Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄSKIEJ 1994
Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
K atarzyna CA B A Ń SK A W ydział M atem atyki i Techniki,
W yższa Szkoła Pedagogiczna w Bydgoszczy
B E L K A B E R N O U L L IE G O P O S A D O W IO N A NA T R Ó JP A R A M E T R O W Y M P O D Ł O Ż U SPR ĘŻ Y STY M
Streszczenie. W pracy w yprow adzono rów nanie różniczkow e linii ugięcia belki B ernoulliego posadow ionej na jednokierunkow ym , trójp aram etro w y m podłożu sprężystym . Przyjęto, że belka jest w stałym kontakcie z podłożem sprężystym o raz że o d p ó r p o d ło ża na belkę jest tylko norm alny. Wyniki obliczeń numerycznych po ró w n an o z wynikami m odelu W lasowa - Leontiew a i W inklera.
T H E B E R N O U L L I’S B EA M RESTIN G ON T H R E E - P A R A M E T R IC , E L A S T IC FO U N D A T IO N
Sum m arv. In this p a p e r a differential equation o f a line o f a deflection of B ern o u lli’s beam resting on on e - directional, th ree - p a ra m e tric elastic foundation is p resen ted . It is assum ed a beam is in the continuous contact with an elastic fo u n d atio n and, th at an interaction of a foundation on this beam is only transverse. T h e num erical results for three - p aram etric foundation are co m p ared to those for W inkler’s and W lasow ’s foundations.
BA.UK A BEPHOyJli'T'O OCHOBAMA IIA TPH IIA P AM ETH U H y u p y r o H o c i-i g b k
P em o M e. B p a B trro i i p e / t c r a u j i e n o z tH ^ e p e iiii.H U J ib iio e y p a m i e im e y u p y r o H jihiihh Garncn B epuoyriero o c iio n a m to H n a o /u io n a u p a B r te n o M , 'i'pH iiapnM t?'riioM y u p y r o f l ociiotme. Ilp aum nio , u t o Garnca e r r u UOCTOflailllOM KOHTBKTe C yitpyfOM OCItOUOfl a TatOKfc’, UTO O'l'riop OClIOliU na Garncy e c r 'fOJtbKo liopMajimiuft. Peayjnri'aT nuuHCJieimux p a c i¿ e T o 6 cpauiieiio c pertyJib'ra'raMH mo/iojih Briacoita - .lleoirrena h B H in c n e p a .
1. W ST ĘP
W różnych konstrukcjach inżynierskich poszczególne ich elem enty w spółpracują ze sobą. W sp ó łp racu jące elem enty m ożna podzielić n a dwie grupy. D o pierw szej grupy zalicza się p o d ło ża i ośrodki sprężyste, k tó re m ają na celu integrow ać elem enty drugiej grupy. Zazwyczaj właściwości m echaniczne, a zwłaszcza sprężyste, elem en tó w pierwszej i drugiej grupy różnią się znacznie między sobą. S tąd wpływ w zajem nego oddziaływ ania n a siebie tych elem entów je s t w wielu przypadkach istotny. D latego istnieje p o trzeb a b ad a n ia tego zagadnienia. I ta k np. w pracy [5] przedstaw iono zagadnienie zginania belki B ernoulliego posadow ionej na jednokierunkow ym podłożu W inklera [3]. N ato m iast w pracy [5] rozw iązano p roblem zginania belki B ernoulliego posadow ionej na jednokierunkow ym , dw uparam etrow ym podłożu W łasow a [4].
W niniejszej pracy przedstaw iono zagadnienie w spółpracy belki B ernoulliego z pasm em , któ re posiada cechy jednokierunkow ego, tró jp ara m etro w eg o p o d ło ża sprężystego [1,2].
2. Z A Ł O Ż E N IA I C E L P R A C Y
Z ało żo n o , że belka styka sie na całej swej długości swą dolną pow ierzchnią z p o d ło żem sprężystym . N a górną pow ierzchnię belki działa obciążenie n o rm aln e q = q (x ), m o m en t rozłożony m = m (x ) o raz o d p ó r p = p (x ) p o d ło ża na belkę je s t tylko norm alny (rys. 1).
R y s.l. Schem at belki na podłożu sprężystym Fig.2. The scheme o f a beam on an elastic fundation
Belka B ernoulliego posadow iona na trójparam etrow ym podłożu 59
C elem pracy je s t wyznaczenie linii ugięcia w=vv (x) belki B ernoulliego posadow ionej na p roponow anym podłożu sprężystym [1,2] i porów nanie wyników z wynikami w przypadku zastosow ania podłoża W inklera [3] i W łasow a-Leontiew a [4],
3. R Ó W N A N IE R O Z N 1C Z K O W E Z A G A D N IE N IA
R ów nanie różniczkow e linii ugięcia belki posadow ionej na tró jp aram etro w y m podłożu sprężystym (rys. 1) m a postać:
_ , d i w . dm
E J +p = q - — , (1)
d x i d x
gdzie: w = w (x ) - ugięcie belki, q = q (x ) - siła obciążająca belkę, p* = p ’ (x) - o d p ó r pasm a sprężystego, E - m oduł Y ounga m ateriału belki, J - m om ent bezw ładności p rzekroju belki względem osi obojętnej.
D efo rm ację podłoża, na którym posadow iona jest belka, o p isan o rów naniem różniczkowym [2]
m p _ k dlP = k k d^_
3 d x 2 1 2 d x 2
gdzie: k l, k2, k3 sa w spółczynnikam i, które zależą od w łasności sprężystych pasm a i jego grubości, w = w (x ) - ugięcie pasm a sprężystego, p = p (x ) - siła obciążająca pasm o sprężyste.
Po skorzystaniu z założenia, że belka jest w stałym kontakcie z pasm em sprężystym , tzn. że w (x )= w (x ) i p (x )= p (x ),a n astępnie rugując z układu rów nań (1), (2) p(x), otrzym ano o stateczn ą postać rów nania różniczkow ego linii ugięcia belki, a mianowicie:
d 6w d 4w d 2w , ( dm \ ,
+ a, —— + a , + a , w = b .\ a + d x 6 ‘ dx< 2 d x 2 3 U d x 2
d 2q _ d 3m d x 2 d x 3
(3)
W spółczynniki w (3) określone są następującym i w zoram i:
„ _ X2 (1 - rj/) _ 1 -X 2
1 - Y z c ( 1 - y ) E J 3 c ( 1 - y ) E J
bl = - ,
, 2
= X ,1 ( 1 - Y ) E J 2 E J
(4)
natom iast:
2 k - 1.5 6 - k
vo 12
v„ k h
4 ( f c - 1.5) C E0b ’
gdzie: k - w spółczynnik ścinania w podłożu, h - wysokość pasm a sprężystego, b - szero k o śćp asm a sprężystego, E 0 - m oduł Y ounga m ateriału pasm a, v 0 - liczba Poissona m ateriału pasm a.
R ozw iązanie rów nania różniczkow ego (3) m a n astęp u jąca postać:
w = A C h a x cos P* + B C h a x sin + C Sh a x cos p * + + D S h a x s i n $ x + FChĄ>x + G Sh<t>x +
X
J [ A " C h a ( x - x ) s i n [ i ( x - x ) + B ’ S h a ( x - x ) cos p (jc — ić")
C ' S h Ą > ( x - x ) d m
d x
d 2q _ d 2q d x 2 d p
(6)
gdzie a, B, $ sa określone w zoram i w pracy [2].
S tałe całkow ania A, B, C, D, E, F, G, A , B , C w yznacza się z w arunków brzegow ych przedstaw ionych w pracy [2].
4. P R Z Y K Ł A D
O bliczenia w ykonano dla trzech przypadków . W przypadku pierwszym belkę B ernoulliego posadow iono na podłożu [1,2], w drugim na podłożu W łasow a - L eontiew a [4] i trzecim na podłożu W inklera [3]. N a rysunku 2 pok azan o graficznie wyniki w tych trzech przypadkach. D o obliczeń przyjęto obciążenie skupione w środku belki.
W celu odró żn ien ia graficznych wyników oznaczono je w m odelu W łasow a je d n ą gw iazdką, a w m odelu W inklera dw iem a gw iazdkam i.
5. P O D S U M O W A N IE
P o k azan e różnice wyników na w ykresach (rys.2) są spow odow ane k o ncepcją danego p odłoża. M ożna wnioskować, że im w iększą liczbą p aram etró w je st opisany m odel danego podłoża, tym w iększa je s t dokładność wyników obliczeń. R ów nież m ożna stwierdzić, że
Belka B ernoulliego posadow iona na trójparam etrow ym podłożu 61
wzrost rzędu rów nania opisującego problem zwiększa gładkość funkcji, która jest rozw iązaniem danego rów nania różniczkowego, a to pow oduje lepszą dokładność obliczeń.
f H [m m ]
Rys. 2. Linie ugięcia belki posadowionej na podłożu sprężystym w przypadku sity skupionej P w punkcie x o—0.5l
Fig. 2. The linę o f a dejlection o f a beam resting on an elastic foundation fo r a force P al midspane x(l — 0.5l
L IT E R A T U R A
[ 1] C abańska K.: D eform acja niewinklerow skiego pasm a sprężystego. Sym pozjum "M ode
low anie w M echanice", PTM TiS, Beskid Śląski, 1989, ss. 81-88.
[2] C ab ań sk a K.: W spółpraca belki z w ieloparam etrow ym ośrodkiem sprężystym . Praca d o k to rsk a. Politechnika W arszawska. W arszawa 1992.
[3] W inkler E.: D ie L ehre von d er E lasticitaet und Festigeit. Prag. D om inicas 1867. p.182.
[4] W łasow V .Z., L eontiew U.N.: Balki, plity i oboloCki na uprugom osnovanii. Moskwa I960.
[5] P raca zbiorow a.: Fundam enty projektow anie i wykonawstwo. A rkady, W arszaw a 1976.
s. 315-328.
R ecenzent: Prot', dr hab. inż. A ntoni Jakubow icz W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.
A b stract
In this p a p e r a problem of a m ating o f B ernoulli’s beam with th ree - p aram etric elastic foundation [1,2] is p re se n te d (fig. 1). It is assum ed th at a beam is in the continuous contact with an elastic foundation and, th at an interaction p = p r(x) o f a foundation on this beam is only transverse. A line o f a deflection o f B ernoulli’s beam resting on one directional, th ree - param etric, elastic foundation is described by th e differential equation (1). A d efo rm atio n o f th ree - param etric, elastic foundation is p re se n te d by the differential eq u atio n (2), [2]. With the system o f equations (1) and (2) is derived a final form of the differential equation (3). T h e solution o f the differential e q u atio n (3) has the following form (6). T h e results o f analysis of B ernoulli’s beam i.e. displacem ents, for three - p aram etric foundation (w), W tasow ’s (w ) and W inkler’s (w ” ) fundations are p resented in the form o f diagram s (Fig.2). A beam is loaded at m idspane (xo =0.51) by a co n cetrated force P. T he results o f num erical calculations for the beam resting on th re e - p aram etric fo u n d atio n [1,2] are com pared to those for two - p aram etric W lasow ’s [4j and on e -p a ra m e tric W inkler’s [3] foundations. Conclusions: T he results for th ree - p aram etric elastic foundation a re exactest.
