Hiperpowierzchnie stopnia 2, część druga

Hiperpowierzchnie stopnia 2, część druga

Na poprzednim wykładzie sformułowałem szereg rezultatów wskazujących na istnienie układów bazo- wych, w których hiperpowierzchnie zadane są szczególnie eleganckimi typami równań. Czasami mówimy, że w tych układach hiperpowierzchnie te zadane są w postaci kanonicznej. Zwróciliśmy uwagę na dwa problemy związane z tego typu opisami. Pierwszy polega na ustaleniu czy hiperpowierzchnia może być w jednym układzie bazowym opisywana istotnie różnymi równaniami (to znaczy takimi, które nie po- wstają przez domnożenie całego równania przez niezerowy skalar) – okazuje się, że tak może być, jeśli nie są to hiperpowierzchnie właściwe. Drugi problem polega na ustaleniu czy hiperpowierzchnia stopnia 2 może mieć w różnych układach bazowych różne typy postaci kanonicznych. Ze sformułowanych ostatnio twierdzeń wynika, że nie jest to możliwe. Wynika to, jak się okazuje, z zagadnienia istnienia i przynależ- ności do hiperpowierzchni tak zwanego środka symetrii. Dziś przyjrzymy się dowodom tych rezultatów oraz przedstawimy klasyfikację właściwych hiperpowierzchni stopnia 2 w przestrzeniach R²i R³. Przypominam pierwsze twierdzenie, którego dowód teraz przedstawię.

Twierdzenie 1. Niech f : H → K będzie funkcją wielomianową stopnia 2 określoną na n wymiaro- wej przestrzeni afinicznej H. Wówczas istnieje taki układ bazowy w H, w którym funkcji f odpowiada wielomian postaci:

(i) a1x²₁+ . . . + arx²_r+ c gdzie r = r(f ) oraz a1, . . . , ar6= 0 lub

(ii) a1x²₁+ . . . + arx²_r+ xn gdzie r = r(f ) < n oraz a1, . . . , ar6= 0.

Dowód. Niech p0; A będzie dowolnym układem bazowym przestrzeni H. W układzie tym funkcji f od- powiada wielomian F = x^TAx + Bx + c, gdzie A ∈ Mn×n(K) jest macierzą symetryczną, B ∈ M1×n(K) oraz c ∈ K. Niech C ∈ Mn×n(K) będzie taką macierzą odwracalną, że C^TAC jest macierzą diagonal- ną, w której na przekątnej stoją kolejno: niezerowe wyrazy a1, . . . , ar, gdzie r = r(f ), a następnie zera.

Rozpatrzmy układ bazowy p0; B, w którym baza B zadana jest warunkiem M (id)^A_B = C. W układzie tym funkcji f odpowiada wielomian

G = y^TC^TACy + B⁰y + c⁰= a₁y²₁+ . . . + a_ry²_r+ b⁰₁y₁+ . . . + b⁰_ny_n+ c⁰.

Inaczej mówiąc G jest otrzymany z F przez podstawienie x = Cy, gdzie x = x₁ . . . x_nT

oraz y =y₁ . . . y_nT

. Otrzymany wielomian G możemy przedstawić w następujący sposób:

G = a1



y1+ b⁰₁ 2a₁

²

+ . . . + ar



yr+ b⁰_r 2a_r

²

+ b⁰_r+1yr+1+ . . . + b⁰_nyn−(b⁰₁)²

4a₁ − . . . − (b⁰_r)² 4a_r + c⁰. Interesuje nas pokazanie, że można zawsze tak dobrać układ bazowy q0; C, aby z powyższego wielomianu otrzymać przez pewną afiniczną zamianę zmiennych jeden z wielomianów występujących po prawych stronach równań (i) i (ii). Rozważmy dwa przypadki.

• Przypadek 1. b⁰_r+1= . . . = b⁰_n= 0. Wówczas wielomian a1z₁²+ . . . + arz²_r+ c typu (i) otrzymujemy z G przez podstawienie postaci:

zi=

(y_i+_2a^b0i

i, dla i = 1, 2, . . . , r, yi, dla i = r + 1, . . . , n.

• Przypadek 2. Pewna z liczb b⁰_r+1, . . . , b⁰_n jest niezerowa. Po ewentualnym przenumerowaniu zmien- nych możemy przyjąć, że b_n6= 0. Wówczas wielomian a₁z₁²+ . . . + a_rz_r²+ x_n typu (ii) otrzymujemy z G przez podstawienie postaci:

z_i=





 yi+ ^b

0 i

2a_i, dla i = 1, 2, . . . , r,

yi, dla i = r + 1, . . . , n − 1,

b⁰_r+1yr+1+ . . . + b⁰_nyn−^(b_4a⁰¹⁾²

1 − . . . −^(b_4a^0r)2

r + c⁰, dla i = n.

Udowodnimy teraz twierdzenia dotyczące istnienia środka symetrii i jego ewentualnej przynależności do hiperpowierzchni stopnia 2. Przypominam definicję.

Definicja 1. Mówimy, że punkt p ∈ H jest środkiem symetrii hiperpowierzchni X ⊂ H, jeśli dla każdego punktu q należącego do X punkt p − −→pq też należy do X. Inaczej mówiąc: p ∈ H jest środkiem symetrii hiperpowierzchni X, jeśli dla każdego wektora α ∈ T (H) zachodzi równoważność p + α ∈ X ⇔ p − α ∈ X. Zatem punkt p jest środkiem symetrii hiperpowierzchni X wtedy i tylko wtedy, gdy symetria względem punktu p (czyli jednokładność o środku p i skali −1) przeprowadza X na X.

Pierwsze z twierdzeń dotyczy sytuacji, gdy hiperpowierzchnię właściwą stopnia 2 można w pewnym układzie bazowym opisać równaniem typu (i). Mówi ono, że w przestrzeni afinicznej zawierającej taką hiperpowierzchnię właściwą X musi istnieć środek symetrii X. Podaje ono też położenie tego punktu.

Twierdzenie 2. Niech X będzie właściwą hiperpowierzchnią stopnia 2 w H opisaną w układzie bazowym p₀; α₁, . . . , α_n równaniem

a1x²₁+ . . . + arx²_r+ d = 0,

przy czym a₁6= 0, . . . , a_r6= 0. Wówczas punkt p jest środkiem symetrii zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy p ma w tym układzie bazowym współrzędne 0, . . . , 0

| {z }

r

, sr+1, . . . , sn.

Dowód. Jeśli p ma w układzie bazowym p0; α1, . . . , αn współrzędne 0, . . . , 0

| {z }

r

, sr+1, . . . , sn, to dla każdego wektora α = y1α1+ . . . + ynαn mamy:

p + α = p₀+ s_r+1α₁+ . . . + s_nα_n+ y₁α₁+ . . . + y_nα_n=

= p0+ y1α1+ . . . + yrαr+ (sr+1+ yr+1)αr+1+ . . . + (sn+ yn)αn= Jest zatem jasne, że punkt p − α ma w rozważanym układzie bazowym współrzędne

−y1, . . . , −yr, sr+1− yr+1, . . . , sn− yn. Mamy więc:

p + α ∈ X ⇔ a1y₁²+ . . . + ary_r²+ d = 0, p − α ∈ X ⇔ a²₁(−y1)²+ . . . + ar(−yr)²+ d = 0.

Jasne jest więc, że jeśli p ma w układzie bazowym p₀; α₁, . . . , α_n współrzędne 0, . . . , 0

| {z }

r

, s_r+1, . . . , s_n, to jest środkiem symetrii hiperpowierzchni X.

Na odwrót: przypuśćmy, że punkt p o współrzędnych s1, . . . , sn jest środkiem symetrii hiperpowierzchni X. Wykażemy, że s1= s2= . . . = sr= 0. Niech z ∈ X ma współrzędne z1, . . . , zn. Zatem

a₁z₁²+ . . . + a_rz_r²+ d = 0 (1) Niech α = −→pz, czyli p + α = z. Skoro z = p + α ∈ X, to z faktu, że p jest środkiem symetrii wynika, że p − α ∈ X. Punkt p − α ma współrzędne 2s1− z1, . . . , 2sn− zn, a więc:

a₁(2s₁− z₁)²+ . . . + a_r(2s_r− z_r)²+ d = 0.

czyli

a1(4s²₁− 4s1z1+ z₁²) + . . . + ar(4s²_r− 4srzr+ z_r²) + d = 0. (2) Odejmując (1) od (2) i dzieląc przez 4 mamy: a1(s²₁− s1z1) + . . . + ar(s²_r− srzr) = 0, czyli:

a₁s₁z₁+ . . . + a_rs_rz_r− a₁s²₁− . . . − a_rs²_r= 0. (3) Otrzymaliśmy: współrzędne z1, . . . , zn każdego punktu z ∈ X spełniają (3). A więc X zawarty jest w zbiorze spełniającym (3). Gdyby si 6= 0, da pewnego i = 1, . . . , r, to (3) opisywałoby n − 1 wymiarową podprzestrzeń afiniczną M ⊆ H i mielibyśmy X ⊆ M , co przeczyłoby założeniu, że X jest właściwa.

Kolejne twierdzenie mówi o tym, że hiperpowierzchnia, którą w pewnym układzie bazowym można opisać równaniem typu (ii) nie może mieć środka symetrii.

Twierdzenie 3. Niech X będzie hiperpowierzchnią stopnia 2 w H opisaną w układzie bazowym p0; A równaniem

a1x²₁+ . . . + arx²_r+ xn= 0, przy czym a16= 0, . . . , ar6= 0, r < n. Wówczas X nie ma środka symetrii.

Dowód. Przypuśćmy, że punkt p o współrzędnych s1, . . . , sn jest środkiem symetrii X. Rozważamy dwa przypadki.

• Przypadek 1. Punkt p należy do X. Wówczas mamy

a₁s²₁+ . . . + a_rs²_r+ s_n= 0. (4) Niech α będzie wektorem mającym w bazie A przestrzeni T (H) współrzędne −2s1, 0, 0, . . . 0.

Wówczas punkt p + α ma współrzędne −s1, s2, . . . , sn więc p + α ∈ X. Stąd p − α ∈ X, bo p to środek symetrii. Punkt p − α ma jednak współrzędne 3s1, s2, . . . , sn, więc dostajemy

9a₁s²₁+ a₂s²₂+ . . . + a_rs²_r+ s_n= 0. (5) Odejmując (4) od (5) dostajemy 8a1s²₁ = 0, a stąd s1 = 0. Analogicznie dowodzimy jednak, że s2 = s3= . . . = sr= 0, a stąd z (4) sn= 0. Zatem p ma współrzędne 0, 0, . . . , 0, sr+1, . . . , sn−1, 0, Wówczas dla każdego wektora o współrzędnych z1, . . . , zn spełniających a1z₁²+ . . . + arz_r²+ zn = 0 i zn 6= 0 mamy p + β ∈ X oraz p − β /∈ X. A zatem otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że p jest środkiem symetrii X.

• Przypadek 2. Punkt p nie należy do X. Wówczas mamy a1s²₁+ . . . + ars²_r+ sn6= 0. Niech α będzie wektorem o współrzędnych 0, 0, . . . , 0, a, gdzie a = −(a₁s²₁+ . . . + a_rs²_r+ s_n). Wówczas p + α ∈ X zaś p − α 6∈ X. Znowu sprzeczność z założeniem, że p jest środkiem symetrii X.

Na ostatnim wykładzie sformułowaliśmy wniosek dotyczący hiperpowierzchni właściwych w rzeczywistych przestrzeniach afinicznych. Przypomnijmy w tym kontekście twierdzenie klasyfikacyjne, udowodnione na poprzednim wykładzie.

Wniosek 1. Dla każdej hiperpowierzchni X stopnia 2 w n wymiarowej przestrzeni afinicznej nad ciałem liczb rzeczywistych R istnieje układ bazowy, w którym X jest opisana równaniem postaci:

(r1) x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r+ 1 = 0 gdzie 0 ¬ s < r ¬ n, lub

(r2) x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r= 0 gdzie 1 ¬ s < r ¬ n, lub

(r3) x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r+ xn= 0 gdzie 0 ¬ s < r ¬ n − 1.

Oto zaś wniosek. który udowodnimy na kolejnym wykładzie.

Wniosek 2. Niech X będzie właściwą hiperpowierzchnią stopnia 2 w przestrzeni afinicznej H nad R.

(1) Jeżli X jest w układzie bazowym p0; A opisana równaniem postaci (ri), zaś w układzie bazowym q0; B – równaniem (rj), to i = j.

(2) Jeśli X jest pewnych układach bazowych opisywana równaniami postaci (ri), dla i = 1, 2, 3, to liczba r występująca w tych równaniach jest niezależna od wyboru układu bazowego.

(3) Jeśli X jest opisywana równaniami typu (r1), to występująca w nich liczba s jest we wszystkich równaniach taka sama. Jeśli X jest opisywana równaniem (r2) lub (r3), to dla każdych dwóch różnych takich równań występujące w nich liczby s są albo jednakowe, albo ich suma wynosi r.

Zanim udowodnimy ten wniosek przedstawmy ideę wywodzącego się z niego twierdzenia klasyfikującego właściwe hiperpowierzchnie stopnia 2 w R² oraz R³. Powyższy wniosek oznacza, że z każdą hiperpo- wierzchnią właściwą stopnia 2 w rzeczywistej przestrzeni afinicznej związana jest jedna z form kano- nicznych (r1), (r2), (r3). Co więcej punkty (2) i (3) mówią, że niezależnie od wyboru układu bazowego, w którym dana hiperpowierzchnia ma odpowiednią postać kanoniczną, postać ta ma jednoznacznie wy- znaczony rząd oraz znak sygnatury (części kwadratowej). Pozwala to podać wygodny sposób badania, kiedy dane dwie właściwe hiperpowierzchnie stopnia 2 są afinicznie izomorficzne. Przypomnijmy, że hi- perpowierzchnie X, Y w przestrzeni H są afinicznie izomorficzne (inaczej: mają ten sam typ afiniczny, jeśli istnieje izomorfizm afiniczny h : H → H taki, że h(X) = Y . Wykazaliśmy, że jest to równoważne istnieniu takich układów bazowych p₀; A oraz q₀; B w H, że X jest w układzie p₀; A opisana takim sa- mym równaniem, jak Y w układzie q₀; B. Zatem aby sprawdzić, czy hiperpowierzchnie X, Y są afinicznie izomorficzne wystarczy dla każdej z nich znaleźć opisujące ją równanie postaci (r1), (r2) lub (r3). Hiper- powierzchnie X, Y są afinicznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy opisujące je równania postaci (ri) są identyczne, z dokładnością do znaku sygnatury (np. „utożsamiamy” równania x²₁+ x²₂− x²₃ = 0 oraz

−x²₁− x²₂+ x²₃= 0). Jeszcze jedna uwaga terminologiczna: hiperpowierzchnie stopnia 2 w 2-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni afinicznej H nazywamy krzywymi stopnia 2 w H.

Twierdzenie 4 (Klasyfikacja właściwych hiperpowierzchni (krzywych) stopnia 2 w R²). Każda właściwa hiperpowierzchnia stopnia 2 w R²jest afinicznie izomorficzna z jedną z następujących krzywych opisanych (w standardowym układzie bazowym (0, 0); (1, 0), (0, 1)) równaniami:

• −x²₁+ 1 = 0.

Jest to para prostych równoległych.

• −x²₁− x²₂+ 1 = 0.

Krzywą tego typu afinicznego nazywamy elipsą.

• x²₁− x²₂+ 1 = 0.

Krzywą tę nazywamy hiperbolą.

• x²₁− x²₂= 0.

Jest to para prostych przecinających się.

• x²₁+ x2= 0.

Krzywą tę nazywamy parabolą.

Twierdzenie 5 (Klasyfikacja właściwych hiperpowierzchni stopnia 2 w R³). Każda właściwa hiper- powierzchnia stopnia 2 w R³ jest afinicznie izomorficzna z jedną z następujących krzywych opisanych (w standardowym układzie bazowym (0, 0, 0); (1, 0, 0), (0, 0, 1)) równaniami:

• −x²₁+ 1 = 0

Jest to para płaszczyzn równoległych.

• −x²₁− x²₂+ 1 = 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy walcem eliptycznym.

• x²₁− x²₂+ 1 = 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy walcem hiperbolicznym.

• −x²₁− x²₂− x²₃+ 1 = 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy elipsoidą.

• x²₁− x²₂− x²₃+ 1 = 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy hiperboloidą jednopowłokową.

• x²₁+ x²₂− x²₃+ 1 = 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy hiperboloidą dwupowłokową.

• x²₁− x²₂= 0.

Jest to para płaszczyzn przecinających się.

• x²₁+ x²₂− x²₃= 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy stożkiem eliptycznym.

• x²₁+ x3= 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy walcem parabolicznym.

• x²₁+ x²₂+ x3= 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy paraboloidą eliptyczną.

• x²₁− x²₂+ x3= 0.

Hiperpowierzchnię tę nazywamy paraboloidą hiperboliczną.

Wszystkie powyższe ilustracje mają oczywiście charakter poglądowy. Dobrze jednak widzieć, że w istocie powyższe powierzchnie są sumami mnogościowymi krzywych płaskich stopnia 1 i 2. Analogiczne ilustracje znaleźć można także na ostatnich stronach skryptu dr. Strojnowskiego:

https://www.mimuw.edu.pl/~stroa/GAL2wyk14.pdf,

a także w skrypcie „Wykłady z algebry liniowej ”. Na szczególną uwagę zasługują powierzchnie prosto- kreślne, to jest takie, że przez każdy punkt owej powierzchni przechodzi prosta zawarta w niej całkowicie.

Jest jasne, że wszystkie walce są prostokreślne. Ale nie tylko. Problem ten wiąże się z ważnym geome- trycznym pytaniem: jaka powierzchnia powstaje przez obrót w przestrzeni jednej prostej wokół skośnej do niej osi? Temu, i innym geometrycznym zagadnieniom związanym z powyższą klasyfikacją przyjrzymy się na kolejnym wykładzie. Udowodnimy też, że klasyfikacja ta jest poprawna (dowodząc Wniosek 2).