PiMS ćwiczenia 5 Współczynnik korelacji. Proste regresji. Przykładowe rozwiązania zadań

PiMS ćwiczenia 5

Współczynnik korelacji. Proste regresji.

Przykładowe rozwiązania zadań Zadanie 8. Dany jest teoretyczny rozkład zmiennej losowej (X, Y ) c)

E(X) =^P_ix_i· p_i.= 1 · 0.4 + 2 · 0.6 = 1.6

E(Y ) =^P_jyj · p.j = (−1) · 0.2 + 0 · 0.2 + 1 · 0.3 + 2 · 0.3 = 0.7

E(X²) =^P_ix_i²· p_i.= 1²· 0.4 + 2²· 0.6 = 2.8

E(Y²) =^P_jy_j²· p_.j = (−1)²· 0.2 + 0²· 0.2 + 1² · 0.3 + 2²· 0.3 = 1.7

D²(X) = E(X²) − (E(X))² = 2.8 − (1.6)² = 0.24, D(X) =^qD²(X) = 0.49 D²(Y ) = E(Y²) − (E(Y ))² = 1.7 − (0.7)² = 1.21, D(Y ) =^qD²(Y ) = 1.1.

E(X · Y ) =^P_i,jx_i· y_j· p_i,j = 1.3.

cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) = 1.3 − 1.6 · 0.7 = 0.18

ρ_{(X,Y )} = cov(X, Y )

D(X) · D(Y ) = 0.18

0.49 ∗ 1.1 = 0.33

d)

a = ^{cov(X,Y )}_D2(X) = ^0.18_0.24 = 0.75

b = E(Y ) − a · E(X) = 0.7 − 0.75 · 1.6 = −0.5

czyli prosta regresji Y względem X jest postaci : Y = 0.75 · X − 0.5

Zadanie 11. Załóżmy, że dany jest rozkład empiryczny (z próby) zmiennej losowej (X, Y ) a)

Częstość z próby:

p_i,j = ⁿ_n^i,j dla każdego i, j

x =^P_ix_i· p_i. = (−2) · 0.4 + 2 · 0.6 = 0.4

y =^P_jy_j · p_.j = (−2) · 0.3 + (−1) · 0.5 + 0 · 0.1 + 1 · 0.1 = −1

S_X² =^P_i(x_i− x)²· p_i.= (−2 − 0.4)²· 0.4 + (2 − 0.4)²· 0.6 = 3.84, S_X =

q

S_X² =√

3.84 = 1.96

S_Y² =^P_j(y_j− y)²· p_.j = (−2 − (−1))²· 0.3 + (−1 − (−1))²· 0.5 + (0 − (−1))²· 0.1 + (1 − (1))²· 0.1 = 0.8, SY =

q

SY2

=√

0.8 = 0.89.

X

i,j

x_i· y_j · p_i,j− x · y = 0.4 − 0.4 · (−1) = 0.8

r =

P

i,jx_i· y_j· p_i,j − x · y

S_X · S_Y = 0.8

1.96 · 0.89 = 0.46

b)

a = r · ^S_S^Y

X = 0.46^0.89_1.96 = 0.21

b = y − a · x = −1 − 0.21 · 0.4 = −1.08

czyli prosta regresji Y względem X jest postaci : Y = 0.21 · X − 1.08

c)

1. Stawiamy hipotezę

H₀ : ρ_{(X,Y )} = 0 przeciw H₁ : ρ_{(X,Y )} 6= 0.

2. Obliczamy wartość statystyki testowej:

T = r

√1 − r² ·√

n − 2 = 0.46

√1 − 0.21 ·√ 98 =

T = r

√1 − r² ·√

n − 2 = 0.46 1 − 0.21 ·√

98 = 5.12

3. Budujemy zbiór krytyczny:

W = (−∞; −t(α, n − 2)) ∪ (t(α, n − 2); +∞)

t(α, n − 2) = t(0.1; 98) = 1.66 (z tablicy 5: t(0.1; 40) = 1.68) Zatem: W = (−∞; −1.66) ∪ (1.66; +∞)

4. Podejmujemy decyzję: T ∈ W zatem odrzucamy H₀, przyjmujemy H₁, czyli na poziomie istotności α = 0.1 zmienne X i Y są istotnie statystycznie skorelowane (zależne liniowo). Ma sens przybliżanie zależności między X a Y funkcją liniową Y = a · X + b.