Zad. 1. (za 3 pkt.)

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2009

Zad. 1. (za 3 pkt.)

Wyprowadzi´c wzór na Γ ¡ n + ¹ ₂ ¢

, gdzie n jest liczb ˛ a naturaln ˛ a.

Zad. 2. (za 4 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰⁰ + 3y ⁰ + y = 6 exp (−t) z warunkami pocz ˛atkowymi y (0 ⁺ ) = y ⁰ (0 ⁺ ) = y ⁰⁰ (0 ⁺ ) = 0.

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: f ⁰⁰ (x) − f (x) − Z x

0

f (t) sinh (x − t) dt + Z x

0

f ⁰ (t) cosh (x − t) dt = cosh x z warun- kami: f (0 ⁺ ) = 1, f ⁰ (0 ⁺ ) = 1.

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Korzystaj ˛ ac ze wzoru

L

∙ f (t) t

¸ (s) =

Z ∞

s

F (σ) dσ,

obliczy´c L [Si (kt)] (s), gdzie Si (kt) = Z t

0

sin (kτ )

τ dτ (tzw. sinus całkowy).

Zad. 5.* (zast ˛epuje dowolne inne zadanie)

Korzystaj ˛ ac z tego, ˙ze C = −Γ ⁰ (1) pokaza´c, ˙ze Z 1

0

1 − e ^−t − e ⁻

t dt = C.

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2009

Zad. 1. (za 3 pkt.) Udowodni´c, ˙ze:

(ln Γ (x)) ⁰⁰ =

+ ∞

X

n=0

1 (n + x) ² . Zad. 2. (za 4 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y ⁰⁰⁰ − 3y ⁰⁰ + 3y ⁰ − y = 6 exp (t) z warunkami pocz ˛atkowymi y (0 ⁺ ) = y ⁰ (0 ⁺ ) = y ⁰⁰ (0 ⁺ ) = 0.

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: f ⁰⁰ (x) − f (x) − Z x

0

f (t) sinh (x − t) dt + Z x

0

f ⁰ (t) cosh (x − t) dt = cosh x z warun- kami: f (0 ⁺ ) = 1, f ⁰ (0 ⁺ ) = 1.

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Korzystaj ˛ ac ze wzoru

L

∙ f (t) t

¸ (s) =

Z ∞

s

F (σ) dσ,

obliczy´c L [Si (kt)] (s), gdzie Si (kt) = Z t

0

sin (kτ )

τ dτ (tzw. sinus całkowy).

Zad. 5.* (zast ˛epuje dowolne inne zadanie)

Korzystaj ˛ ac z tego, ˙ze C = −Γ ⁰ (1) pokaza´c, ˙ze Z 1

0

1 − e ^−t − e ⁻

t dt = C.