2014 część 2

Statystyka Opisowa 2014 część 2

Katarzyna Lubnauer

Literatura:

1. „Statystyka w Zarządzaniu” ‚ Admir D. Aczel

2. „Statystyka Opisowa od Podstaw” ‚ Ewa Wasilewska 3. „Statystyka” , Lucjan Kowalski.

4. „Statystyka opisowa”, Mieczysław Sobczyk

Są trzy rodzaje kłamstw: kłamstwa,

przeklęte kłamstwa i statystyki.

Naszym celem jest odpowiedź na 4 pytania:

• Czy między badanymi cechami występuje współzależność.

• Jaki jest kształt zależności (liniowa, nieliniowa).

• Jaka jest jej siła.

• Jaki jest jej kierunek.

Badanie zależności między dwiema cechami – analiza korelacji.

Badając różnego rodzaju zjawiska, np. społeczne, ekonomiczne, psychologiczne, przyrodnicze itp. stwierdzamy, ze często jedno z nich jest uwarunkowane

działaniem innych zjawisk. Zastanawiamy się nad charakterystyką tej zależności.

Np.

Czy cena lodów ma wpływ na ich sprzedaż?

Czy temperatura powietrza ma wpływ na sprzedaż lodów?

Czy cena samochodów ma wpływ na cenę lodów?

Głupi ludzie, nie zawsze pozorna zależność oznacza przyczynę i skutek.

Szeregi dwucechowe szczegółowe – szereg korelacyjny

Wiek żony X, Wiek męża Y,

19 19

20 24

21 22

23 23

24 26

27 26

28 30

30 34

33 32

35 37

xi y_i

Otrzymujemy więc zbiór par postaci:

( , x y _{i i} )

gdzie:

1,...,

i  n

Prezentacja graficzna szeregów dwucechowych, diagram korelacyjny:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 2 4 6 8 10

1 1

3 26

3 30

4 66

5 124

6 220

7 345

7 350

8 490

9 880

x

y

Prezentacja graficzna szeregów dwucechowych, diagram korelacyjny:

1 880

3 490

3 350

4 345

5 220

6 124

7 66

7 30

8 26

9 1

xi y_i

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 2 4 6 8 10

Szeregi dwucechowe rozdzielcze

x1

x2

x3

x4

x5

y1 y₂ y₃ y₄ n11 n₁₂

n21 n₂₂ n₂₃ n32

n42

n52

n24

n31

n41

n51

n33

n23

n43

n53 n₅₄ n44

n34

n14

Gdzie warianty cechy X, zaś warianty cechy Y oraz liczebność pary:

xi y_j n_ij

 ^{x y}

^,



Przykład: Niech X czas nauki studentów do testu ze SO wyrażony w godzinach, zaś Y ocena z testu. Przyjmujemy, że do testu podeszło 100 studentów

8 4 3 1

7 5 5 3

4 6 6 4

3 5 8 7

1 4 7 9

1 3

x 

2 5

x 

3 7

x 

4 9

x 

5 11

x 

1 2

y  y₂  3 y₃  4 y₄  5

Do dalszych analiz potrzebne nam będą liczebności brzegowe:

x1

x2

x3

x4

x5

y1 y₂ y₃ y₄ n11 n₁₂

n21 n₂₂ n₂₃

n32

n42

n52

n24

n31

n41

n51

n33

n13

n43

n53 n₅₄ n44

n34

n14 n_1 n2_

n3_

n4_

n5_

n_1 n_2 n_3 n_4

i ij

,

j i

n

  n n

  n

8 4 3 1 16

7 5 5 3 20

4 6 6 4 20

3 5 8 7 23

1 4 7 9 21

23 24 29 24 100

1 3

x 

2 5

x 

3 7

x 

4 9

x 

5 11

x 

1 2

y  y₂  3 y₃  4 y₄  5

n

n

Przykład: Niech X czas nauki studentów do testu ze SO wyrażony w godzinach, zaś Y ocena z testu. Przyjmujemy, że do testu podeszło 100 studentów, szukamy liczebności brzegowych.

Wyróżniamy dwa rodzaje zależności między cechami są to:

• Zależność funkcyjna – polegająca na tym, że zmiana wartości cechy X powoduje zmianę wartości cechy Y

• Zależność statystyczna – polegająca na tym, że jednej wartości cechy X przypada kilka wartości cechy Y

Przykład: X podatek, Y cena, można się spodziewać zależności Y = aX+a

Przykład: X wiek dziecka w miesiącach, Y waga dzieci

Wiek w miesiącach X Waga w kg Y

1 3,8

4,8 5,2

2 4,9

5,9 6,4

3 6,0

7,2

7,4 0

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4

Potrzebujemy miary, która pomogłaby wyrazić siłę zależności w sposób liczbowy.

W celu badania zależności między zmiennymi korzystamy ze

współczynnika korelacji Pearsona

 

cov ,

X Y

r X Y

 s s

cov(X,Y) w zależności od postaci w jakiej mamy dane liczy się z różnych wzorów.

Dla szeregu szczegółowego (zależność podejrzewana o charakter funkcyjny) na policzenie kowariancji i odchylenia stosujemy wzory:

    

cov ,

n

i i

i

x x y y

X Y n



 

 

 

 

2 1

2 1

1 ,

1

n

X i

i n

Y i

i

s x x

n

s y y

n





 

 





X Y

1 1

3 26

3 30

4 66

5 124

6 220

7 345

7 350

8 490

9 880

Wg Excela

X Y

1 1

3 26

3 30

4 66

5 124

6 220

7 345

7 350

8 490

9 880

 

cov ,

0,8917

X Y

r X Y

 s s 



X Y

1 880

3 490

3 350

4 345

5 220

6 124

7 66

7 30

8 26

9 1

 

cov ,

0, 9365

X Y

r X Y

 s s 

 

Wiek w miesiącach X Waga w kg Y

1 3,8

4,8 5,2

2 4,9

5,9 6,4

3 6,0

7,2 7,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4

 

cov ,

0,8347

X Y

r X Y

 s s 



Dla szeregu rozdzielczego (zależność podejrzewana o charakter funkcyjny) na policzenie kowariancji stosujemy wzór:

8 4 3 1 16

7 5 5 3 20

4 6 6 4 20

3 5 8 7 23

1 4 7 9 21

23 24 29 24 100

1 3

x 

2 5

x 

3 7

x 

4 9

x 

5 11

x 

1 2

y  y₂  3 y₃  4 y₄  5

n

n

     

1 1

cov ,

m k

ij i j

j i

n x x y y

X Y n

 

 

 

 

 

2 1

2

1

1 ,

1

k

X i i

i m

Y j j

i

s n x x

n

s n y y

n

 

 

 

 





0, 4321

r 

Interpretacja współczynnika korelacji:

r - Współczynnik korelacji Pearsona jest miarą symetryczną. Oznacza to, że jest taki sam niezależnie, czy badamy zależność X od Y, czy odwrotnie.

1 r 1

  

Odpowiada na następujące pytania:

• Czy między badanymi cechami występuje współzależność

• Jaki jest kształt zależności (liniowa, nieliniowa)

1

r 

Jeśli jest bliski, lub równy zero to przyjmuje się, że między zmiennymi nie ma zależności.

• Jaka jest jej siła

 ^0,0.2 

r 

 ^{0.2, 0.4} 

r 

 ^{0.4, 0.6} 

r 

 ^0.6,0.8 

r 

 ^0.8,1.0 

r 

• Jaki jest jej kierunek

0 r 

0 r 

korelacja ujemna, wzrost jednej zmiennej powodował spadek drugiej korelacja dodatnia, wraz ze wzrostem jednej zmiennej wzrasta druga

Przykładowe diagramy z podaną wartością korelacji Pearsona

Współczynnik korelacji rang Spearmana

Współczynnik rang Spearmana

stosujemy gdy:

• Mamy do czynienia z sytuacją, gdy jedna z cech jest jakościowa

(niemierzalna), ale dająca się uporządkować (porządkowa), a druga cecha jest mierzalna.

• Gdy mamy dwie jakościowe (niemierzalne), ale dające się uporządkować

• Gdy mamy dwie cechy mierzalne i niedużą liczebność próby, zaś współczynnik korelacji Pearsona zakłócają wartości odskakujące

Musimy najpierw zdefiniować pojęcie rangowania – czyli przypisywania wariantom cechy X, oraz cechy Y rang wynikających z kolejności w

uporządkowanym szeregu szczegółowym.

Rangowanie odbywa się po uporządkowaniu wariantów cechy od najmniejszej do największej, następnie przypisujemy każdemu wariantowi numer, który zajmuje w ciągu. Jeśli kilka wariantów jest równe to rangą jest średnią arytmetyczną kolejnych numerów przypadających na ten wariant.

Przykład:

2,4; 3,5; 3,5; 5; 2,4; 2,4; 3,5; 4; 5; 2,4

Uporządkowane kolejno z przypisanymi rangami wyglądają tak, gdzie :

X kolejność Rangi

2,4 1-4 2,5

2,4 1-4 2,5

2,4 1-4 2,5

2,4 1-4 2,5

3,5 5-7 6

3,5 5-7 6

3,5 5-7 6

4 8 8

5 9-10 9,5

5 9-10 9,5

xi

r xi

x

r

oznacza rangę wariantu:

x i

Jeżeli teraz mamy dwie cechy odpowiednio X i Y mające warianty:

i , i

x y

przypisujemy im odpowiednio rangi:

i

,

x y

r r

To współczynnik rang Spearmana liczymy ze wzoru

2 1 2

6

1 ( 1)

i

i i

n

i

s i x y

d

r gdzie d r r

n n

 

 





Uwaga, dla różnic rang zawsze zachodzi związek:

1

0

n

i i

d



 

Ponadto współczynnik

1 r _s 1

  

I co za tym idzie:

s 1

r 

Przykład

Badamy zależność między wykształceniem, a dniami urlopu w czasie roku:

X Y

podstawowe 24

średnie 18

zasadnicze zawodowe 17 wyższe magisterskie 10 wyższe licencjackie 9

podstawowe 22

zasadnicze zawodowe 15 wyższe licencjackie 8

podstawowe 23

wyższe magisterskie 7

Musimy teraz przypisać rangi, w tym celu najpierw porządkujemy warianty:

Warianty Rangi

podstawowe 2

średnie 6

zasadnicze zawodowe 4,5 wyższe magisterskie 9,5 wyższe licencjackie 7,5

podstawowe 2

zasadnicze zawodowe 4,5 wyższe licencjackie 7,5

podstawowe 2

wyższe magisterskie 9,5

Warianty Numery

podstawowe 1-3

podstawowe 1-3

podstawowe 1-3

zasadnicze zawodowe 4-5 zasadnicze zawodowe 4-5

średnie 6

wyższe licencjackie 7-8 wyższe licencjackie 7-8 wyższe magisterskie 9-10 wyższe magisterskie 9-10

Teraz przypisujemy wariantom rangi, zgodnie ze średnią

arytmetyczną numerów.

Najpierw wyznaczymy rangi dla cechy jakościowej, porządkowej jaką jest wykształcenie.

Musimy teraz przypisać rangi, w tym celu najpierw porządkujemy warianty:

Warianty Rangi

24 10

18 7

17 6

10 4

9 3

22 8

15 5

8 2

23 9

7 1

Warianty Numery

7 1

8 2

9 3

10 4

15 5

17 6

18 7

22 8

23 9

24 10

Teraz przypisujemy wariantom rangi, zgodnie ze średnią

arytmetyczną numerów.

Teraz wyznaczymy rangi dla cechy ilościowej, jaką jest liczba dni wolnych.

Cecha X Rangi cechy X Cecha Y Rangi cechy Y Różnica rang Kwadrat różnicy rang

podstawowe 2 24 10 -8 64

średnie 6 18 7 -1 1

zasadnicze zawodowe 4,5 17 6 -1,5 2,25

wyższe magisterskie 9,5 10 4 5,5 30,25

wyższe licencjackie 7,5 9 3 4,5 20,25

podstawowe 2 22 8 -6 36

zasadnicze zawodowe 4,5 15 5 -0,5 0,25

wyższe licencjackie 7,5 8 2 5,5 30,25

podstawowe 2 23 9 -7 49

wyższe magisterskie 9,5 7 1 8,5 72,25

suma 0 305,5

xi y_i

xi

r ryi

d

d

2 1 2

6

1 0,85152

( 1)

i

n

i s

d

r n n

 

 





Japończycy jedzą bardzo mało tłuszczu i cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie.

Z drugiej strony, Francuzi jedzą dużo tłuszczu, a także cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie.

Japończycy piją bardzo mało czerwonego wina i cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie.

Włosi piją nadmierne ilości czerwonego wina, a także cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie.

Wnioski: Jedz i pij co chcesz. To mówienie po angielsku, że cię

zabije.