Układy równań liniowych

Algebra

Układy równa´n liniowych

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Układy równa ´n liniowych

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Przykład układu równa ´n liniowych

Przykład 1.

(

ax

+ by = c,

dx

+ ey = f.

Ogólny układ równa ´n liniowych

Definicja 2. Układem równa ´n liniowych nazywa si ˛e układ:



















a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

,

. . . .

a

_m1

x

1

+ a

_m2

x

2

+ · · · + a

_mn

x

_n

= b

_m

.

(1)

•

_a

_ij

_{— współczynniki układu}

₁

_,

•

_b

_j

_{— wyrazy wolne,}

•

_{rozwi ˛}

_{azaniem układu nazywamy uporz ˛}

_{adkowan ˛}

_a

_n

_{-tk˛e liczb}

(x

0₁

, x

0₂

, . . . , x

0_n

)

, które po podstawieniu w miejsce

x

_i

, do

Układ jednorodny

Definicja 3. Układ równa ´n liniowych nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie

wyrazy wolne tego układu s ˛a równe zeru



















a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= 0,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2_n

x

_n

= 0,

. . . .

a

_m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ · · · + a

mn

x

n

= 0.

(2)

•

_{dla dowolnych wyrazów wolnych układ}

₂

_{nazywa sie}

Macierze układu

Definicja 4. Tabela wpółczynników

A

=











a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2_n

. . . .

a

_m1

a

_m2

. . .

a

_mn











nazywa si ˛e macierz ˛a układu 1.

Definicja 5. Tabela wpółczynników i wyrazów wolnych

˜

A

=











a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

. . . .

a

_m1

a

_m2

. . .

a

_mn



















b

1

b

2

. . .

b

_m











Wektory wyrazów wolnych, niewiadomych i rozwi ˛

aza ´n

Definicja 6. Columna

b

=













b

1

b

2 .. .

b

_m













nazywa si ˛e wektorem wyrazów wolnych

układu 1. Definicja 7. Columna

x

=













x

1

x

2 .. .

x

_n













nazywa si ˛e wektorem niewiadomych.

Definicja 8. Columna

x

0

=













x

0₁

x

0₂ .. .

x

0_n













Uwaga o zapisie wektorów

Uwaga 9.

•

Dla oszcz ˛edno´sci miejsca wektory zapisywane s ˛a równie˙z jako wiersze:

◦

_b

₌



_b

₁

_b

₂

_{. . .}

_b

_m



◦

_x

₌



_x

₁

_x

₂

_{. . .}

_x

_m



◦

_x

0

=



x

0₁

x

0₂

. . .

x

0_m



•

_{˙Zeby podkre´sli´c, ˙ze to s ˛a wektory-kolumny, czasami u˙zywa si ˛e nawisów}

kwadratowych lub klamrowych oraz przecinków:

◦

_b

₌

h

_b

₁

_b

₂

_{. . .}

_b

_m

i

₌

n

_b

₁

_{, b}

₂

_{, . . . , b}

_m

o

◦

_x

₌

h

_x

₁

_x

₂

_{. . .}

_x

_m

i

₌

n

_x

₁

_{, x}

₂

_{, . . . , x}

_m

o

◦

_x

0

=

h

x

0₁

x

0₂

. . .

x

0_m

i

=

n

x

0₁

x

0₂

. . .

x

0_m

o

Klasyfikacja układów — ilo´s´c rozwi ˛

aza ´n

Definicja 10. Układ 1 nazywa si ˛e

•

_{sprzecznym, je˙zeli on nie ma rozwi ˛aza ´n,}

•

_{okre´slonym, je˙zeli on ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie,}

•

_{nieokre´slonym, je˙zeli on ma wi ˛ecej ni˙z jedno rozwi ˛azanie.}

Przykład 11.

•

(

x

1

−

2x

2

= 1,

x

1

−

2x

2

= −1.

•

(

x

1

+ x

2

= 1,

x

1

− x

2

= 0.

•

(

x

1

+ x

2

= 1,

2x

1

+ 2x

2

= 2.

Klasyfikacja układów — kształt macierzy

Definicja 12. Układ 1 (oraz macierz układu) nazywa si ˛e

•

_{kwadratowym, je˙zeli}

_m

_{= n}

_{(ilo´s´c równa ´n zgadza si ˛e z ilo´sci ˛a}

niewiadomych),

•

_{diagonalnym (przek ˛atnym), je˙zeli w macierzy poza główn ˛a przek ˛atn ˛a s ˛a}

same zera,

a

_ij

= 0

dla

j 6= j

,

•

_{schodkowym (trójk ˛atnym), je˙zeli w macierzy pierwsze niezerowe}

elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajduj ˛a si ˛e w coraz dalszych kolumnach.

Układy równowa˙zne

Definicja 14. Dwa układy s ˛a równowa˙zne, je˙zeli zgadzaj ˛a si ˛e zbiory ich rozwi ˛aza ´n.

•

_{ka˙zde dwa sprzeczne układy s ˛}

_{a równowa˙zne}

•

_{dla niesprzecznych układów}

_U

₁

_i

_U

₂

_{koniecznie i wystarczy}

˙zeby ka˙zde rozwi ˛

azanie

U

1

było rozwi ˛

azaniem

U

2

i ka˙zde

rozwi ˛

azanie

U

2

było rozwi ˛

azaniem

U

1

Przekształcenia elementarne

Definicja 16. Układ

U

2 jest otrzymany z układu

U

1 za pomoc ˛a

przekształcenia elementarnego, je´sli

1. wszystkie równania układu

U

2 oprócz równania

i

s ˛a niezmienne,

a równanie

i

zostało pomno˙zono przez niezerow ˛a liczb ˛e

α

,

2. wszystkie równania układu

U

2 oprócz równa ´n

i

i

j

s ˛a niezmienne,

a równania

i

i

j

zostały zamienione miejscami,

3. wszystkie równania układu

U

2 oprócz równania

j

s ˛a niezmienne, a do

Przekształcenie elementarne 1 na macierzy

















a

11

a

12

. . .

a

1_n

. . . .

a

_i1

a

_i2

. . .

a

_in

. . . .

a

_m1

a

_m2

. . .

a

_mn

























b

1

. . .

b

_i

. . .

b

_m

































a

11

a

12

. . .

a

1_n

. . . .

αa

_i1

αa

_i2

. . .

αa

_in

. . . .

a

_m1

a

_m2

. . .

a

_mn

























b

1

. . .

αb

_i

. . .

b

_m

















,

α 6= 0.

Przekształcenie elementarne 2 na macierzy

























a

11

a

12

. . .

a

1_n

. . . .

a

_i1

a

_i2

. . .

a

_in

. . . .

a

_j1

a

_j2

. . .

a

_jn

. . . .

a

_m1

a

_m2

. . .

a

_mn

































b

1

. . .

b

_i

. . .

b

_j

. . .

b

_m

















































a

11

a

12

. . .

a

1_n

. . . .

a

_j1

a

_j2

. . .

a

_jn

. . . .

a

_i1

a

_i2

. . .

a

_in

. . . .

a

_m1

a

_m2

. . .

a

_mn

































b

1

. . .

b

_j

. . .

b

_i

. . .

b

_m

























.

Przekształcenie elementarne 3 na macierzy

               a₁₁ a₁₂ . . . a_1n . . . . a_i1 a_i2 . . . a_in . . . . aj₁ aj₂ . . . ajn . . . . am₁ am₂ . . . amn                    b₁ . . . b_i . . . bj . . . bm                               a₁₁ a₁₂ . . . a_1n . . . . a_i1 a_i2 . . . a_in . . . . aj₁ + αai₁ aj₂ + αai₂ . . . ajn + αain

. . . . am₁ am₂ . . . amn                    b₁ . . . b_i . . . bj + αbi . . . bm                .

Twierdzenia

Twierdzenie 17. Przekształcenia elementarne s ˛a odwracale

Twierdzenie 18. Je˙zeli układ

U

2 został otrzymany z układu

U

1 za pomoc ˛a

przekształce ´n elementarnych, to te dwa układy s ˛a równowa˙zne

Twierdzenie 19. Ka˙zdy układ mo˙ze zosta´c sprowadzony do postaci

schodkowej za pomoc ˛a przekształce ´n elementarnych

Twierdzenie 20 (Metoda eliminacji Gaussa). Ka˙zda macierz mo˙ze zosta´c

sprowadzona do postaci schodkowej za pomoc ˛a przekształce ´n elementarnych

Twierdzenie 21. Ka˙zdy układ (ka˙zda macierz) mo˙ze zosta´c sprowadzona do

Układ w postaci schodkowej



























































¯

a

11

x

1

+ · · · + ¯

a

1n

x

n

= ¯b

1

,

¯

a

2_k

x

_k

+ · · · + ¯

a

2_n

x

_n

= ¯b

2

,

¯

a

3l

x

l

+ · · · + ¯

a

3_n

x

_n

= ¯b

3

,

· · · ·

¯

a

_rs

x

_s

+ · · · + ¯

a

_rn

x

_n

= ¯b

r

,

0 = ¯b

r+1

,

· · · ·

0 = ¯b

m

,

(3)

Definicja 22. Zmienne

x

1

, x

_k

, x

_l

, . . . , x

s, gdzie

a

¯

11

¯

a

2_k

¯

a

3_l

. . .

¯

a

rs

6= 0

,

Analiza układu schodkowego

Twierdzenie 23. Układ 1 jest niesprzecznym wtedy i tylko wtedy, dgy

równowa˙zny jemu układ schodkowy 3 nie zawiera równa ´n postaci

0 = ¯b

_t, gdzie

¯b

_t

6= 0

. Je˙zeli warunek ten jest spełniony, to zmiennym wolnym mo˙zna nada´c dowolne warto´sci. Zmienne główne zostan ˛a przez nie jednoznacznie okre´slone z układu 3.

Twierdzenie 24. Niesprzeczny układ 1 jest okre´slony wtedy i tylko wtedy, dgy w równowa˙znym jemu układzie schodkowym 3 spełniono jest

r

= n

.

Twierdzenie 25. Niesprzeczny i nieokre´slony układ ma niesko ´nczenie wiele

rozwi ˛aza ´n.

Wniosek 26. Układ 1, w którym

m

= n

jest okre´slony wtedy i tylko wtedy, dgy w równowa˙znym jemu układzie schodkowym 3

a

11

a

22

. . . a

_nn

6= 0

.

Wniosek 27. Układ 1, w którym

m

= n

jest okre´slony wtedy i tylko wtedy, dgy powi ˛azany z nim układ jednorodny ma tylko zerowe rozwi ˛azanie.

Przykład











5x

1

+ 3x

2

+ 5x

3

+ 12x

4

= 10,

2x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

= 4,

x

1

+ 7x

2

+ 9x

3

+ 4x

4

= 2;

Wyznacznik macierzy

2

× 2

Definicja 29.

det

a

b

c

d

!

=











a

b

c

d











= ad − cb

Definicja 30. Wyznacznik











a

11

a

12

a

21

a

22











nazywa si ˛e wyznacznikiem układu

(

a

11

x

1

+ a

12

x

2

= b

1

,

Wzory Cramera — układ

2

× 2

Twierdzenie 31. Rozwi ˛azanie układu

(

a

11

x

1

+ a

12

x

2

= b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

= b

2

,

dane jest wazorem

x

1

=











b

1

a

12

b

2

a

22





















a

11

a

12

a

21

a

22











,

x

2

=











a

11

b

1

a

21

b

2





















a

11

a

12

a

21

a

22











.

Wzory Cramera — układ jednorodny

Twierdzenie 32. Rozwi ˛azanie układu

(

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

= 0,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

= 0,

dane jest wzrem

x

1

=











a

12

a

13

a

22

a

23











,

x

2

= −











a

11

a

13

a

21

a

23











,

x

3

=











a

11

a

12

a

21

a

22











.

Wzory Cramera — układ

3

× 3

Twierdzenie 33. Rozwi ˛azanie układu











a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

= b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

= b

2

,

a

31

x

1

+ a

32

x

2

+ a

33

x

3

= b

3

.

dane jest wzorem

x

1

=















b

1

a

12

a

13

b

2

a

22

a

23

b

3

a

32

a

33





























a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33















,

x

2

=















a

11

b

1

a

13

a

21

b

2

a

23

a

31

b

3

a

33





























a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33















,

x

3

=















a

11

a

12

b

1

a

21

a

22

b

2

a

31

a

32

b

3





























a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33