MES 2D Adaptacja siatki

MES 2D Adaptacja siatki ^∗

16 listopada 2016

Zajmujemy się rozwiązaniem równania Laplace’a

− ∇ ² u(x, y) = 0 (1)

na pierścieniu o promieniach R 1 = 5 oraz R 2 = 25 (patrz rysunek 1). Poten- cjał będzie zdefiniowany tylko przez warunki brzegowe. Na wewnętrznej krawę- dzie przyjmujemy u = −10, natomiast na zewnętrznej u = 10. Zaczniemy od rozwiązania na danej siatce, następnie będziemy siatkę zagęszczać z nadzieją otrzymania lepszego rozwiązania.

Rysunek 1: Siatka elementów otrzymana przy pomocy algorytmu triangulacji.

Węwnętrzny promień wynosi R 1 = 5 a zewnętrzny R ₂ = 25.

1. Generacja siatki elementów -20 pkt

Proszę wczytać węzły, plik Nodes.dat. Następnie stworzyć elementy zgod- nie z algorytmem:

(a) Przechodzimy przez wszystkie uporządkowane trójki węzłów.

(b) Dla każdej trójki węzłów obliczamy promień oraz środek okręgu opi- sanego na tych węzłach. Wzory tutaj http://mathworld.wolfram.

com/Circumcircle.html.

∗

Laboratorium z inżynierskich metod numerycznych, Wydział Fizyki i Informatyki Stoso- wanej AGH.

1

(c) Sprawdzamy, czy w tym kole nie ma żadnych innych elementów, jeśli nie - mamy element.

2. Rozwiązanie równania -30 pkt

Proszę rozwiązać metodą elementów skończych równanie (1) na danej siatce i narysować rozwiązanie.

3. Zagęszczanie siatki -50 pkt

(a) Proszę policzyć całkę działania w obrębie każdego elementu, według wzoru

a ^m =

3

X

k=1 3

X

l=1

c ^m _l c ^m _l E _kl ^m , (2)

gdzie E _kl ^m to macierz lokalna.

(b) Wybrać 10 elementów z największą wartością owej całki.

(c) Dla tych dziesięci elementów wprowadzić węzeł w środku ciężkości trójkąta.

(d) Przeprowadzić triangulacje jeszcze raz.

(e) Powtórzyć 20 razy, dla każdej iteracji wypisać wartość całki działania całkowitej.

Na końcu narysować siatkę ostateczną.

Rysunek 2: Całka działania w funkcji ilości elementów oraz siatka ostateczna.

2