Egzamin z TCiWdTD dn. 26.01.2013
Nazwisko i imi ˛e, grupa
1 2 3 4 5 6 Egz ´Cw X
Zad. 1. (za 7 pkt.)
Wiedz ˛ac, ˙ze wielomiany Laguerre’a wyra˙zaj ˛a si ˛e wzorem
() = 1
!
¡−¢ , wyznaczy´c transformat ˛e Laplace’a L {} ().
b) (za 3 pkt.)
Sformułowa´c wykorzystane własno´sci transformaty Laplace’a.
Zad. 2. (za 7 pkt.)
Stosuj ˛ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛aza´c zagadnienie
0() + 4 () + 5 Z
0
( ) = − dla 0, ¡ 0+¢
= 1.
b) (za 3 pkt.) Niech 1() =√
, 2() = √1
. Wyznaczy´c (1∗ 2)0().
Zad. 3. a) (za 7 pkt.)
Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o zachowaniu si ˛e transformaty Laplace’a w niesko´n- czono´sci.
b) (za 3 pkt)
Niech H{ ()} () = e() oznacza niesko´nczon ˛a transformat ˛e Hankela funkcji () w punkcie . Pokaza´c, ˙ze dla 0 zachodzi wzór
H{ ()} () = 1
2e
³
´ . Zad. 4. a) (za 7 pkt.)
Wyznaczy´c pierwsz ˛a i drug ˛a pochodn ˛a w sensie dystrybucyjnym funkcji
() = 2 sgn ( − 2) + || .
b) (za 3 pkt)
Poda´c definicj ˛e dystrybucji temperowanej (wolnorosn ˛acej) oraz definicj ˛e transformaty Fo- uriera dystrybucji.
Zad. 5. (za 10 pkt.)
Poda´c definicj ˛e przekształcenia całkowego z j ˛adrem fourierowskim. Poda´c przykłady takich prze- kształce´n wraz z uzasadnieniem. Czy transformata Mellina jest takim przekształceniem?
Zad. 6. a) (za 7 pkt)
Rozwi ˛aza´c równanie ró˙znicowe
+2− 2+1+ 2= , gdzie 0= 0, 1 = 1.
b) (za 3 pkt.)
Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenia o przesuni ˛eciu dla −transformaty.
