieje. Analogicznie, infimum albo kresem dolnym zbioru Y nazywamy element największy w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych, o ile takowy element istnieje.
Definicja 6.11. Kratąnazywamy zbiór częściowo uporządkowany hX, ≤i taki, że dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ X istnieje największe ograniczenie dolne (infimum) względem relacji ≤ i najmniejsze ograniczenie górne (supremum) względem tej relacji.
Definicja 6.12. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element x0 jest elementem maksy- malnym, gdy spełnia warunek
¬∃ y(y ∈ X ∧ x0≤ y ∧ y 6= x0),
tzn. nie istnieje element większy od x0. Podobnie definiuje się element minimalny, jako taki, od którego nie istnieją mniejsze, tzn. taki x0, który spełnia następujący warunek:
¬∃ y(y ∈ X ∧ y ≤ x0∧ y 6= x0).
Lemat 6.1 (lemat Kuratowskiego-Zorna). Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeśli każdy łańcuch L ⊆ X elementów zbioru X ma ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.
Inne, równoważne sformułowanie lematu Kuratowskiego-Zorna jest następujące:
Lemat 6.2(lemat Kuratowskiego-Zorna). Jeśli dla każdego liniowo uporządkowanego podzbioru X0zbioru częściowo uporządkowanego X istnieje ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.
6.2 Dobry porządek
Definicja 6.13. Relację R ⊆ X × X nazywamy dobrym porządkiem, gdy R jest częściowym porządkiem takim, że
∀ Y ⊆ X, Y 6= ∅ ∃ y ∈ Y ∀ x ∈ Y (yRx),
tzn. R jest dobrym porządkiem, gdy R jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią oraz taką, że każdy niepusty podzbiór Y zbioru X ma element najmniejszy względem relacji R.
Twierdzenie 6.2(zasada indukcji). Niech hX, ≤i będzie zbiorem dobrze uporządkowanym i niech ϕ(v) będzie funkcją zdaniową o jednej zmiennej wolnej v przebiegającej zbiór X. Załóżmy, że
1. najmniejszy element zbioru X ma własność ϕ,
2. dla dowolnego elementu x ∈ X, jeśli wszystkie elementy poprzedzające x mają własność ϕ, to również element xma własność ϕ.
Wówczas każdy element zbioru X ma własność ϕ.
Wniosek 6.2.1. Jeśli ϕ jest funkcją zdaniową o dziedzinie N taką, że:
1. ϕ(1),
2. ∀ n ∈ N (ϕ(n) → ϕ(n + 1)), to ∀ n ∈ N ϕ(n).
Twierdzenie 6.3 (o dobrym uporządkowaniu; Zermelo 1904). Dla każdego zbioru X istnieje relacja ≤ dobrze porządkująca zbiór X.
Aksjomat wyboru 1. Dla każdej rodziny zbiorów niepustych i parami rozłącznych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie wspólnym (zbiór ten nazywa się selektorem).
Inne równoważne sformułowanie aksjomatu wyboru jest następujące:
Aksjomat wyboru 2. Dla dowolnej rodziny A zbiorów niepustych istnieje funkcja wyboru, tzn. funkcja przypo- rządkowująca każdemu zbiorowi z rodziny A pewien jego element.
Twierdzenie 6.4. Wszystkie poniższe zasady są sobie równoważne:
• aksjomat wyboru,
• twierdzenie Zermela o dobrym uporządkowaniu,
• lemat Kuratowskiego-Zorna.
UWAGA 9. Nie są to jedyne, równoważne aksjomatowi wyboru, zasady.
6.3 Zadania
Zadanie 6.1. Narysować diagramy następujących zbiorów częściowo uporządkowanych, których uniwersum stanowi zbiór {a, b, c, d}, a relację stanowią następujące pary:
(a) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (c, d)},
(b) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (b, c), (c, d), (a, d), (b, d)}, (c) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (d, c)}.
Zadanie 6.2. Poniżej narysowany jest diagram zbioru {a, b, c, d, e, f, g} częściowo uporządkowanego.
a
b c
d e f
g
Wskaż elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją). Znajdź ograniczenie dolne i górne oraz kres górny i dolny (o ile istnieją) zbioru: {b, c}.
Zadanie 6.3. Rozważmy następujące zbiory: A0 = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}, A1 = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 2}, A2= {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 3}, A3= {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 4}, A4= {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 5}, A5= {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 6}, A6= {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 7} z relacją ⊆.
(a) Narysuj diagram relacji.
(b) Wskaż elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją).
(c) Znajdź ograniczenie dolne i górne oraz kres górny i dolny (o ile istnieją) zbiorów: {A1, A2}, {A4, A5, A6}. (d) Wskaż wszystkie łańcuchy długości 3.
Zadanie 6.4. Udowodnić, że relacja podzielności | określona w zbiorze N jest relacją częściowego porządku.
(a) Znaleźć wszystkie elementy minimalne. Pokazać, że w zbiorze N \ {1} istnieje nieskończenie wiele elementów minimalnych.
(b) Pokazać, że w zbiorze N nie ma elementów maksymalnych względem |.
Zadanie 6.5. Rozważmy zbiór T = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} wraz z relacją podzielności ograniczoną do elementów tego zbioru.
(a) Narysuj diagram relacji.
(b) Wskaż elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją).
(c) Wskaż wszystkie łańcuchy długości 3.
Zadanie 6.6. W zbiorze NN(ciągów liczb naturalnych) wprowadźmy relację R w następujący sposób:
(an)R(bn) ↔ ∀ n ∈ N (an≤ bn).
(a) Udowodnić, że zbiór NN jest częściowo uporządkowany.
(b) Znajdź elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją).
(c) Czy zbiór ten uporządkowany liniowo?
Zadanie 6.7. Udowodnij, że jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym jest element:
(a) największy, to jest on jedynym elementem maksymalnym.
(b) najmniejszy, to jest on jedynym elementem minimalnym.
Zadanie 6.8. Dlaczego zbiory hZ, ≤i, hR, ≤i nie są dobrze uporządkowane?
Zadanie 6.9. Czy zbiór wszystkich ułamków postaci n1, gdzie n ∈ N z relacją ≤ jest dobrze uporządkowany?
A z relacją ≥?
Zadanie 6.10. Pokazać, że porządek liniowy w zbiorze skończonym jest dobrym porządkiem.
7 Teoria mocy
7.1 Teoria w skrócie
Definicja 7.1. Mówimy, że dwa zbiory X i Y są równoliczne lub tej samej mocy, gdy istnieje bijekcja:
f : X → Y.
Piszemy wówczas: X ∼ Y .
Fakt 7.1. Relacja równoliczności jest relacją równoważności.
Definicja 7.2. Klasy abstrakcji relacji równoliczności ∼ nazywamy mocami zbiorów lub liczbami kardynal- nymi. Moc zbioru X oznaczamy:
X lub card (X).
Definicja 7.3. Zbiór X nazywamy nieskończonym, gdy jest on równoliczny z pewnym swoim podzbiorem wła- ściwym, tzn. gdy istnieje zbiór Y ⊂ X, taki że X ∼ Y . Mówimy natomiast, że zbiór X jest skończony, gdy nie jest nieskończony.
Definicja 7.4. Zbiór X nazywamy przeliczalnym, gdy X jest skończony lub równoliczny z N.
UWAGA 10. Nieskończony zbiór X jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy możemy jego elementy ustawić w ciąg nieskończony:
a1, a2, a3, . . .
Definicja 7.5. Moc zbioru liczb naturalnych N oznaczamy symbolem ℵ0 [alef zero].
Twierdzenie 7.1. Zbiór Q liczb wymiernych jest przeliczalny.
Twierdzenie 7.2. Suma przeliczalnej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Definicja 7.6. Zbiór X równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, czyli taki, że X ∼ R nazywamy zbiorem mocy kontinuum. Moc tę oznaczamy gotycką literą c.
Pytanie: Czy istnieje zbiór X ⊆ R, taki że ℵ0<card(X) < c?
HIPOTEZA KONTINUUM
Każdy zbiór X liczb rzeczywistych jest albo przeliczalny, albo mocy kontinuum.
7.2 Zadania
Zadanie 7.1. Udowodnić, że jeśli zbiory A i B są skończone, to A ∼ B wtedy i tylko wtedy, gdy A i B mają tę samą liczbę elementów.
Zadanie 7.2. Udowodnij, że jeśli A ∼ C oraz B ∼ D, to A × B ∼ C × D.
Zadanie 7.3. Udowodnij, że jeśli X1∩ Y1= ∅ i X2∩ Y2= ∅ oraz X1∼ X2 i Y1∼ Y2, to X1∪ Y1∼ X2∪ Y2. Zadanie 7.4. Sprawdź, czy podane zbiory X i Y są równoliczne:
(a) X= {x ∈ N : x < 7}, Y = {x ∈ N : 2 < x2<70}, (b) X= N, Y = N \ {1},
(c) X= N, Y = {y ∈ N : 10 | y},
(d) X= N, Y = {x ∈ R : ∃ y ∈ N (x = ln y)}, (e) X= N, Y = {x ∈ Z : ∃ y ∈ R (x = sin y)},
(f) X= N, Y = Z, (g) X= N, Y = N × N, (h) X= N, Y = Q,
(i) X= N, Y = {(x, y) ∈ R × Q : x2= 4}.
Zadanie 7.5. Pokaż, że dwa dowolne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne.
Twierdzenie 7.3 (Cantor-Bernstein). Jeśli zbiór A jest równej mocy z pewnym podzbiorem zbioru B, a zbiór B jest równej mocy z pewnym podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B są równoliczne.
Wniosek 7.3.1. Jeśli C ⊆ B ⊆ A oraz A ∼ C, to również B ∼ A i B ∼ C.
Zadania
Zadanie 7.6. Pokazać, że (0, 1) ∼ (0, ∞).
Zadanie 7.7. Pokazać, że każdy przedział postaci (a, b) jest mocy kontinuum.
Zadanie 7.8. Niech f : A → B będzie iniekcją. Pokazać, że A ∼ ~f(A).
Zadanie 7.9. Niech f : A → B oraz g : B → C będą iniekcjami. Pokazać, że jeśli A ∼ C, to B ∼ A oraz B ∼ C.
Zadanie 7.10. Korzystając z powyższego zadania pokazać, że [0, 1] ∼ R, (0, 1) ∼ [0, 1] oraz [−1, 1] ∼ (1, 3) ∪ (4, 6).
Dodatki
7.3 Wybrane tautologie rachunku zdań
1. p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy 2. p ∨(q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji 3. (p → q) ↔ (¬p ∨ q) definicja implikacji za pomocą alternatywy i negacji 4. (p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)) prawo przekształcenia równoważności na implikacje 5. ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q pierwsze prawo De Morgana
6. ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q drugie prawo De Morgana
7. p ∨ ¬p prawo wyłączonego środka
8. (p → q) ↔ (¬q → ¬p) prawo transpozycji
7.4 (kpn) i (apn)
1. Formuła jest w koniunkcyjnej postaci normalne (kpn), jeśli ma postać: (ϕ1) ∧ (ϕ2) ∧ . . . ∧ (ϕn) oraz dla dowolnego i = 1, 2, . . . , n, ϕi jest alternatywą elementarną (tzn. ma postać: (ψi1) ∨ (ψi2) ∨ . . . ∨ (ψimi), gdzie ψikjest zmienną zdaniową lub jej negacją (literałem)).
2. Formuła jest w alternatywnej postaci normalnej (apn), jeśli ma postać: (ϕ1) ∨ (ϕ2) ∨ . . . ∨ (ϕn) oraz dla dowolnego i = 1, 2, . . . , n, ϕi jest koniunkcją elementarną (tzn. ma postać: (ψi1) ∧ (ψi2) ∧ . . . ∧ (ψimi), gdzie ψikjest zmienną zdaniową lub jej negacją (literałem)).
Zadanie 7.11. Sprowadź poniższe formuły do koniunkcyjnej postaci normalnej. Czy są one tautologiami? Odpo- wiedz na podstawie otrzymanych postaci.
(a) (p → q) ∧ p → q
(b) [p → (q → r)] → (p ∧ q → r) (c) (p → q) ↔ (¬p → ¬q) (d) (p → q) → (r ∧ p → p ∧ q)
(e) (p → q) → (r ∧ p → r ∧ q) (f) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) (g) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (h) (p → q) ↔ (q → p),
(i) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r), (j) [(p → q) ∧ (p → ¬q)] → ¬p, (k) [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q,
