ZESZ Y TY N A U K O W E PO LITECH N IK I ŚLĄSK IEJ Seria: T R A N S P O R T z. 42
2001 N r kol. 1524
B ogna M R Ó W C Z Y Ń SK A , T adeusz BURCZY Ń SK I
A L G O R Y T M Y O P T Y M A L I Z A C J I K O L E J O W Y C H Z E S T A W Ó W K O Ł O W Y C H
Streszczenie. W pracy om ów iono algorytm y stosow ane do optym alizacji konstrukcji.
Szczegółow o przedstaw iono algorytm optym alizacji ew olucyjnej w ybrany przez autorów do rozw iązania zagadnienia optym alizacji kolejow ych zestaw ów kołow ych. Jego zastosow anie przedstaw iono na przykładzie optym alizacji w ielkości w cisków na połączeniu koła z osią.
THE O PTIM IZA TIO N ALGORITM S OF RAILW AY W HEEL SET
Sum m ary. In this paper the algorithm s o f construction’s optim isation are presented. To solve the problem o f m inim ization o f the effort o f the railw ay w heel set the evolutionary algo
rithm is selected and described in details. A s an application o f this algorithm the selection o f the interference betw een wheel and axle in wheel set is solved.
1. W PR O W A D Z E N IE
Jednym z w ażniejszych zespołów układu biegow ego pojazdu szynow ego je st zestaw ko
łow y. M a on bezpośredni w pływ na bezpieczeństw o ruchu kolejow ego. Z agadnienie w ytrzy
m ałości zestaw u kołow ego je s t na tyle złożone, Ze w św ietle w ym agań staw ianych w spółcze
snym konstrukcjom pojazdów szynow ych w skazane je s t stosow anie w procesie projektow ania najnow szych m etod obliczeniow ych [3, 4, 5]. O ile jed n ak stosow anie np. m etody elem entów skończonych (M ES) do analizy w ytrzym ałościow ej je st ju ż dla konstruktora codziennością, to w projektow aniu kieruje się ciągle in tu ic ją któ rą m o g ą w spom óc algorytm y optym alizacji.
W poniższej pracy przedstaw iono w ybrane algorytm y stosow ane w optym alizacji kon
strukcji. Z aprezentow ano w ybrany algorytm na przykładzie optym alizacji w cisku.
2. M E T O D Y O PTY M A LIZA C JI N IELIN IO W EJ
Jest w iele m etod rozw iązania zadania optym alizacji konstrukcji [6]. Ze w zględu na nieli
niow ość funkcji celu f(x) są to zadania program ow ania nieliniow ego postaci:
m in f(x) (2.1)
192 B. M rów czyńska, T. Burczyński
gdzie w ektor zm iennych projektow ych: x = [ x i , . . . , x„] (2.2) przy ograniczeniach x, mjn < x* < X; max i = 1 ,... n. (2.3)
Do tego typu zadań w skazane je s t zastosow anie m etod optym alizacji nieliniow ej. W ięk
szość ze stosow anych algorytm ów to algorytm y iteracyjne. Poszukując m inim um funkcji celu f(x) w ychodzi się z początkow ego punktu xo i w kolejnych krokach iteracji w yznacza rozw ią
zania Xk takie, że f(xt) < f(Xk.i). W każdym kroku prosta przechodząca przez punkty xk., i xk w yznacza kierunek poszukiw ań.
M etoda najszybszego spadku
W tej m etodzie za kierunek poszukiw ań przyjm uje się ujem ny w ektor gradientu m inim ali
zow anej funkcji. K olejne kierunki poszukiw ań są do siebie ortogonalne. W każdym kroku optym alizacji w yszukiw ane je st m inim um funkcji w danym kierunku. Za wadę m etody uważa się sztyw ność kierunków poszukiw ań, co grozi om inięciem punktu m inim um .
M etoda N ew tona
Jest to m etoda drugiego rzędu, tzn. w kolejnym kroku iteracji
xt = xi , - H - ' ( f ( x , , ) ) - V f ( x i . i ) (2.4) gdzie H(f(xk-i)) - hesjan funkcji celu, a V f(Xk-i) - gradient funkcji celu.
M etoda ta m a w iele m odyfikacji polegających na poszukiw aniu w każdym kroku iteracji m inim um kierunkow ego funkcji f(x). Częściej stosow ane b yw ają m etody quasi- new tonow skie, w których odw rotność hesjanu H (f(x)) zastępow ana je s t m acierzą przybliżoną, budow aną najczęściej na bazie gradientu funkcji celu. Z reguły są zbieżne, ale zly w ybór p unktu startow ego m oże spow odow ać brak zbieżności zadania.
M etody gradientu sprzężonego
W zadaniu optym alizacji sform ułow anym następująco: znaleźć
m in f(x) = -^xt A x - b 7x (2.5)
gdzie m acierz A je s t sym etryczna i dodatnio określona,
kierunki poszukiw ań Sk = - V f(xk) dla k = l , . . . , n nazyw a się w zajem nie sprzężonym i, gdy S|T A Sj = 0 dla i * j.
M inim alizację przeprow adza się kolejno w zdłuż kierunków naw zajem sprzężonych.
W praktyce stosow ane są różne algorytm y w ychodzące z tej m etody, a różniące się sposo
bam i w yznaczania kierunków sprzężonych. W każdym kroku iteracji w ym agają w yznaczania w artości funkcji celu i jej gradientu. Z reguły m ogą być stosow ane do funkcji dow olnej posta
ci, nie tylko do określonej w zorem (2.5). M etody te są w olno zbieżne.
P rzedstaw ione pow yżej m etody optym alizacji w niesprzyjających w arunkach m ogą znaleźć najbliższe m inim um lokalne, które nie m usi być m inim um globalnym . W przypadku zadań optym alizacji, w których w artość funkcji celu w yznaczana je s t w każdym kroku iteracji na drodze analizy M ES, w artości gradientu i hesjana funkcji celu w yznaczane są z w ielom ianu aproksym acyjnego, co m oże dw u- lub trzykrotnie w ydłużyć proces optymalizacji.
A naliza w rażliw ości
W ażnym krokiem w stępnym do optym alizacji, uzasadniającym m atem atycznie intuicyjny w ybór poddaw anych zm ianom elem entów konstrukcji, je st analiza w rażliw ości. B ada ona w pływ m ałych zm ian w ybranych param etrów konstrukcji na w artości tensorów odkształceń, naprężeń i w ektorów przem ieszczeń w rozpatryw anej konstrukcji.
A lgorytm y optym alizacji kolejowy ch zestaw ów kofowych 193
M etodam i analizy w rażliw ości m ożna sform ułow ać zadanie optym alizacji, określić kie
runki zm ian zm iennych projektow ych, a naw et skonstruow ać algorytm optym alizacji, który w każdym kroku optym alizacji po przeprow adzeniu analizy w rażliw ości znajduje kierunek ko
lejnego kroku.
O ptym alizacja ew olucyjna
O statnio do m atem atycznych algorytm ów optym alizacji dołączyły algorytm y genetyczne i ew olucyjne. S ą to algorytm y stochastyczne, które w procesie optym alizacji naśladują pew ne procesy doboru naturalnego na drodze ew o lu cji[l, 7]. Proces projektow ania konstrukcji m oż
na porów nać do naturalnego procesu ew olucji: projektant staw ia sobie za cel zaprojektow anie i w ykonanie konstrukcji realizującej konkretne zadanie i spełniającej przy tym pew ne w arun
ki. W trakcie realizacji projektu, a potem eksploatacji konstrukcja byw a ulepszana, popraw ia
na. Z m ieniają się w ym iary poszczególnych elem entów konstrukcji, ich kształty i m ateriał, z którego są zrobione.
Z aletą algorytm ów genetycznych i ew olucyjnych je s t prostota ich zastosow ania oraz glo- balność rozw iązania. Przy odpow iednim ustaw ieniu param etrów sterujących optym alizacją p rzeszukują cały obszar rozw iązań dopuszczalnych, a pod koniec obliczeń koncentrują się na poszukiw aniach w bliskim otoczeniu rozw iązania.
D o algorytm ów genetycznych i ew olucyjnych stosuje się nazew nictw o zapożyczone głów nie z genetyki. Do podstaw ow ych term inów należą:
G en - w algorytm ie genetycznym oznacza najm niejszą składow ą chrom osom u. W projekto
w aniu konstrukcji geny stają się cecham i konstrukcyjnym i dobieranym i w procesie projekto
w ania.
C hrom osom - uszeregow any liniow o zbiór genów.
Populacja - zbiór chrom osom ów .
Funkcja dostosow ania (przystosow ania) - ocena pojedynczego osobnika. O dpow iada funk
cji celu w języ k u optym alizacji m atem atycznej.
N ow e pokolenia otrzym uje się na drodze krzyżow ania, m utacji i klonow ania. W w ybranym algorytm ie ew olucyjnym zastosow ano następujące operatory:
K rzyżow anie polega na w zajem nej w ym ianie odpow iednich genów dw óch rodziców w prost lub po odpow iedniej m odyfikacji. Z rodziców postaci:
X| — < X / I . X \ 2... x,„ > i X2= < X2t . X2 2 X2 n >
otrzym uje się dw oje dzieci postaci:
x'| = < x ’n . x'/2... x ' , n > i X 2 = 2/ , X 2 2...X2„ >
gdzie x ¡j ,x 2j to geny rodziców odpow iednio przekształcone.
Efektem krzyżow ania prostego stosow anego w tym algorytm ie są chrom osom y, w których x ij = xij + 8j i x ¿i = x2j - 5j
8j = a j- ( 0 2j - 0 |j)-( 1 - L /m axL )‘y2
gdzie j = 1, 2,... 7, Oij i 0 2j - ograniczenia dolne i górne, a j - liczba losow a, a ; e [0, 1], L - num er pokolenia, m axL - m aksym alna liczba pokoleń.
D ziałanie operatora krzyżow ania polega na m odyfikacji u w ylosow anej pary rodziców j-teg o genu chrom osom u. U w zględniony je s t też w spółczynnik, który je s t funkcją num eru pokolenia. Pod koniec obliczeń poszukiw ania now ego osobnika odbyw ają się w bliskim oto
czeniu osobnika z poprzedniego pokolenia.
Tak skonstruow ane now e geny m ogą się znaleźć poza dziedziną. W tedy m ożna pow tórzyć losow anie lub zastosow ać operator m utacji brzegow ej:
x ij ^ O ij —^ x ij — O ij x ij > 0 2j x ij — 0 2j
x 2j < Oij = > X2> = 0,j X 2j > 0 2j = > X 2j = 0 2j
194 B. M rów czyńska, T. Burczyński
W krzyżow aniu arytm etycznym geny dzieci są kom binacjam i liniow ym i odpow iednich genów sw oich rodziców
x Ij = a y x ij + (1 - a j ) x 2j x 2j = a,-x2j + (1 - aj) x/, gdzie a j je s t liczbą losową, a j e [0 ,1 ], j = 1 ,... 7.
W algorytm ie stosow ane je s t też krzyżow anie heurystyczne. N ow e pokolenie otrzym uje się przez polepszenie cech ro d zica, którego funkcja przystosow ania je s t bliższa optim um od w artości tej funkcji drugiego rodzica.
D la każdego j = 1 ,... 7:
je ż e li fdopasowaniaC*//) ^ fdopasowania(^Zyj k)
x Ij = x 'j + 0,5 a y(x/j - x 2j) i x 2j = x ,j + a , (xij - x2j) a w przeciw nym przypadku
x ij= x 2j + 0,5-aj- (x2j - x,j) i x 2, = x 2j + aj-foy - x h) gdzie a j je s t liczbą losow ą, a j e [0, 1],
W e w szystkich przedstaw ionych tu m etodach krzyżow ania zaw sze otrzym uje się z rodzi
ców spełniających ograniczenia (3.2) dzieci też spełniające te ograniczenia.
O perator m utacji m odyfikuje w określony sposób w ybrany gen w chrom osom ie. W pro
gram ie E W O L W C IS.E X E zastosow ano opisane poniżej operatory m utacji.
M utacja rów nom ierna zm ienia wybrany gen chrom osom u w edług następującego wzoru:
x ij = 0 |j + a (0 2j- 0 ij)
gdzie j e {1, 2,... 7} i został w ybrany losow o, a je s t liczbą losow ą, a e [0, 1], a O y i 0 2j - ograniczenia dolne i górne (w zór (3.2)). T aka konstrukcja operatora m utacji pozw ala na w y
bór now ego osobnika z całej dziedziny.
M utacja nierów nom ierna je st m odyfikacją w ylosow anego j-te g o genu chrom osom u rodzi
cielskiego. U w zględniony je s t też w spółczynnik, który je s t funkcją num eru pokolenia. Pod koniec obliczeń poszukiw ania now ego osobnika odbyw ają się w bliskim otoczeniu osobnika z poprzedniego pokolenia.
x jj = Aij + a (0 2j - 0 |j ) ( l - L /m axL )l/2 dla a > 0 ,5 x ij = A|j - a (0 2j - 0|j) ( l - L /m axL)l/2 dla a < 0,5 gdzie j e {1, 2,... 7} i został w ybrany losow o, O y i 0 2j - ograniczenia dolne i górne, a jest liczb ą losow ą, a € [0, 1], L - num er pokolenia, maxL - m aksym alna liczba pokoleń.
Tak skonstruow ane now e geny m o g ą znaleźć się poza dziedziną. W tedy m ożna zastosow ać operator m utacji brzegow ej:
X lj Ojj X |j O y x ij > 0 2j x y 0 2j
M utacja brzegow a je s t przydatna, gdy rozw iązanie znajduje się blisko lub na brzegu obsza
ru dopuszczalnego rozw iązań. O perator m utacji brzegow ej działa następująco:
x y = 0 2j dla a > 0,5
x ij = Oij dla a < 0,5
gdzie j e (1 , 2,... 7} i został w ybrany losow o, a Oy i 0 2j - ograniczenia dolne i górne.
K lonow anie pow iela w ybrane chrom osom y bez zm ian. D la każdego now ego osobnika w y
znaczana je s t funkcja dostosow ania. Funkcja dostosow ania w yraża w artość przyjętego we w zorze (3.1) funkcjonału i je s t w yliczana program em M O N W C lEW .E X E. K olejnym etapem w każdym kroku optym alizacji je st selekcja. O peratory stosow ane w tym algorytm ie nie w y
ch o d zą poza obszar dopuszczalny rozw iązań. Do selekcji stosuje się jed y n ie m etodę selekcji rankingow ej.
A lgorytm y optym alizacji kolejow ych zestaw ów ko b w y ch 195
3. O PTY M A LIZA C JA
D o optym alizacji konstrukcji kolejow ego zestaw u kołow ego w ybrano jed en z algorytm ów optym alizacji ew olucyjnej. N a przykład ilustrujący optym alizację w ybrano następujące za
gadnienie: połączenie w ciskow e kola z o sią pow oduje pow stanie naprężeń m ontażow ych, które w dużym stopniu obniżają trw ałość zm ęczeniow ą zestawu. C ałkow ite w yelim inow anie skutków działania tego typu połączeń je s t niem ożliw e ze w zględu na w ym aganą w ytrzym a
łość połączenia, ale m ożna znaleźć rozw iązanie pow odujące ich złagodzenie.
A nalizie num erycznej poddano zestaw kołow y O RE920 o kołach m onoblokow ych ze zm o
dyfikow anym kształtem tarczy koła. Jako m ateriał kół przyjęto stal P58. Jako obciążenia ze
staw u przyjęto obciążenia m ontażow e od wcisków .
Z e w zględu na geom etrię zestaw u kołow ego, ja k i sposób obciążenia zadanie je s t rozw ią
zyw ane jak o osiow osym etryczne. A nalizę num eryczną zagadnienia przeprow adzono przy użyciu program u M O N 4E W m etody elem entów skończonych, służącego do w yznaczania na
prężeń m ontażow ych. O bliczenia przeprow adzano osobno dla osi i koła zestawu. Przyjęto, że obciążenia działają na styku koła z osią, a podparta je st odpow iednio oś lub obręcz koła. N u
m eryczny m odel osiow osym etryczny koła i osi przyjęto ja k na rys.3.1.
W rozw ażanym m odelu zakłada się w cisk nierów nom ierny, tj. dopuszcza się różne w arto
ści w ielkości Aj dla poszczególnych w ęzłów i (rys.3.1). Przyjęto, że:
0.0 m m < Aj < 0.3 mm dla i = 1, .... n (3.1)
Rys. 3.1. Osiowosymetryczny model kolejowego zestawu kołowego z rozkładem wcisków Fig. 3.1. Axisymmetric model o f wheel set and ecemplary distribution o f interference
W g norm y [8] w kołach bezobręczow ych w tłaczanych na zim no przy próbie trw ałości połączenia nie pow inno zachodzić przesunięcie przy sile w tłaczania:
Pw= 6 k N /m n v 2 0 0 m m = 1 2 0 0 k N (3.2) W ynika z tego, że połączenie je st trw ałe, gdy naciski spełniają następującą nierówność
(3.3)
/=1
gdzie X j - nacisk w w ęźle i-tym , a w spółczynnik tarcia statycznego stali po stali p = 0,15.
196 B. M rów czyńska, T. B urczyński
N aprężenia redukow ane w yznacza się w edług hipotezy energii odkształcenia postaciow ego H ubera-M isesa-H encky’ego.
Z adanie optym alizacji m ożna rozw iązać znajdując m inim um funkcjonału:
gdzie całkow anie odbyw a się po całej objętości Cl kolejow ego zestaw u kołow ego, a za eto przyjm uje się granicę plastyczności dla m ateriału, z którego w ykonano zestaw, przy ograni
czeniach (3.1) oraz (3.3). N ierów ności (3.3) w yznaczają zbiór w ypukły rozw iązań dopusz
czalnych.
Z astosow anie kryterium (3.4) dla N skończonych prow adzi do rozw iązania o m ożliw ie wy
rów nanym w obszarze Q rozkładzie naprężeń nie przekraczających granicy plastyczności.
W arunek (3.3) m ożna uw zględnić w form ie funkcji kary:
gdzie w - w spółczynnik wagi.
S chem at blokow y optym alizacji ew olucyjnej w cisku przedstaw iono na rysunku 3.2.
(3.4)
T < \ 2 0 0 k N
T > l 2 0 0 k N (3.5)
POPULACJA POCZĄTKOW A
o p t y m a: .i z a c j a e w o l t j c y j n a
▼
Kr z y ż o w a n i e, m u t a c j a => n o w e w c i s k i
STO I
Tu.M.iW \NI \
A n a l i z a
M E S
Rys. 3.2. Schemat blokowy optymalizacji ewolicyjnej połączenia wciskowego Fig. 3.2. Block diagram o f the evolutionary optimization
C hrom osom reprezentujący przedstaw ione tu zagadnienie m a postać:
A = < A| , A2, . . . , A„ >
A lgorytm y optym alizacji kolejow ych zestaw ów kobw ych 197
przy oznaczeniach i ograniczeniach przyjętych ja k w yżej. C hrom osom składa się z genów, których w artości odpow iadają w ielkościom w cisków w kolejnych w ęzłach siatki elem entów skończonych leżących na styku koła z osią.
O bliczenia przeprow adzono dla populacji składającej się z 500 chrom osom ów , a optym a
lizacja przebiegała w m aksym alnie 100 krokach. O pisane pow yżej operatory reprodukcji we w szystkich obliczeniach stosow ano z następującym praw dopodobieństw em :
krzyżow ania prostego = 0,1 m utacji rów nom iernej = 0,05 krzyżow ania heurystycznego = 0,25 m utacji nierów nom iernej = 0,05 krzyżow ania arytm etycznego = 0,25 m utacji brzegow ej = 0,05 klonow ania prostego = 0,1 selekcji turniejow ej = 0,5
W yniki z przebiegu optym alizacji zestaw iono w tablicy 1. N ajlepsze uzyskane wyniki przedstaw iono na rys.3.3.
Tablica 1 O ptym alne w artości w cisków i siły tarcia_______ ________________
Wartość Węzeł Węzeł Węzeł Węzeł Węzeł Węzeł Węzeł Tarcie Max
optymalna I 2 3 4 5 6 7 |N | Or«l
|mm| | mm | |m m | |m m | [mm] |m m | [mm | |M Pa|
0,0173458 .113333 .10673 .104400 .096022 .095659 .094373 .099625 1200000,0 204,58 0,0173914 .10038 .09259 .09258 .09321 .10307 .11243 .12136 1200031,0 205,92
Rys. 3.3. Naprężenia redukowane w zestawie kołowym z optymalnymi wciskami Fig. 3.3. Reduced assembly stresses in wheel set for optimal interference
198 B. M rów czyńska, T. Burczyński
W N IO SK I
W pracy przedstaw iono zalety i wady w ybranych algorytm ów stosow anych do optym aliza
cji konstrukcji. Ze w zględu na oczekiw aną globalność rozw iązania oraz prostotę obliczeń do rozw iązania zagadnienia optym alizacji kolejow ych zestaw ów kołow ych autorzy w ybrali algo
rytm optym alizacji ew olucyjnej. Jego działanie przedstaw iono na przykładzie optym alizacji w ielkości w cisków na połączeniu koła z osią. Szczegółow e w yniki i w nioski z takiej optym a
lizacji m ożna znaleźć w pracy [2].
L iteratura
1. B urczyński T.: W prow adzenie do algorytm ów genetycznych i obliczeń ew olucyjnych. W:
Sieci N euronow e. A lgorytm y Genetyczne. Zbiory rozm yte (praca zbiorow a), Polskie T o w arzystw o M etod K om puterow ych M echaniki, Rzeszów , 28-29 m aja 1999, s.65-69.
2. B urczyński T., M rów czyńska B.: E volutionary optim ization o f interference jo in t in railw ay w heel set. In: M ethods o f A rtificial Intelligence in M echanics and M echanical E ngineering (T.B urczyński and W .Cholew a, eds.), G liw ice 2001, s. 155-158.
3. John A ., K arw ala K., M rów czyńska B.: W ytężenie kolejow ych zestaw ów kołow ych z technologiczną w arstw ą w ierzchnią i bez obróbki w stępnej dla różnych w artości wcisku.
Z eszyty N aukow e K atedry M echaniki Stosow anej, z. 15, G liw ice 2001.
4. John A ., K arw ala K., M rów czyńska B.: C om puter aided design o f railw ay w heel set w ith hardening surface o f axle. In: Proc. International C onference "M echanika - 2001",K aunas, L ithuania 2001,s.87-92.
5. John A., K arw ala K., M rów czyńska B.: K om puterow e w spom aganie projektow ania kole
jo w y ch zestaw ów kołow ych z technologiczną w arstw a w ierzchnia osi. M aszyny Dźwigo- w o-T ransportow e, K w artalnik N aukow o-Techniczny N r 3, 2001, s.33-38.
6. K leiber M .: K om puterow e m etody m echaniki ciał stałych. W ydaw nictw o N aukow e PW N, W arszaw a 1995.
7. M ichalew icz Z.: G enetic A lgorithm s + data Structures = E volutionary Program s. Springer- V erlag, B erlin 1996.
8. PN -92/K -91045.
R ecenzent: Doc. dr inż. R om an Bąk
A bstract
T he problem o f m inim ization the effort o f the railw ay w heel set is very im portant. The railw ay traffic safety depends on it. This problem can be solved by optim isation. In this paper the algorithm s applied to the optim isation o f the construction are presented. T o solve the problem the evolutionary algorithm is selected and described in details.
T he effort o f railw ay w heel set depends on a lot o f param eters, for instance the jo in t be
tw een w heel and axle in w heel set. The results o f optim isation this problem by the evolution
ary algorithm is presented.
Pracę zrealizow ano w ram ach pracy B W - 4 2 9 /R M 10/2001.
