Ekonometria Lista 1 Z2ZF01
Lista zadań obejmuje następujące zagadnienia:
• Regresja I i II rodzaju
• Model regresji prostej – estymator KMNK
1
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) posiada rozkład o następującej gęstości:
f (x, y) =
0.2(x + 2y) dla 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2,
0 poza tym.
Wyznaczyć równanie linii regresji I rodzaju zmiennej losowej Y względem X.
2
Wiadomo, że szacowanie parametrów metodą najmniejszych kwadratów polega na doborze ta- kich oszacowań parametrów (a, b) nieznanych parametrów (α, β), które zminimalizują sumę kwadratów różnic rzeczywistych (zaobserwowanych) i teoretycznych (tj. wynikających z mo- delu) wartości zmiennej objaśnianej: f (a, b) =Pn
i=1(yi− ˆyi)2 =Pn
i=1[yi− (axi+ b)]2. Znaleźć minimum funkcji f (a, b).
3
Oszacować i zinterpretować parametry regresji II rodzaju cech Y względem X oraz X wzglę- dem Y. Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej między cechami. Narysować obie proste. Podać współrzędne ich punktu przecięcia. Wyznaczyć reszty dla poszczególnych obserwacji.
Y 1 2 2 4 6 X 1 2 4 6 7 4
Które z poniższych par prostych mogą być parami prostych regresji?
a)
Y = 2X + 1b X =b 13Y − 2 b)
Y = 2X + 1b
X = −b 13Y + 2 c)
Y = 2X + 1b
X = −Y − 1b d)
Y = −2X + 1b X = −b 23Y − 2 e)
Y = 2X + 1b X =b 12Y + 1 f)
Y = 2X + 1b
X =b 12Y − 1 g)
Y = −2X + 78b X = −b 15Y − 4 h)
Y = −2X + 2b X = −b 12Y − 1 5
Na podstawie danych pewnych krajów Europy otrzymano następujące informacje o handlu za- granicznym:
• średni import (I ) wyniósł 3305.5 $, a odchylenie standardowe 2803.5 $;
• średni eksport (E ) wyniósł 3552 $, a odchylenie standardowe 2913 $;
• współczynnik korelacji liniowej wyniósł 0.99.
Wyznaczyć liniowe równanie regresji eksportu i oszacować teoretyczną wartość eksportu, gdy import wynosi 1500 $.
1
Ekonometria Lista 1 Z2ZF01
6
Oszacowano funkcję regresji opisującą zależność między cechami X oraz Y : bY = 0.1X + 0.8.
Jaką wartość może przyjąć parametr kierunkowy linii regresji opisujący zależność X od Y ? 7
Na podstawie poniższych informacji P5
i=1(xi− ¯x)(yi− ¯y) = −19.48, P5
i=1(xi− ¯x)2 = 9.06, P5
i=1(yi− ¯y)2 = 42.74, oraz wiedząc, że proste regresji przecinają się w punkcie (4; 25):
a) Oszacować parametry prostych regresji X względem Y oraz Y względem X.
b) Obliczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji liniowej.
c) Określić w ilu procentach zmienność zmiennej X jest objaśniana zmiennością zmiennej Y . 8
Przeprowadzono analizę danych o urodzeniach w Stanach Zjednoczonych. Badaniu poddano zależność wagi noworodka w uncjach (waga) od średniej liczby papierosów wypalanych dziennie przez matkę w czasie trwania ciąży (pap). Oszacowano następujący model regresji prostej na podstawie danych o n = 1388 urodzeniach:
waga = 119.7 +d α · pap.b
a) Obliczyć brakujący parametr, jeśli wiadomo, że średnia waga noworodka w próbie wyniosła 116.2 uncji, a średnia średniej liczby wypalanych papierosów wśród matek to 6.8 papierosa dziennie.
b) Zinterpretować współczynnik kierunkowyα.b
c) Jaka jest prognozowana waga noworodka w momencie narodzin, jeżeli matka nie pali? Co się stanie, gdy matka pali 20 papierosów dziennie?
d) Jaka powinna być średnia dzienna liczba papierosów palonych przez matkę, by model prognozował wagę noworodka 125 uncji? Skomentować.
e) Załóżmy, że średnia waga noworodka wśród matek niepalących to 125 uncji. Jaki al- ternatywny model można zaproponować, by waga noworodka była lepiej prognozowana w grupie matek, które nie palą?
9
Oszacowano równania regresji. Obliczyć współczynnik korelacji między cechami X a Y . (
Y = 0.81X + 2.57b
X = cY − 2b , X = 3.¯ 10
Na podstawie 25 obserwacji oszacowano parę linii regresji. Wiadomo, że:
(
Y = −X + bb
X = cY + 2b , Pn
i=1Xi = 75, Pn
i=1Yi= −125.
Podać brakujące wartości oszacowanych parametrów. Ile wynosi współczynnik korelacji między zmiennymi X i Y ? Obliczyć i zinterpretować współczynnik determinacji.
2
Ekonometria Lista 1 Z2ZF01
11
Na podstawie 12 obserwacji oszacowano parę prostych regresji:
(
Y = −0.25X + 3b X = −2Y − 2b .
Wariancja próbkowa X wynosi 16.
a) Obliczyć współczynnik korelacji liniowej Pearsona między zmiennymi X i Y .
b) Określić w ilu procentach zmienność zmiennej X jest objaśniana zmiennością zmiennej Y . c) Obliczyć P12
i=1Xi oraz P12
i=1Yi.
d) Wyznaczyć arytmetyczny środek ciężkości chmury punktów {(Xi, Yi)}12i=1. e) Ile wynosi kowariancja zmiennych X i Y ?
f) Ile wynosi odchylenie standardowe Y ?
3
