EWOLUCYJNE METODY OPTYMALIZACJI W STEROWANIU RUCHEM SAMOCHODU OSOBOWEGO

(1)

EWOLUCYJNE METODY OPTYMALIZACJI W STEROWANIU RUCHEM SAMOCHODU OSOBOWEGO

Kornel Warwas

¹

1Katedra Informatyki i Automatyki, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, kwarwas@ath.bielsko.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono optymalizację ruchu samochodu osobowego podczas jazdy po nawierzchni o zmiennej przy- czepności. Model matematyczny pojazdu sformułowano, korzystając w zapisie z transformacji jednorodnych i współ- rzędnych złączowych. W procesie optymalizacji dobierano przebieg momentów hamujących działających na poszcze- gólne koła pojazdu tak, aby zapewnić utrzymanie się pojazdu w szerokości jezdni. Do rozwiązania zadania optymalizacji zastosowano metody ewolucyjne takie jak: Genetic Algorithm (GA), Particle Swarm Optimisation (PSO) oraz Particle Swarm Evolver (PSE). Metody te, w odróżnieniu od klasycznych metod optymalizacji, umożliwiają znajdowanie rozwiązań globalnie optymalnych. W pracy przedstawiono wnioski z uzyskanych wyników oraz zasto- sowanych metod optymalizacji.

Słowa kluczowe: metody ewolucyjne, optymalizacja dynamiczna, samochód osobowy, modelowanie komputerowe

AN EVOLUTIONARY METHODS TO CONTROL A MOTION OF A PASSENGER VEHICLE

Summary

The paper presents a method of passenger car motion optimisation while driving on the road surface with variable friction. A mathematical model of the vehicle has been formulated using homogenous transformation and joint coordinates. During optimisation braking torques values applied to each wheel of the car have been determined. In order to maintain position of the vehicle in the width of the road, optimisation problem has been formulated and solved. Evolutionary methods such as Genetic Algorithm (GA), Particle Swarm Optimisation (PSO) and Particle Swarm Evolver (PSE) has been applied. Those methods, in contrast to the classical optimisation methods, allow to find global optimal solution. In this paper results obtained during numerical simulations have been presented and discussed.

Keywords: evolutionary methods, dynamic optimisation, passenger car, numerical simulation

1. WSTĘP

Podczas projektowania pojazdów szczególny nacisk kła- dzie się na bezpieczeństwo oraz komfort kierowcy i pasa- żerów. Zaprojektowanie pojazdu spełniającego te kryteria wymaga wykonania szeregu testów drogowych oraz badań stanowiskowych. Przygotowanie wirtualnych modeli po- jazdów w pierwszym etapie prac projektowych pozwala zmniejszyć koszty oraz dokonać wstępnej oceny zachodzą- cych zjawisk [1, 3, 5, 31]. W wielu przypadkach symulacje komputerowe są jedynym możliwym sposobem otrzyma-

przy rekonstrukcji kolizji drogowych lub w symulacjach sytuacji niebezpiecznych takich jak wymijanie, wyprze- dzanie czy jazda po jezdni o obniżonym współczynniku przyczepności. Modelowaniem i optymalizacją ruchu pojazdu w sytuacjach krytycznych zajmowano się między innymi w pracach [19, 20], a w [21] omówiono ważniejsze aspekty związane z bezpieczeństwem pojazdów samochodowych. Autor wśród głównych przyczyn wypadków wy- stępujących na drogach wymienia niedostosowanie pręd-

(2)

przypadku wirtualny model pojazdu może stanowić pod- stawę do sygnalizacji zagrożeń przy wykonywaniu róż- nych manewrów. Tworzone w tym obszarze modele po- winny wiernie odzwierciedlać rzeczywistość, a jednocze- śnie czas obliczeń numerycznych powinien być stosunkowo krótki, aby możliwe było prowadzenie analiz wa- riantowych [30, 34]. W literaturze można spotkać wiele pozycji poświęconych modelowaniu pojazdów jako ukła- dów wieloczłonowych. Do opisu tych układów wykorzystuje się współrzędne absolutne, naturalne lub złączowe.

Najczęściej wykorzystuje się współrzędne absolutne, które prowadzą do układów równań różniczkowo-algebraicz- nych. Wyprowadza się je, korzystając z równań La- grange’a I rodzaju lub równań Newtona-Eulera [3, 10].

Istnieją również prace, w których do opisu ruchu pojazdu stosuje się współrzędne złączowe [1, 31, 34, 35, 36]. Dy- namiczne równania ruchu pojazdu w tych współrzędnych najczęściej formułuje się bazując na równaniach La- grange’a II rodzaju. Takie podejście prowadzi do układów o mniejszej liczbie równań, niejednokrotnie bez definiowa- nia dodatkowych równań więzów [1, 18, 30, 35, 36].

W pracach [1, 13, 30, 31, 34, 35] autorzy przedstawili spo- sób modelowania pojazdów osobowych i wieloczłonowych o różnym stopniu skomplikowania, adaptując metody sto- sowane w robotyce. Do transformacji współrzędnych zastosowano metodę przekształceń jednorodnych, umożli- wiającą łatwe modelowanie pojazdów, traktując je jako otwarte łańcuchy kinematyczne o strukturach drzewa.

W wielu ośrodkach realizowane są badania dotyczące metod poprawy skuteczności układów hamulcowych, zmie- rzające m.in. do poprawy ich konstrukcji. Autorzy pracy [32] przedstawiają wyniki badań, z których wynika, że stan nawierzchni oraz stopień jej zanieczyszczenia wpły- wają znacząco na długość drogi hamowania. Sprawny układ hamulcowy może okazać się niedostatecznie sku- teczny, gdy pojazd porusza się po drodze zanieczyszczo- nej. Dlatego też istotne są systemy wspomagające, dzia- łające niezależnie od woli kierowcy. Projektowanie takich systemów jest trudne. Zależy ono od wielu czynników ze- wnętrznych i istnieje wiele możliwych wariantów sytuacji drogowych, w których taki układ powinien zareagować.

W pracach [9, 22] wskazano, że taki układ sterowania może być wyzwalany w momencie, gdy następuje zmiana warunków kontaktu koła ogumionego z nawierzchnią drogi, poprzez śledzenie wartości siły stycznej działającej na oponę. Występuje wyraźna potrzeba kalibracji oraz walidacji istniejących systemów wspomagających, która może być wykonana poprzez wykorzystanie wyników uzyskanych z optymalizacji dynamicznej. Metody optymalizacji do rozwiązywania zadań z zakresu sterowania ukła- dami pojazdów samochodowych stosowano w między innymi w pracach [13, 34, 35]. Do rozwiązania zadania optymalizacji dynamicznej ruchu pojazdu najczęściej stoso- wane są klasyczne gradientowe i bezgradientowe metody optymalizacji [34, 35]. Wadą tych metod jest ich zbieżność

do ekstremów lokalnych w zależności od punktu starto- wego. Wolnymi od tych wad są metody ewolucyjne, które umożliwiają znajdowanie ekstremów globalnych, a dodatkowo rozpoczynają obliczenia z wielu punktów początko- wych [6, 14, 23, 27, 29]. Jedną z najbardziej znanych metod optymalizacji bazujących na biologicznej ewolucji są algorytmy genetyczne. Ich zastosowanie w pracach ba- dawczych jest bardzo szerokie począwszy od poprawy komfortu kierowcy i pasażerów pojazdu [28] przez dobór cech dynamicznych układu jezdnego pojazdu gąsienico- wego [12] aż do optymalizacji trajektorii samochodu inte- ligentnego [17]. Kolejną popularną i dodatkowo stosunkowo nową metodą jest Particle Swarm Optimization.

Charakteryzuje się ona dużą stabilnością numeryczną oraz szybkobieżnością do ekstremum globalnego [2, 7, 29].

Jest również szeroko stosowana do doboru parametrów i optymalizacji pojazdów lądowych, powietrznych i wod- nych [15, 26, 37]. Na przestrzeni lat podjęto również próbę połączenia wcześniej wymienionych metod tworząc algorytm hybrydowy zwany Particle Swarm Evolver [4, 8]. Ze względu na złożoność numeryczną oraz stosunkowo długi czas obliczeń optymalizacyjnych prac z tego zakresu jest znacznie mniej. Autorzy stosują tę metodę w ujęciu współbieżnym [33] lub do porównania wyników z innymi metodami optymalizacji [16].

2. MODEL MATEMATYCZNY POJAZDU

W analizowanym modelu samochodu wyróżniono trzy podzespoły [2, 13]: nadwozie, zawieszenia oraz koła (rys. 1).

Rys. 1. Model pojazdu osobowego

Nadwozie traktowane jest jako bryła sztywna i posiada sześć stopni swobody względem układu inercjalnego:

𝐪𝐪^(𝑁𝑁)= [𝑥𝑥 ^(𝑁𝑁)𝑦𝑦^(𝑁𝑁)𝑧𝑧^(𝑁𝑁)𝜓𝜓 ^(𝑁𝑁)𝜃𝜃^{(𝑁𝑁 )}𝜑𝜑^(𝑁𝑁)]^𝑇𝑇 (1) gdzie: 𝑥𝑥^(𝑁𝑁), 𝑦𝑦^(𝑁𝑁), 𝑧𝑧^(𝑁𝑁) - współrzędne nadwozia względem

układu inercjalnego,

𝜓𝜓 ^{(𝑁𝑁 )}, 𝜃𝜃 ^{(𝑁𝑁 )}, 𝜑𝜑 ^{(𝑁𝑁 )} - kąty Eulera ZYX.

Zawieszenia przednie pojazdu są traktowane jako nieza- leżne i każde z nich posiada dwa stopnie swobody w ruchu

(3)

względem nadwozia. Wektor współrzędnych uogólnionych można zapisać w postaci:

𝐪𝐪^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,𝑖𝑖�= �𝑧𝑧^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,𝑖𝑖� 𝜓𝜓^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,𝑖𝑖��^𝑇𝑇 (2) gdzie: 𝑧𝑧^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,𝑖𝑖� - ugięcie zawieszenia,

𝜓𝜓^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,𝑖𝑖� - kąt skręcenia koła, 𝑖𝑖 = 1, 2.

Zawieszenie tylne zostało zamodelowane jako zależne i jego ruch jest opisany następującym wektorem współ- rzędnych uogólnionych:

𝐪𝐪^(𝑍𝑍^𝑡𝑡⁾= [𝑧𝑧^(𝑍𝑍^𝑡𝑡⁾ 𝜑𝜑^(𝑍𝑍^𝑡𝑡⁾]^𝑇𝑇 (3) gdzie: 𝑧𝑧^(𝑍𝑍^𝑡𝑡⁾ - ugięcie zawieszenia,

𝜑𝜑^(𝑍𝑍^𝑡𝑡⁾ - kąt obrotu belki tylnego zawieszenia.

Koła w ruchu względnym posiadają jeden stopień swobody 𝜑𝜑^{(𝐾𝐾,𝑖𝑖)}, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 będący kątem obrotu względnego:

𝐪𝐪^(𝐾𝐾)= [𝜑𝜑^(𝐾𝐾,1) 𝜑𝜑^(𝐾𝐾,2) 𝜑𝜑^(𝐾𝐾,3) 𝜑𝜑^(𝐾𝐾,4) ]^𝑇𝑇 (4) Analizowany układ wieloczłonowy może być przedsta- wiony jako graf nieskierowany o strukturze drzewa uko- rzenionego z otwartymi łańcuchami kinematycznymi (rys. 2).

Rys. 2. Komponenty pojazdu jako zbiór otwartych łańcuchów kinematycznych.

Dynamiczne równania ruchu pojazdu wyprowadzono z równań Lagrange’a II rodzaju:

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑘𝑘−_{𝜕𝜕𝑞𝑞}^{𝜕𝜕𝜕𝜕}

𝑘𝑘+_{𝜕𝜕𝑞𝑞}^{𝜕𝜕𝜕𝜕}

𝑘𝑘= 𝑄𝑄𝑘𝑘 (5)

gdzie: 𝐸𝐸 = ∑^𝑁𝑁_𝑗𝑗=1𝐸𝐸^(𝑗𝑗) - energia kinetyczna pojazdu, 𝐸𝐸^(𝑗𝑗) - energia kinetyczna ciała 𝑗𝑗,

𝑉𝑉 = ∑^𝑁𝑁_𝑗𝑗=1𝑉𝑉^(𝑗𝑗) - energia potencjalna pojazdu, 𝑉𝑉^(𝑗𝑗) - energia potencjalna ciała 𝑗𝑗,

𝐪𝐪̇ =^{𝑑𝑑𝐪𝐪}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}= (𝑞𝑞̇𝑘𝑘)_{𝑘𝑘=1,…,𝑛𝑛} - wektor prędkości uogólnio- nych pojazdu,

𝐐𝐐 = (𝑄𝑄_𝑘𝑘)_{𝑘𝑘=1,…,𝑛𝑛} - wektor sił uogólnionych, 𝑁𝑁 - liczba ciał,

𝑛𝑛 - liczba współrzędnych uogólnionych pojazdu, 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑛𝑛.

Korzystając w zapisie z przekształceń jednorodnych oraz stosując przekształcenia opisane w [1, 13, 36], komponenty energii kinetycznej 𝑗𝑗-tego ciała można zapisać na- stępująco:

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝜕𝜕𝜕𝜕^(𝑗𝑗)

𝜕𝜕𝑞𝑞̇^(𝑗𝑗)−^{𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝑞𝑞}^(𝑗𝑗)_(𝑗𝑗)= 𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝐁𝐁_𝑖𝑖^(𝑗𝑗)𝐇𝐇^(𝑗𝑗)𝐁𝐁̈^{(𝑗𝑗)𝑇𝑇}� (6)

gdzie: 𝐁𝐁^(𝑗𝑗) - macierz określająca położenie ciała 𝑗𝑗 w ukła- dzie inercjalnym,

𝐁𝐁_𝑖𝑖^(𝑗𝑗)=^∂𝐁𝐁_{𝜕𝜕𝑞𝑞}^(𝑗𝑗)

𝑖𝑖(𝑗𝑗), 𝐁𝐁̈^(𝑗𝑗)=^𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑑𝑑}²^𝐁𝐁₂^(𝑗𝑗),

𝐇𝐇^(𝑗𝑗)= ∫_𝑚𝑚(𝑗𝑗)𝐫𝐫_𝑚𝑚^(𝑗𝑗)𝐫𝐫_𝑚𝑚^{(𝑗𝑗)𝑇𝑇}𝑑𝑑𝑚𝑚^(𝑗𝑗) - pseudo macierz bez- władności ciała 𝑗𝑗,

𝑚𝑚^(𝑗𝑗) - masa ciała 𝑗𝑗,

𝐫𝐫_𝑚𝑚^(𝑗𝑗)= �𝑥𝑥_𝑚𝑚^(𝑗𝑗) 𝑦𝑦_𝑚𝑚^(𝑗𝑗) 𝑧𝑧_𝑚𝑚^(𝑗𝑗) 1�^𝑇𝑇 - wektor współrzęd- nych masy 𝑑𝑑𝑚𝑚 w lokalnym układzie współrzęd- nych ciała 𝑗𝑗,

𝑡𝑡𝑡𝑡{𝐀𝐀} = ∑ 𝑎𝑎_𝑖𝑖 _{𝑖𝑖,𝑖𝑖} - ślad macierzy 𝐀𝐀.

Energię potencjalną ciała 𝑗𝑗 można wyznaczyć ze wzoru:

𝜕𝜕𝜕𝜕^(𝑗𝑗)

𝜕𝜕𝑞𝑞_𝑖𝑖^(𝑗𝑗)= 𝑚𝑚^(𝑗𝑗)𝚯𝚯^𝑇𝑇𝐁𝐁_𝑖𝑖^(𝑗𝑗)𝐫𝐫_𝑐𝑐^(𝑗𝑗) (7) gdzie: 𝚯𝚯 = [0 0 𝑔𝑔 0]^𝑇𝑇,

𝐫𝐫_𝑐𝑐^(𝑗𝑗)= �𝑥𝑥𝑐𝑐(𝑗𝑗) 𝑦𝑦_𝑐𝑐^(𝑗𝑗) 𝑧𝑧_𝑐𝑐^(𝑗𝑗) 1�^𝑇𝑇 - wektor współrzęd- nych środka masy ciała j w układzie inercjalnym, 𝑔𝑔 - przyspieszenie ziemskie normalne.

Po transformacjach równania ruchu 𝑖𝑖-tego podsystemu pojazdu można zapisać w notacji macierzowej jako:

𝐀𝐀^(𝑖𝑖)(𝑡𝑡, 𝐪𝐪)𝐪𝐪̈^(𝑖𝑖)= 𝐟𝐟^(𝑖𝑖)(𝑡𝑡, 𝐪𝐪, 𝐪𝐪̇) (8) gdzie: 𝐀𝐀^(𝑖𝑖) - macierz mas,

𝐟𝐟^(𝑖𝑖) - wektor zawierający siły odśrodkowe, girosko- powe, Coriolisa oraz zewnętrzne,

𝐪𝐪̈^(𝑖𝑖)=^𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑑𝑑}²^𝐪𝐪2^(𝑖𝑖)= �𝑞𝑞̈_𝑘𝑘^(𝑖𝑖)�

𝑘𝑘=1,…,𝑛𝑛^(𝑖𝑖) - wektor przyspieszeń uogólnionych i-tego podsystemu pojazdu,

𝑛𝑛^(𝑖𝑖) - liczba współrzędnych uogólnionych 𝑖𝑖-tego podsystemu pojazdu.

Równania ruchu poszczególnych podsystemów pojazdu przedstawiają się następująco:

- podsystem (1) - nadwozie, przednie zawieszenia 1, przednie koło 1

𝐀𝐀⁽¹⁾=

⎣⎢

⎢⎢

⎡𝐀𝐀⁽¹⁾^{𝑁𝑁,𝑁𝑁} 𝐀𝐀⁽¹⁾_{𝑁𝑁,𝑍𝑍}₁ 𝐀𝐀_{𝑁𝑁,𝐾𝐾}⁽¹⁾₁ 𝐀𝐀⁽¹⁾_𝑍𝑍₁_,𝑁𝑁 𝐀𝐀⁽¹⁾_𝑍𝑍₁_,𝑍𝑍₁ 𝐀𝐀⁽¹⁾_𝑍𝑍₁_,𝐾𝐾₁ 𝐀𝐀⁽¹⁾_𝐾𝐾₁_,𝑁𝑁 𝐀𝐀_𝐾𝐾⁽¹⁾₁_,𝑍𝑍₁ 𝐀𝐀⁽¹⁾_𝐾𝐾₁_,𝐾𝐾₁⎦⎥⎥⎥⎤

,

𝐪𝐪⁽¹⁾= � 𝐪𝐪^(𝑁𝑁) 𝐪𝐪^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,1�

𝜑𝜑^(𝐾𝐾,1)

�, 𝐟𝐟⁽¹⁾=

⎣⎢

⎢⎡𝐟𝐟^𝑁𝑁⁽¹⁾ 𝐟𝐟_𝑍𝑍⁽¹⁾₁ 𝐟𝐟_𝐾𝐾⁽¹⁾₁ ⎦⎥⎥⎤

,

- podsystem (2) - nadwozie, przednie zawieszenia 2, przednie koło 2

𝐀𝐀⁽²⁾=

⎣⎢

⎢⎢

⎡𝐀𝐀⁽²⁾^{𝑁𝑁,𝑁𝑁} 𝐀𝐀⁽²⁾_{𝑁𝑁,𝑍𝑍}₂ 𝐀𝐀_{𝑁𝑁,𝐾𝐾}⁽²⁾₂ 𝐀𝐀⁽²⁾_𝑍𝑍₂_,𝑁𝑁 𝐀𝐀⁽²⁾_𝑍𝑍₂_,𝑍𝑍₂ 𝐀𝐀⁽²⁾_𝑍𝑍₂_,𝐾𝐾₂ 𝐀𝐀⁽²⁾_𝐾𝐾₂_,𝑁𝑁 𝐀𝐀_𝐾𝐾⁽²⁾₂_,𝑍𝑍₂ 𝐀𝐀⁽²⁾_𝐾𝐾₂_,𝐾𝐾₂⎦⎥⎥⎥⎤

,

𝐪𝐪⁽²⁾= � 𝐪𝐪^(𝑁𝑁) 𝐪𝐪^�𝑍𝑍^𝑝𝑝^,2�

𝜑𝜑^(𝐾𝐾,2)

�, 𝐟𝐟⁽²⁾=

⎣⎢

⎢⎡𝐟𝐟^𝑁𝑁⁽²⁾ 𝐟𝐟_𝑍𝑍⁽²⁾₂ 𝐟𝐟_𝐾𝐾⁽²⁾₂ ⎦⎥⎥⎤

,

(4)

- podsystem (3) - nadwozie, tylne zawieszenie, tylne koła 3 i 4

𝐀𝐀⁽³⁾=

⎣⎢

⎢⎢

⎡𝐀𝐀⁽³⁾^{𝑁𝑁,𝑁𝑁} 𝐀𝐀⁽³⁾_{𝑁𝑁,𝑍𝑍}₂ 𝐀𝐀⁽³⁾_{𝑁𝑁,𝐾𝐾}₃ 𝐀𝐀⁽³⁾_𝑍𝑍₃_,𝑁𝑁 𝐀𝐀⁽³⁾_𝑍𝑍₃_,𝑍𝑍₂ 𝐀𝐀⁽³⁾_𝑍𝑍₃_,𝐾𝐾₃ 𝐀𝐀⁽³⁾_𝐾𝐾₃_,𝑁𝑁 𝐀𝐀⁽³⁾_𝐾𝐾₃_,𝑍𝑍₂ 𝐀𝐀⁽³⁾_𝐾𝐾₃_,𝐾𝐾₃⎦⎥⎥⎥⎤

,

𝐪𝐪⁽³⁾= � 𝐪𝐪^(𝑁𝑁) 𝐪𝐪^(𝑍𝑍^𝑡𝑡⁾ 𝐪𝐪_𝐾𝐾⁽³⁾₃

�, 𝐟𝐟⁽³⁾=

⎣⎢

⎢⎡𝐟𝐟^𝑁𝑁⁽³⁾ 𝐟𝐟_𝑍𝑍⁽³⁾₃ 𝐟𝐟_𝐾𝐾⁽³⁾₃⎦⎥⎥⎤

,

gdzie: 𝐪𝐪𝐾𝐾3

(3)= [𝜑𝜑^(𝐾𝐾,3) 𝜑𝜑^(𝐾𝐾,4) ]^𝑇𝑇.

Po odpowiednich przekształceniach [13, 34] równania ruchu pojazdu osobowego można przedstawić w postaci:

𝐀𝐀𝐪𝐪̈ + 𝚽𝚽𝒒𝒒𝐫𝐫 = 𝐟𝐟

𝚽𝚽𝒒𝒒𝑇𝑇𝐪𝐪̈ = 𝐰𝐰 (9) gdzie: 𝐀𝐀 = �𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗�𝑖𝑖=1,…,16,𝑗𝑗=1,…,16 - macierz mas pojazdu,

𝐪𝐪 = (𝑞𝑞𝑖𝑖)_{𝑖𝑖=1,…,16} - wektor współrzędnych uogólnio- nych pojazdu,

𝚽𝚽𝒒𝒒= �𝛷𝛷𝑖𝑖,𝑗𝑗�𝑖𝑖=1,…,16,𝑗𝑗=1,2 - macierz więzów, 𝐫𝐫 = (𝑡𝑡𝑖𝑖)_𝑖𝑖=1,2 - wektor niewiadomych reakcji, 𝐟𝐟 = (𝑓𝑓𝑖𝑖)_{𝑖𝑖=1,…,16} - wektor sił,

𝐰𝐰 = (𝑤𝑤𝑖𝑖)_𝑖𝑖=1,2 - wektor prawych stron równań́ wię- zów.

Elementy macierzy 𝐀𝐀 i 𝚽𝚽𝒒𝒒 oraz wektorów 𝐫𝐫, 𝐟𝐟 i w przedstawiono w pracach [13, 34]. Siły oddziaływania jezdni na koła pojazdu wyznaczano na podstawie modelu opony Dugoffa-Fenchera-Segela, z modyfikacją Uffelmanna [1, 31, 34]. Model ten charakteryzuje się małą liczbą współ- czynników empirycznych, które można dobierać na podstawie podobieństwa do innych opon. Zalety modelu wpłynęły na jego częste wykorzystywanie w autorskich programach [1, 2, 13, 30, 31].

3. ZADANIE OPTYMALIZACJI

Analizowany jest ruch pojazdu osobowego podczas manewru zmiany pasa ruchu wraz z nagłą zmianą rodzaju nawierzchni. Współczynnik przyczepności zmienia się z 𝜇𝜇𝐴𝐴 na 𝜇𝜇𝐿𝐿, gdzie 𝜇𝜇𝐿𝐿< 𝜇𝜇𝐴𝐴, a pojazd wypada poza granice jezdni (rys. 3).

Rys. 3. Trajektoria pojazdu w czasie zmiany pasa ruchu Celem optymalizacji jest dobór takich momentów hamu- jących działających na poszczególne koła pojazdu podczas

manewru, aby pojazd utrzymał zadaną trajektorię w granicach drogi. Problem został zdefiniowany jako zadanie optymalizacji dynamicznej, w czasie której w każdym kroku procedury optymalizacyjnej należy całkować rów- nania ruchu (9). Brak jak również niewłaściwie dobrane momenty hamujące mogą spowodować kolizję drogową.

W przedstawionym problemie zmienne decyzyjne okre- ślają wartości momentów hamujących oddziałujących na poszczególne koła pojazdu w dyskretnych chwilach czasowych:

𝐌𝐌^(𝑖𝑖)= �𝑀𝑀1(𝑖𝑖) … 𝑀𝑀_𝑗𝑗^(𝑖𝑖) … 𝑀𝑀_𝑛𝑛

𝑚𝑚(𝑖𝑖)

(𝑖𝑖)�^𝑇𝑇 (10) gdzie: 𝑀𝑀_𝑗𝑗^(𝑖𝑖) - wartość momentu hamującego w chwili cza-

sowej 𝑗𝑗,

𝑛𝑛𝑚𝑚(𝑖𝑖) - liczba dyskretnych chwil czasowych dla koła Do otrzymania funkcji ciągłej zmiennych decyzyjnych za-𝑖𝑖.

stosowano funkcje sklejane pierwszego stopnia, a wektor zmiennych decyzyjnych można przedstawić w postaci:

𝐌𝐌 = �𝐌𝐌^(1)𝑇𝑇 … 𝐌𝐌^{(𝑖𝑖)𝑇𝑇} … 𝐌𝐌^(𝑛𝑛^𝑤𝑤^)𝑇𝑇�^𝑇𝑇 (11) gdzie 𝑛𝑛𝑤𝑤 jest liczbą kół pojazdu. Funkcję celu w postaci ogólnej można przedstawić w postaci [24]:

Ω(𝐗𝐗1, … , 𝐗𝐗𝑖𝑖, … , 𝐗𝐗𝑛𝑛Ω) → min (12) gdzie: 𝐗𝐗𝑖𝑖 - zależność funkcji celu,

𝑛𝑛Ω - liczba zależności funkcji celu.

Założono, że funkcja celu określa minimalny spadek pręd- kości pojazdu poprzez minimalizację funkcjonału:

Ω�(𝐌𝐌, 𝐪𝐪̇) = 𝑐𝑐 ∫ (𝑣𝑣₀^𝑑𝑑^𝑒𝑒 0− 𝑣𝑣_𝑒𝑒)𝑑𝑑𝑡𝑡 → min (12) gdzie: 𝑐𝑐 - waga określona empirycznie,

𝑡𝑡𝑒𝑒 - czas symulacji,

𝑣𝑣₀ - prędkość początkowa pojazdu,

𝑣𝑣_𝑒𝑒= ��𝑥𝑥̇^(𝑁𝑁)(𝑡𝑡𝑒𝑒)�²+ �𝑦𝑦̇^(𝑁𝑁)(𝑡𝑡𝑒𝑒)�² - prędkość pojazdu po zakończeniu symulacji.

Dodatkowo przyjęto ograniczenia nierównościowe określa- jące minimalne i maksymalne wartości momentów hamu- jących oraz warunki sprawdzające czy po zakończeniu manewru kąt odchylania pojazdu jest bliski zeru (ruch równoległy do osi jezdni):

𝐌𝐌_{𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛}≤ 𝐌𝐌 ≤ 𝐌𝐌_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} (13)

�𝜓𝜓^(𝑁𝑁)(𝑡𝑡_𝑒𝑒)� ≤ 0 (14) Ogólną postać ograniczeń można zapisać następująco:

𝑔𝑔𝑖𝑖(𝐌𝐌, 𝐪𝐪) ≤ 0 (15) gdzie: 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛𝑔𝑔,

𝑛𝑛𝑔𝑔 - liczba ograniczeń nierównościowych.

Ograniczenia uwzględniono w zadaniu optymalizacji poprzez zewnętrzną funkcję kary [24, 25]:

𝜁𝜁𝑖𝑖(𝐌𝐌, 𝐪𝐪) = �0 dla 𝑔𝑔𝑖𝑖(𝐌𝐌, 𝐪𝐪) ≤ 0 𝑐𝑐1,𝑖𝑖𝑒𝑒^𝑐𝑐^2,𝑖𝑖^𝑔𝑔^𝑖𝑖^{(𝐌𝐌,𝐪𝐪)} dla 𝑔𝑔𝑖𝑖(𝐌𝐌, 𝐪𝐪) > 0 (16)

(5)

gdzie 𝑐𝑐1,𝑖𝑖 i 𝑐𝑐2,𝑖𝑖 są wagami dobieranymi empirycznie.

W przedstawionym zadaniu funkcja celu zawiera skład- niki określające spadek prędkości pojazdu w czasie wykonywania manewru oraz ograniczenia (13) i (14):

Ω(𝐌𝐌, 𝐪𝐪, 𝐪𝐪̇) = Ω�(𝐌𝐌, 𝐪𝐪̇) + ∑^𝑛𝑛_𝑖𝑖=1^𝑔𝑔 𝜁𝜁𝑖𝑖(𝐌𝐌, 𝐪𝐪)→ min (17) Do rozwiązania tak postawionego zadania wykorzystano trzy metody ewolucyjne charakteryzujące się różnym stopniem skomplikowania. Pierwsza z nich algorytm genetyczny (GA) [28, 29] o rzeczywisto-wartościowej repre- zentacji genów w chromosomie wykorzystywał następu- jące operatory genetyczne:

- selekcję - operator wybierający chromosomy do dalszej reprodukcji zgodnie z zasadą, że chromosomy o wyższych wartościach funkcji przystoso- wania są częściej wybierane,

- krzyżowanie - operator losowo wybierający dwa chromosomy, a następnie zamieniający sekwen- cje ich genów. Wykorzystano krzyżowanie aryt- metyczne [29, 34], gdzie nowy chromosom jest kombinacją liniową dwóch wektorów:

𝐱𝐱_𝑖𝑖^𝑘𝑘+1= 𝑎𝑎𝐱𝐱_𝑖𝑖^𝑘𝑘+ (1 − 𝑎𝑎)𝐱𝐱_𝑗𝑗^𝑘𝑘

𝐱𝐱_𝑗𝑗^𝑘𝑘+1= (1 − 𝑎𝑎)𝐱𝐱_𝑖𝑖^𝑘𝑘+ 𝑎𝑎𝐱𝐱_𝑗𝑗^𝑘𝑘 (18) - mutację - operator losowo zamieniający wartości

genów w chromosomie. Zastosowano mutację równomierną [28]. Jeżeli do mutacji wybrano gen 𝑥𝑥𝑖𝑖 chromosomu 𝐱𝐱^𝑘𝑘= �𝑥𝑥1𝑘𝑘 … 𝑥𝑥_𝑖𝑖^𝑘𝑘 … 𝑥𝑥_𝑛𝑛^𝑘𝑘�^𝑇𝑇, to wynikiem jest chromosom:

𝐱𝐱^𝑘𝑘+1= �𝑥𝑥1𝑘𝑘 … 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘+1 … 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔�^𝑇𝑇 (19) gdzie: 𝑎𝑎 ∈ [0,1] - liczba losowa,

𝑥𝑥_𝑖𝑖^𝑘𝑘+1= �𝑥𝑥_𝑖𝑖^𝑘𝑘+ Δ(𝑥𝑥max− 𝑥𝑥_𝑖𝑖^𝑘𝑘) dla 𝑏𝑏 = 0 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘− Δ(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘− xmin) dla 𝑏𝑏 = 1, 𝑏𝑏 ∈ {0,1} - liczba losowa,

Δ(𝑥𝑥) ∈ [0, 𝑥𝑥] - liczba losowa, 𝑛𝑛_{𝑔𝑔𝑛𝑛} - liczba genów w chromosomie.

W algorytmie genetycznym rozwiązywano zadanie mak- symalizacji, a funkcja oceny określała miarę jakości osobnika w populacji według wzoru:

𝛺𝛺^{(𝐺𝐺𝐴𝐴)}(𝐌𝐌, 𝐪𝐪, 𝐪𝐪̇) =𝛺𝛺(𝐌𝐌,𝐪𝐪,𝐪𝐪̇)^𝑐𝑐^{(𝐺𝐺𝐺𝐺)} → max (20) gdzie 𝑐𝑐^{(𝐺𝐺𝐴𝐴)} jest wagą dobieraną empirycznie. Algorytm postępowania w optymalizacji z wykorzystaniem algorytmu genetycznego przedstawiono na rys. 4.

Rys. 4. Schemat blokowy działania algorytmu genetycznego Drugą rozważaną metodą była metoda PSO (Particle Swarm Opitmization), która należy do grupy nieliniowych metod stochastycznych [6, 23, 27]. Metoda ta po raz pierwszy została przedstawiona w 1995 roku przez Eber- harta oraz Kennedy’ego. W algorytmie PSO potencjalne rozwiązanie, nazywane również cząstką, porusza się w przestrzeni stanu biorąc pod uwagę aktualne w danej iteracji rozwiązania optymalne. Rozwiązania początkowe są generowane w sposób losowy, analogicznie jak w innych metodach ewolucyjnych [29]. Cząstka jest opisana przez jej pozycję oraz prędkość. Cechy te są aktualizowane w każdym kroku algorytmu, a wielkość tej zmiany jest za- leżna od wartości rozwiązania optymalnego w danej iteracji oraz we wszystkich dotychczas wykonanych krokach.

Prędkość i pozycję cząstki w kolejnym kroku można wy- znaczyć z zależności [6, 7, 23]:

𝐯𝐯^{𝑖𝑖,𝑗𝑗+1}= 𝑐𝑐₁𝐯𝐯^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}+ 𝑐𝑐₂𝑡𝑡₁^{𝑖𝑖,𝑗𝑗 �𝐩𝐩}^𝐿𝐿^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}_Δ𝑑𝑑^−𝐩𝐩^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}^�+ 𝑐𝑐₃𝑡𝑡₂^{𝑖𝑖,𝑗𝑗 �𝐩𝐩}^𝐺𝐺^𝑗𝑗_Δ𝑑𝑑^−𝐩𝐩^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}^� (21) 𝐩𝐩^{𝑖𝑖,𝑗𝑗+1}= 𝐩𝐩^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}+ Δ𝑡𝑡𝐯𝐯^{𝑖𝑖,𝑗𝑗+1} (22) gdzie: 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛𝑐𝑐 - numer cząstki,

𝑛𝑛𝑐𝑐 - liczba cząstek w roju, 𝑗𝑗 - numer iteracji, 𝐯𝐯^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}= �𝑣𝑣_𝑘𝑘^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}�_{𝑘𝑘=1,…,𝑛𝑛}

𝑑𝑑 - wektor prędkości cząstki 𝑖𝑖 w iteracji 𝑗𝑗,

𝐩𝐩^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}= �𝑝𝑝_𝑘𝑘^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}�_{𝑘𝑘=1,…,𝑛𝑛}

𝑑𝑑 - wektor pozycji cząstki 𝑖𝑖 w iteracji 𝑗𝑗,

𝐩𝐩_𝐿𝐿^{𝑖𝑖,𝑗𝑗} - najlepsza pozycja cząstki 𝑖𝑖 uzyskana w itera- cjach od 1 do j,

𝐩𝐩_𝐺𝐺^𝑗𝑗 - najlepsza pozycja cząstki uzyskana w itera- cjach od 1 do j,

𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, 𝑐𝑐3 - współczynniki: bezwładności, kognitywny i społeczny [5, 6],

𝑡𝑡₁^{𝑖𝑖,𝑗𝑗}, 𝑡𝑡₂^{𝑖𝑖,𝑗𝑗} - liczby losowe generowane w iteracji 𝑗𝑗 dla cząstki 𝑖𝑖,

Δ𝑡𝑡 - wartość kroku czasowego.

(6)

W metodzie PSO rozwiązywano zadanie minimalizacji, a funkcja oceny jest tożsamej funkcji celu (17). Algorytm postępowania optymalizacyjnego przedstawiono na rys. 5.

Rys. 5. Schemat blokowy działania metody PSO

Dodatkowo wprowadzono modyfikację, zaczerpniętą z innych algorytmów ewolucyjnych, pozwalającą na losowe wprowadzenie nowego materiału genetycznego do roju.

W końcowym kroku każdej iteracji, losowo, z bardzo nie- wielkim prawdopodobieństwem, cząstki zostały uśmier- cane, a na ich miejsce wprowadzano nowe, z losowymi wartościami pozycji i prędkości. Ostatnią z rozważanych metod była metoda Particle Swarm Evolver (PSE), w której definiuje się więcej niż jeden rój składający się z określonej liczby cząstek [4, 8]. Poszczególne kroki przy generowaniu rozwiązania optymalnego metodą PSE zo- stały pokazane na rys. 6.

Rys. 6. Schemat blokowy działania metody PSE

Generowanie nowych pozycji i prędkości cząstek w rojach odbywa się niezależnie, zgodnie z zasadami metody PSO.

W tej części algorytmu rozwiązuje się zadanie minimalizacji, a funkcja oceny jest równoważna funkcji celu (17).

Po kilku generacjach metodą PSO roje traktuje się jako osobniki w populacji algorytmu genetycznego. Następnie przeprowadza się operacje genetyczne uwzględniające se- lekcję, krzyżowanie i mutację. Selekcja polega na wyborze do następnej iteracji tych osobników (rojów), które posia- dają największą wartość funkcji oceny. Funkcja oceny w tym przypadku jest odwrotnie proporcjonalna do su- marycznej wartości cząstek w roju i można ją zapisać w postaci:

𝛺𝛺_𝑖𝑖^{(𝑃𝑃𝑃𝑃𝜕𝜕}^{𝐺𝐺𝐺𝐺}⁾=_∑ ^𝑐𝑐_𝛺𝛺^{(𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃)}

𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝐌𝐌,𝐪𝐪,𝐪𝐪̇) 𝑔𝑔𝑐𝑐,𝑖𝑖

𝑗𝑗=1 → max (23)

gdzie: 𝑐𝑐^{(𝑃𝑃𝑃𝑃𝜕𝜕)} - waga określana empirycznie, 𝑛𝑛_{𝑐𝑐,𝑖𝑖} - liczba cząstek w 𝑖𝑖-tym roju,

𝛺𝛺𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝐌𝐌, 𝐪𝐪, 𝐪𝐪̇) - wartość funkcji celu 𝑗𝑗-tej cząstki w 𝑖𝑖-tym roju.

(7)

Krzyżowanie między dwoma osobnikami (rojami) polega na wymianie losowych cząstek z rojów w taki sposób, aby zapewnić niezmienną liczbę cząstek w roju. Mutacja natomiast polega na wymianie pojedynczej cząstki w roju i zazwyczaj jest realizowana jako operacja wprowadzająca do roju cząstkę z losowymi wartościami pozycji i prędkości.

4. WYNIKI SYMULACJI

Algorytmy umożliwiające formułowanie, rozwiązywanie równań dynamiki, symulację ruchu pojazdu osobowego oraz procedury optymalizacji zostały zaimplementowane we własnym programie komputerowym napisanym w ję- zyku C++. Obliczenia prowadzono na komputerze Intel Core i5-4278U CPU 2,60 GHz, 16 GB RAM z systemem operacyjnym OS X (macOS Sierra 10.12.1). Rozważano przypadek, w którym pojazd poruszający się z pewną prędkością początkową wykonuje manewr zmiany pasa ruchu. Przedmiotem badań było wyznaczenie optymalnych momentów hamujących zapewniających bezpieczeń- stwo pojazdu w czasie wykonywania manewru. W symulacjach numerycznych przyjęto, że manewr trwał 7 s, a po upływie 2,6 s współczynnik przyczepności nawierzchni zmienia się z wartości 0,9 na 0,1. Przedstawiona sytuacja odpowiada przypadkowi, w którym pojazd wjeż- dża z suchej drogi asfaltowej na powierzchnię pokrytą lo- dem. W symulacjach przyjęto, że samochód porusza się po drodze krajowej klasy S, dla której szerokość pojedyn- czego pasa ruchu, zgodnie z rozporządzeniem Ministra In- frastruktury i Rozwoju [11], wynosi 3,5 m. Założono pręd- kość początkową pojazdu równą 100 km/h. Parametry fi- zyczne pojazdu osobowego przyjęto z pracy [13]. W obli- czeniach założono, że liczba dyskretnych chwil czasowych, dla których wyznaczane są wartości momentów hamują- cych, wynosi 21. Do całkowania równań ruchu w każdym kroku procesu optymalizacji zastosowano stałokrokową metodę Rungego-Kutty 4 rzędu [25]. Minimalne i maksymalne wartości momentów hamujący stanowiących ograniczenia nierównościowe dla przednich kół przyjęto:

𝑀𝑀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛= 0 Nm i 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 1100 Nm, natomiast odpowiednie

momenty graniczne dla tylnych kół pojazdu są następu- jące: 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛= 0 Nm i 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 1000 Nm. Przebieg wymuszenia działającego na przednie koła pojazdu poprzez zawieszenia przedstawiono na rys. 7.

Rys. 7. Przebieg wymuszenia działającego na przednie koła pojazdu.

W optymalizacji za pomocą trzech rozważanych metod przyjęto parametry opisane w tabelach 1-3.

Tabela 1 Parametry metody GA używane podczas optymalizacji

Nazwa parametru Wartość

Liczba chromosomów w populacji 30

Liczba iteracji 50

Prawdopodobieństwo krzyżowania 60%

Prawdopodobieństwo mutacji 20%

Tabela 2 Parametry metody PSO używane podczas optymalizacji

Liczba cząstek 30

Liczba iteracji 50

Współczynnik bezwładności 0,729

Współczynnik kognitywny 1,49445

Współczynnik społeczny 1,49445

Prawdopodobieństwo śmierci cząstki 1%

Tabela 3 Parametry metody PSE używane podczas optymalizacji

Liczba rojów 3

Liczba cząstek w każdym roju 20

Liczba iteracji PSO w jednej iteracji GA 10

Liczba iteracji metodą GA 20

Współczynnik bezwładności 0,729

Współczynnik kognitywny 1,49445

Współczynnik społeczny 1,49445

Prawdopodobieństwo śmierci cząstki 1%

Prawdopodobieństwo krzyżowania 60%

Prawdopodobieństwo mutacji 20%

Na rys. 8 przedstawiono przebieg trajektorii pojazdu bez momentów hamujących oraz z momentami wyznaczonymi w procesie optymalizacji.

(8)

Rys. 8. Przebieg trajektorii pojazdu

Serie danych na rys. 8-10 oznaczono jako: 1) przed opty- malizacją dla 𝜇𝜇=0,9, 2) przed optymalizacją, 3) po optymalizacji metodą GA, 4) po optymalizacji metodą PSO, 5) po optymalizacji metodą PSE. Można zauważyć w przypadku zastosowania optymalnych momentów ha- mujących samochód nie wykracza poza granice jezdni.

Starta prędkości wypadkowej na płaszczyźnie jezdni wskutek działania momentów hamujących jest niewielka i wynosi średnio 2%. Przebiegi kątów odchylania i przechylenia nadwozia pojazdu przedstawiono na rys. 9 i 10.

Najmniejszą wartość funkcji celu uzyskano, prowadząc optymalizację metodą PSE (2,20), następnie metodą PSO (2,22) i algorytmami genetycznymi (2,82). W każdym przypadku uzyskany przebieg momentów hamujących umożliwił bezpieczne wykonanie manewru. Należy zazna- czyć, że bez optymalizacji wartość funkcji celu wynosiła około 28.

Rys. 9. Przebieg kąta odchylania nadwozia pojazdu.

Rys. 10. Przebieg kąta przechylenia nadwozia pojazdu

Rys. 11. Momenty hamujące działające na koła 1-4.

Wartości zmiennych decyzyjnych, czyli momentów hamu- jących dla najlepszej z analizowanych metod (PSE) uzy- skane w procesie optymalizacji działających na koła pojazdu przedstawiono na rys. 12. Z przedstawionych prze- biegów można zauważyć, że wartości momentów hamują- cych nie przekraczają 50 Nm. Otrzymane wartości są za- tem znacznie niższe od przejętych granicznych wartości momentów hamujących dla kół przednich i tylnych. Na- leży jednak zaznaczyć, że niewłaściwie dobrane momenty hamujące nawet o niewielkich wartościach zwiększają możliwość przemieszczenia się pojazdu poza pas ruchu jak również możliwość kolizji drogowej.

5. PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono rozwiązanie zadania doboru mo- mentów hamujących działających na koła pojazdu umoż- liwiających bezpieczne wykonanie manewru zmiany pasa ruchu. Analizowano przypadek, w którym pojazd porusza się po drodze o zmiennym współczynniku przyczepności.

W wyniku rozwiązania zadania optymalizacji dynamicznej otrzymano optymalne przebiegi momentów hamują- cych umożlwiających utrzymanie trajektorii pojazdu w granicach drogi. Stosowany podczas optymalizacji model pojazdu uwzględnia ruch nadwozia jako bryły sztyw- nej, ruch kół oraz podatność zawieszeń zależnych i nieza- leżnych. Zadanie optymalizacji rozwiązano z użyciem

(9)

algorytmów wywodzących się z metod inteligencji oblicze- niowej takich jak algorytmy genetyczne, metoda PSO i PSE. Dużą ich zaletą jest możliwość otrzymania rozwią- zania globalnie optymalnego w danym zbiorze dopuszczal- nym. Czas obliczeń optymalizacyjnych był różny dla oma- wianych metod. Dla parametrów przedstawionych w tabelach 1-3 algorytm genetyczny wykonywał obliczenia przez około 4 godz., metoda PSO 1,5 godz., natomiast PSE jest przez około 12 godz. Najlepsze wyniki, czyli naj- mniejszą wartość funkcji celu uzyskano, stosując metodę PSE, jednakże jej długi czas działania wskazuje, że kom- promisem między wydajnością a jakością jest stosowanie metody PSO. Ze względu na możliwość generowania

nowych pozycji i prędkości cząstek w rojach w metodzie PSE sposób w niezależny można wykorzystać obliczenia równoległe do wyznaczenia wartości pozycji i prędkości w rojach. Zdaniem autora taka modyfikacja przyspieszy znacznie proces optymalizacji i pozwoli znaleźć szersze zastosowanie dla metody PSE. Otrzymane z optymalizacji dynamicznej wyniki można wykorzystać do weryfikacji istniejących rozwiązań zapewniających bezpieczeństwo pojazdu jak i do przygotowania zbioru uczącego sztucznej sieci neuronowej, która po odpowiednim przygotowaniu może zostać wykorzystana w sterowniku pojazdu działa- jąc w czasie rzeczywistym.

Literatura

1. Adamiec-Wójcik I.: Modelling dynamics of multibody systems using homogenous transformations. Bielsko-Biała, Wyd. ATH, 2003.

2. Augustynek K., Warwas K.: Zastosowanie metody PSO w optymalizacji ruchu samochodu osobowego. „Modelo- wanie Inżynierskie” 2016, nr 42, s. 5-12.

3. Bauchau O. A.: Flexible multibody dynamics, solid mechanics and its applications. Springer Netherlands, 2011.

4. Bhattacharyya S., Dutta P.: Handbook of research on swarm intelligence in engineering. IGI Global, 2015.

5. Chodnicki P., Guzek M., Lozia Z., Mackiewicz W., Stegienka I.: autoPW – wirtualne środowisko badań kierowców.

„Czasopismo Techniczne”, Mechanika, 2008, zeszyt 10 (105), z. 6-M/2008, s. 29-38.

6. Clerc M.: From theory to practice in particle swarm optimization. Handbook on Swarm Intelligence, 2010, Vol. 8, p. 3-36.

7. Clerc M.: Particle swarm optimization. John Wiley & Sons, 2013.

8. Fernández F., Perez J., Lanchares J.: Parallel architectures and bioinspired algorithms. Springer-Verlag, 2012.

9. Gajek A., Walczak S.: Analiza możliwości oceny współczynnika przyczepności między kołem a jezdnią podczas hamowania prostoliniowego, „Archiwum Motoryzacji”, 2006, 2, s. 103-115.

10. García de Jalón J., Bayo E.: Kinematic and dynamic simulation of multibody systems: the real-time challenge.

Springer-Verlag, New-York, 1994.

11. Głuch M.: Dziennik Ustaw Rzeczypospolitej Polskiej, Poz. 124, Obwieszczenie Ministra Infrastruktury I Budow- nictwa, 2016.

12. Gniłka J., Mężyk A.: Experimental identification and selection of dynamic properties of a high-speed tracked vehicle suspension system. “Eksploatacja i Niezawodność - Maintenance and Reliability” 2017, s. 108-113.

13. Grzegożek W., Adamiec-Wójcik I., Wojciech S.: Komputerowe modelowanie dynamiki pojazdów samochodowych.

Kraków: Wyd. Pol. Krak., 2003.

14. Hassan R., Cohanim B., De Weck O.: Venter G.: Comparison of particle swarm optimization and the genetic algorithm. In: 46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference”, Texas, 2005.

15. Hunaini F., Robandi I., Sutantra N.: Lateral and yaw motion control of the vehicle using fuzzy logic and PID being optimized by firefly algorithm. “Journal of Theoretical and Applied Information Technology” Vol. 87m 2916, s. 16-24.

16. Kachitvichyanukul K.: Comparison of three evolutionary algorithms: GA, PSO, and DE, Industrial Engineering

& Management Systems, 2012, Vol 11, No 3, p. 2015-223.

17. Li A., Zhao W., Li S., Qiu X., Wang X.: Research on the motion trajectory optimization method based on the improved genetic algorithm for an intelligent vehicle. In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 2016, p. 1729-1740.

(10)

18. Lozia Z.: Modele symulacyjne ruchu i dynamiki dwóch pojazdów uprzywilejowanych. „Czasopismo Techniczne”, zeszyt 8, Mechanika, zeszyt 3-M/2012, s. 19-34.

19. Lozia Z.: Szacowanie wystąpienia zagrożenia wypadkiem w postaci przewrócenia się pojazdu kołowego na bok.

„Autobusy: Technika, Eksploatacja, Systemy Transportowe” 2015, nr 6, s. 142-147.

20. Lundahl K.: Modeling and optimization for critical vehicle maneuvers. Linköping studies in science and technology Thesis. No. 1608, 2013.

21. Michalski R.: Modelowanie bezpieczeństwa pojazdów samochodowych, „Logistyka”, 2010, 4, CD.

22. Parczewski K., Wnęk H.: Wykorzystanie przyczepności podczas hamowania pojazdu. „Eksploatacja i Niezawod- ność: Maintenance and Reliability”, 2012, nr 2, Vol. 14, s. 176-180.

23. Parsopoulos K., Vrahatis M.: Particle swarm optimization and intelligence: advances and applications, IGI Global, 2010.

24. Pedregal P.: Introduction to optimization. Springer-Verlag Inc., 2004.

25. Press W., Teukolsky W., Vetterling S., Flannery W. B.: Numerical recipes.3rd ed.: The Art of Scientific Compu- ting, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

26. Rajendran P., Yit K.: Aerial path planning for terrain surveying using evolutionary algorithms, advanced engineering: Current Perspective, 2016, p. 129-154.

27. Sahnehsaraei M., Mahmoodabadi M., Taherkhorsandi M., Castillo K., Yazdi S.: A hybrid global optimization algorithm: particle swarm optimization in association with a genetic algorithm. Complex System Modelling and Control Through Intelligent Soft Computations, Springer, 2015, p. 45-86.

28. Sayin A., Ozer H.: Controlling of the full vehicle model using sliding mode control optimized by genetic algorithm.

In: International Conference on Engineering Vibration, 2015, p. 886-896.

29. Sivanandam S.N., Deepa S. N.: Introduction to genetic algorithms. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin, 2008.

30. Szczotka M., Tengler S., Wojciech S.: Numerical effectiveness of models and methods of integration of the equations of motion of a car. „Differential Equations and Nonlinear Mechanics”, Hindawi, 2007, Article ID 49157, 13 pp.

31. Szczotka M., Wojciech S.: Application of joint coordinates and homogeneous transformations to modeling of vehicle dynamics. „Nonlinear Dynamics” 2008, Vol. 52, Iss. 4, p. 377-393.

32. Szumska E., Młodzińska D., Jurecki R.: Wpływ stanu nawierzchni drogi na skuteczność hamowania pojazdu.

„Logistyka”, 2014, 6, s. 10430-10439.

33. Vanneschi L., Codecasa D., Mauri G.: An empirical comparison of parallel and distributed particle swarm optimization methods. In: Proceedings of the 12th annual conference on Genetic and evolutionary computation, 2010, p. 15-22.

34. Warwas K.: Analiza i sterowanie ruchem pojazdów wieloczłonowych z uwzględnieniem podatności elementów.

Praca doktorska. Bielsko-Biała: ATH, 2009.

35. Warwas K., Augustynek K.: Dynamic optimisation of articulated vehicle motion for control of stability in critical situation. “IDAACS 2015: 8th IEEE International Conference on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: Technology and Applications:”, 2015, Vol. 1, p. 232-237.

36. Wittbrodt E., Adamiec-Wójcik I., Wojciech S.: Dynamics of flexible multibody systems, rigid finite element method. Springer, 2006.

37. Zhuang Y., Sharma S., Subudhi B., Huang H., Wan, J.: Efficient collision-free path planning for autonomous underwater vehicles in dynamic environments with a hybrid optimization algorithm. “Ocean Engineering” 2016, Vol. 127, 2016, p. 190-199.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl