Zad. 1. (za 3 pkt.)

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 27.01.2014

Zad. 1. (za 3 pkt.)

Dla  ∈  okre´slamy h i jak nast˛epuje

h i = Z +∞

0

 () −  (0) −  ⁰ (0)

 ² √

 .

Udowodni´c, ˙ze  ∈  ⁰ . Zad. 2. (za 3 pkt.)

Wyznaczy´c splot  0 ∗  ⁰ ∗  ⁰ ∗  ⁰ traktuj ˛ ac  0 jako funkcj ˛e prawostronn ˛ a.

Zad. 3. (za 3 pkt.)

Funkcj ˛e  () =  +  ³ przedstawi´c w przedziale h0; 1i w postaci sumy szeregu Fouriera-Bessela wzgl ˛edem układu funkcji { ¹ (  ) }, gdzie ( ^ ) jest ci ˛ agiem dodatnich zer funkcji  1 .

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Czy istnieje stała  taka, ˙ze funkcja  () = _1+ ^

wyznacza j ˛ adro przekształcenia fourierow- skiego? Odpowied´z uzasadni´c.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

 +3 +  +2 −  ^+1 −  ^ = 1, z warunkami pocz ˛ atkowymi  0 = 1,  1 =  2 = 0.

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 27.01.2014

Zad. 1. (za 3 pkt.) Pokaza´c, ˙ze  ²

³

 ⁻

1 + ()

´

=  , gdzie

h i = 1 2

Z +∞

0

 ⁰ () −  ⁰ (0)

 √

   ∈ .

Zad. 2. (za 3 pkt.)

Wyznaczy´c splot  0 ∗  ⁰ ∗  ⁰ ∗  ⁰ traktuj ˛ ac  0 jako funkcj ˛e prawostronn ˛ a.

Zad. 3. (za 3 pkt.)

Funkcj ˛e  () =  +  ³ przedstawi´c w przedziale h0; 1i w postaci sumy szeregu Fouriera-Bessela wzgl ˛edem układu funkcji { ¹ (  ) }, gdzie ( ^ ) jest ci ˛ agiem dodatnich zer funkcji  1 .

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Niech e   () oznacza niesko´ nczon ˛ a transformat ˛e Hankela funkcji  (), za´s  e  () oznacza nie- sko´ nczon ˛ a transformat ˛e Hankela funkcji  (). Pokaza´c, ˙ze:

Z +∞

0

 ()  ()  = Z +∞

0

 e   ()  e  () .

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

 +3 +  +2 −  ^+1 −  ^ = 1, z warunkami pocz ˛ atkowymi  0 = 1,  1 =  2 = 0.