GEOMETRIA ANALITYCZNA
1. [2011 – 4 pkt]
Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x2+ y2+ 2x − 2y − 3 = 0 popro- wadzonymi przez punkt A = (2, 0).
2. [2010 – 6 pkt]
Punkt A = (−2, 5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y = x + 1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
3. [2009 – 5 pkt]
W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu (x+2)2+ (y −3)2 = 4 oraz zaznacz punkt A = (0, −1). Prosta o równaniu x = 0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt A.
4. [2009(I) – 5 pkt]
Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu y = x2 , a drugi na prostej o równaniu y = 2x − 6. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od √
5.
Sporządź odpowiedni rysunek.
5. [2009(I) – 7 pkt]
Środek okręgu przechodzącego przez punkty A = (1, 4) i B = (−6, 3) leży na osi Ox.
a) Wyznacz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i oddalonej od po- czątku układu współrzędnych o √
2.
6. [2008 – 4 pkt]
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = 14x2 + 1 jest równoodległy od osi Ox i od punktu F = (0, 2).
7. [2008 – 4 pkt]
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o rów- naniu (x − 16)2+ y2 = 4 jest okrąg o równaniu (x − 6)2 + (y − 4)2 = 16, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.
8. [2008(III) – 5 pkt]
Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x − 3 w punkcie A = (2, 1) i styczny do prostej o równaniu y = 12x+ 9 w punkcie B = (−4, 7).
Oblicz promień tego okręgu.
9. [2007 – 7 pkt]
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = −x2+ 6x.
Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź
1
rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
10. [2006(XI) – 4 pkt]
Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli o równaniu y = −13x2+ x+ 6 z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.
11. [2006(I) – 4 pkt]
Rozwiąż układ równań:
( |x| − y = 1 x2 + (y + 1)2 = 8 12. [2006(I) – 8 pkt]
Punkty A = (7, 8) i B = (−1, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym
|∢BCA| = 90◦.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi Ox.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokład- ności o środku w punkcie P = (1, 0) i skali k = −2.
13. [2005 – 8 pkt]
Pary liczb (x, y) spełniające układ równań:
( −4x2+ y2+ 2y + 1 = 0
−x2+ y + 4 = 0
są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD.
a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D.
b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.
2
