Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład 0 ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE’A
0.1. Logika – podstawowe pojęcia: zdania i funktory,reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy je aksjomatami), definicji i twierdzeń, które wynikają z innych, już otrzymywanych przy użyciu wnioskowania logicznego. Logika leży zatem u podstaw matematyki.
0A1 (Definicja: zdania). Przez zdanie (w sensie logicznym) rozumiemy wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe albo fałszywe. O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną 1, natomiast o zdaniu fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną 0.
0A2 (Przykłady). Zdanie
„ jest liczbą niewymierną”
jest prawdziwe to jest ma wartość logiczną 1;
natomiast zdanie
„ jest liczbą naturalną”
jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną 0.
Zdanie gramatyczne (pytania): „Jaka jest liczba ?” nie będziemy uważali za zdanie w sensie logicznym . Ono nie jest prawdziwe ani fałszywe.
0A+B3 (Ćwiczenie). Zbadać, czy następujące wypowiedzi są zdaniami:
1) „1000 jest dużą liczbą”,
2) „ile pierwiastków stopnia n ma liczba zespolona 1?”, 3) „x 2”,
4) „x 5 12”,
5) „nieprawda, że jest liczbą naturalną”.
Zdania będziemy oznaczali małymi literami alfabetu. Jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to piszemy p 1; jeżeli zdanie q jest fałszywe, to piszemy q . 0 0A+B4 (Funktory). Niech p i q będą dwoma zdaniami. Z tych zdań można utworzyć zdanie złożone, korzystając ze spójników, zwanych w logice funktorami.
Funktory te przedstawiamy w tabeli:
Funktor Zdania złożone Wartość logiczna Symbol Nazwa Czytamy Symbol Nazwa Czytamy p q zdanie
złożone
~ czyli
┐, - Negacja
(zaprzeczenie) nie ~ p negacja zdania p
nie p (nieprawda,
że p)
0 1
- -
1 0
Koniunkcja
(iloczyn logiczny) i pq Koniunkcja
zdań p i q p i q
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
Alternatywa
(suma logiczna) lub pq alternatywa
zdań p i q p lub q 0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
Implikacja
(wynikanie)
jeżeli...,
to... p q
implikacja o poprzedniku
p i następniku
q
jeżeli p, to q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
Równoważność
...wtedy i tylko wtedy, gdy
pq
równoważ- ność zdań p
i q
p wtedy i tylko wtedy, gdy
q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
Nierównoważność (alternatywa wykluczająca)
albo pq
Nierówno- ważność zdań p i q
p albo q 0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
0A+B5 (Uwaga: przykłady do „hamowania”).
5.1. Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, to ~p jest zdaniem fałszywym i na odwrót. Na przykład zaprzeczeniem zdania „każda liczba naturalna jest liczbą parzystą” nie jest zdanie „każda liczba naturalna jest liczbą nieparzystą” dlatego, że oba zdania są fałszywe. Zaprzeczeniem będzie zdanie „nieprawda, że każda liczba naturalna jest liczbą parzystą” lub „istnieje liczba naturalna, która jest liczbą nieparzystą”.
5.2. Implikacja jest prawie zawsze prawdziwa, w szczególności jest prawdziwa, jeśli następnik implikacji jest prawdziwy. Zdanie „Jeżeli 2 jest
liczbą nieparzystą, to 2 jest liczbą parzystą” jest prawdziwe z definicji ( w sensie logicznym).
5.3. Jeżeli pq jest zdaniem prawdziwym, to zdanie pq jest także
prawdziwe, ale nie na odwrót. Na przykład zdanie „ sin 1 lub cos 0 1 2
” jest
prawdziwe, ale zdanie „sin 1 albo cos 0 1 2
” jest fałszywe.
0B+C6 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną i fizyczną funktorów.
Wskazówka: zdania p i q będziemy interpretowali jako przekaźniki w układzie elektrycznym: zamknięty odpowiada zdaniu prawdziwemu, natomiast otwarty odpowiada zdaniu fałszywemu.
0B7 (Reguły wnioskowania). Każda reguła wnioskowania, czyli reguła otrzymania wniosków z przesłanek musi być taka, żeby od zdania prawdziwego prowadziła zawsze do zdania prawdziwego, np.:
7.1. Reguła dołączania koniunkcji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie q, to należy uznać za prawdziwe zdanie p q.
7.2. Reguła opuszczania koniunkcji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie pq, to należy uznać za prawdziwe zdanie p i należy uznać za prawdziwe zdanie q.
7.3. Reguła dołączania alternatywy. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p, to należy uznać za prawdziwe zdanie p q, gdzie q jest dowolnym zdaniem.
7.4. Reguła opuszczania alternatywy. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie ~p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q.
7.5. Reguła odrywania. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q.
7.6. Reguła przechodniości implikacji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p q i zdanie q r, to należy uznać za prawdziwe zdanie p r.
0A+B8 (Schematy zdań). Mając do dyspozycji funktory logiczne możemy tworzyć zdania składające się z wielu zdań podrzędnych. Abstrakcyjne wersje takich zdań złożonych, zbudowane z funktorów logicznych i zmiennych zdaniowych nazywamy schematami zdaniowymi lub wyrażeniami (formułami) rachunku zdań.
Zwracamy uwagę, że zmienne zdaniowe nie mają jednak ustalonej wartości logicznej. Oznaczamy je podobnie jak zdania, na przykład p, q, r itd.
Zdania i funktory są elementami rachunku zdań. Funktory odgrywają w tym rachunku rolę działań, zdania są obiektami, do których się te działania odnoszą.
0A9 (Przykłady). Schematy ~p, pq, p q p q są to wszystkie wyrażenia rachunku zdań, natomiast p~q nie jest wyrażeniem rachunku zdań, ponieważ negacja jest funktorem jednoargumentowym (odnoszącym się do jednego tylko zdania). Każde wyrażenie rachunku zdań jest funkcją zdaniową zmiennych zdaniowych, która każdemu układowi wartości logicznych tych zmiennych przyporządkowuje wartość logiczną całego zdania.
0A10 (Definicja: tautologia). Prawo rachunku zdań lub tautologia jest to takie wyrażenie tego rachunku, które niezależnie od wartości logicznych podstawianych zdań zawsze dają zdanie złożone prawdziwe.
0A+B11 (Przykłady: niektóre tautologii).
Nazwa tautologii Zapis
Prawo wyłączonego środka (~p) p
Prawo podwójnego zaprzeczenia ~(~p) p
Prawo rozdzielności p (q r) (pq) (p r) p (q r) (p q) (p r) Prawa
de Morgana
zaprze- czenie
alternatywy koniunkcji
[~(p q)] [(~p) (~q)]
[~(pq)] [(~p) (~q)]
Prawo zaprzeczania implikacji ~(pq) [p(~q)] ~(~p q)
~(~p)(~q)
Prawo sprzeczności ~[p(~p)]
Uwaga. Gdy brak jest nawiasów, operacje wykonujemy w następującej kolejności:
~, , , , (prz.: pq ~p q).
0A+C12 (Uwaga-ćwiczenie). Do sprawdzania tautologii może służyć metoda zero-jedynkowa, która polega na rozważeniu wszystkich układów wartości logicznych zmiennych zdaniowych, które występują w badanym wyrażeniu.
Zrobić to dla 4A+B11.
0A13 (Definicja). Funkcja (forma) zdaniowa (jednej lub większej liczby zmiennych) jest to wyrażenie zawierające zmienną, które staje się zdaniem, gdy za zmienną podstawiamy element, należący do dziedziny (zakresu) funkcji zdaniowej.
0A14 (Przykład). Wyrażenie “x jest większy od 2” (4A+B3) jest funkcją zdaniowa; jej dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych. Dla pewnych liczb x otrzymane zdanie będzie prawdziwe, dla innych fałszywe, ale zawsze będzie miało wartość logiczną.
0A15 (Kwantyfikatory). Kwantyfikator ogólny, oznaczamy przez i czytamy
“dla każdego”, oznacza, że w funkcji zdaniowej podstawiamy wszystkie dopuszczalne wartości zmiennej. Kwantyfikator szczegółowy, oznaczamy przez
i czytamy “istnieje”, oznacza, że wybieramy z zakresu zmiennej tylko jeden element.
Niech A x będzie formą zdaniową z dziedziną ( ) X . Wtedy zdanie : ( )
x X A x
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego x zdanie ( )X A x jest prawdziwe. Zdanie x X A x: ( ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element x , dla którego utworzone zdanie ( )X A x jest prawdziwe.
0A16 (Przykłady). Zdanie x : ( )A x , gdzie ( )A x oznacza “x 5 12”, jest fałszywe, ale zdanie x : ( )A x jest prawdziwe (mamy:
: ( ) " 7"
x A x x
).
0A17 (Prawo de Morgana dla kwantyfikatorów). Mamy:
17.1) (x A x: ( )) ( x: (~ ( )))A x ; 17.2) (x A x: ( )) ( x: (~ ( )))A x .
0A18 (Reguły rozdzielania dla zdań z kwantyfikatorami).
18.1) x P x: ( )Q x( ) ( x P x: ( )) ( x Q x: ( ));
18.2) x P x: ( )Q x( ) ( x P x: ( )) ( x Q x: ( )).
0B19 (Ćwiczenie). Sprawdzić, że zdanie x P x: ( )Q x( ) może nie być równoważne zdaniu (x P x: ( )) ( x Q x: ( )).
0A20 (Uwaga). Zamiast czasami pisze się , natomiast zamiast pisze się
.
0A+B21 (Definicja: algebra Boole’a). Struktura algebraiczna ( , , ,';0,1)B o dwóch działaniach dwuargumentowych, nazywanych odpowiednio dodawaniem
“” i mnożeniem “” oraz jednym działaniu jednoargumentowym “ ' ” (uzupełnianie) i o wyróżnionych elementach 0 i 1 nazywamy algebrą Boole’a jeśli spełnione są następujące warunki:
1) oba działania i są przemienne i łączne:
, , , , ;
a b c B a b b a a b b a
( ) ( ) , ( ) ( ) ;
def def
a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odwrotnie:
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
a b c a b a c a b c a ; b a c 3) wyróżnione elementy 0 (zero) i 1 (jedynka) spełniają warunki:
, 0 , 1 ;
a B a a a a
4) uzupełnianie “ ' “ spełnia warunki: a a' 1,a a' 0.
0A22 (Przykład: dwuelementowa algebra Boole’a). Algebra ta jest złożona z zera “0” i jedynki “1” (to jest B={0,1}) i ma następujące tabelki działań:
0 1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0 1
Ponad to: 1'=0, 0'=1.
0A23 (Przykład). Rachunek zdań, zwany tez algebrą zdań, jest klasycznym przykładem dwuelementowej algebry Boole’a. Tutaj 0 jest modułem (elementem neutralnym) dodawania, 1 jest modułem (elementem neutralnym) mnożenia, suma każdego elementu i jego negacji jest modułem mnożenia, iloczyn każdego elementu i jego negacji jest modułem dodawania.
0A+B24 (Optymalizacja (minimalizacja) form rachunku zdań). Forma rachunku zdań jest minimalna, jeżeli jest ona złożona z najmniejszego zbioru działań.
Przykład: [(p~q) (q ~p)] p q.
0A+B25 (Interpretacja fizyczna działań dwuelementowej algebry Boole’a).
Ciekawym przykładem algebry Boole’a jest algebra sieci elektrycznych (algebra rachunku zdań), budowanych z dwubiegunowych elementów (dwójników) poprzez szeregowe i równolegle ich łączenie. Przypuśćmy, ze każdy z elementów sieci znajduje się w jednym z dwóch wykluczających sie stanów:
przewodzi prąd (1) albo nie przewodzi (0) prądu.
Ćwiczenie (B). Zrobić interpretację fizyczną działań 1)-4) w 4A+B21.
=
=
=
x
0
x y
x
x 1
x
x
y
x
z x
y z
0B26 (Przykład algebry Boole’a). Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór wszystkich podzbiorów tego zbioru oznaczamy przez 2X. Wtedy zespół ( 2 , , , ; ,X C X ) jest algebrą Boole’a. Dodawaniem tutaj jest wzięcie sumy zbiorów, mnożeniem – wzięcie części wspólnej, rolę zera pełni zbiór pusty, a jedynki – cały zbiór X, uzupełnianiem jest wzięcie dopełniania do pełnego zbioru X.
