17 października 2020
Zadania z kombinatoryki, lista nr 4
1. Podział zbioru {1, . . . , n} na ciągi to zbiór ciągów, takich że każda z liczb 1, . . . , n występuje w nim dokładnie raz. Np. wszystkie możliwe podziały {1, 2} to {(1), (2)}, {(1, 2)} oraz {(2, 1)}. Niech an oznacza ilość różnych podziałów zbioru {1, . . . , n} na ciągi, przyjmijmy, że a0= 1. Udowodnij, że
an+1=
n
X
k=0
n k
(k + 1)!an−k
i następnie oblicz wykładniczą funkcję tworzącą ciągu an.
2. Dla każdej permutacji π = π1, . . . , πn zbioru {1, . . . , n} niech α(π) = |{i : πi < πi+1}| będzie liczbą wzniesień permutacji π. Liczby Euleran
k definiujemy następująco:
n k
= |{π : α(π) = k}|.
Udowodnij, że (a) n
k
= (k + 1) n − 1 k
+ (n − k) n − 1 k − 1
(b) n! =X
k
n k
(c) n k
=
n
n − k − 1
(d) mn=X
k
n k
m + k n
(e) xn =X
k
n k
(x + k)n n!
(f) n k
=X
i
(−1)i(k − i + 1)nn + 1 i
(g) X
k
n k
k n − m
= m! n m
3. Pokaż, że
∞
X
k=1
knxk= 1 (1 − x)n+1
X n
i
xn−i
.
4. Udowodnij wzory (a) n
m
=X
k
n k
k + 1 m + 1
(−1)n−k
(b) n m
=X
k
n + 1 k + 1
k m
(−1)m−k
(c) m! n m
=X
k
m k
kn(−1)m−k
(d) n + 1 m + 1
=
n
X
k=0
k m
(m + 1)n−k
(e) m + n + 1 m
=
m
X
k=0
n + k k
k
(f) m + n + 1 m
=
m
X
k=0
n + k k
(n + k)
(g) n m
=X
k
n + 1 k + 1
k m
(−1)m−k
