√ 32 √ 32

Temat: Wzory redukcyjne.

Na poprzednich lekcjach nauczyliśmy się odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych kątów o mierze do 90⁰ (w tym celu korzystaliśmy z dwóch tabel – jednej małej tylko dla kątów 30⁰,45⁰,60⁰ oraz drugiej dużej, gdzie umieszczone było wartości funkcji trygonometrycznych kątów od 0⁰-90⁰)

Jedną z większych trudności w trygonometrii jest podawanie wartości funkcji trygonometrycznych np.

dla kątów rozwartych. Ta trudność bierze się z tego iż w tablicach trygonometrycznych zazwyczaj brakuje wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów innych niż ostre (czyli dla kątów większych niż 90°°). W poznaniu wartości funkcji dla np. kątów rozwartych przydatne są właśnie wzory redukcyjne. (Te wzory macie w tablicach matematycznych).

Jak korzystać z tych wszystkich wzorów? Już pokazuję.

Ćwiczenie 1. Oblicz:

a)sin120⁰

Pomyślmy… 120⁰… mogę taki kąt uzyskać z działania 90⁰+30⁰ !!! Zatem zapiszę tak:

sin120⁰=sin(90⁰+30⁰). Ten zapis przypomina wzór z pomarańczowej ramki : sin(90⁰+α)=cosα. Zatem:

sin120⁰=sin(90⁰+30⁰)=cos30⁰=

√

2 cos 30⁰ odczytujemy z tabeli wart. funkcji trygonom.

Ale… ktoś powie: że 120⁰ mogę też uzyskać z działania 180⁰-60⁰ . Zgadza się. Wtedy zapiszemy tak:

sin120⁰=sin(180⁰-60⁰). Ten zapis przypomina wzór z pomarańczowej ramki: sin(180⁰-α)=sinα.

Zapiszmy:

sin120⁰=sin(180⁰-60⁰)=sin60⁰=

√

2

Wniosek: nie ważne jak rozpiszemy dany kat (większy niż 90⁰) – czy jako 90⁰+… czy jako 180⁰- ….

Wartości funkcji trygonometrycznych naszego kąta z obu rozpisań wyjdą takie same.

b) sin 150⁰

sin150⁰=sin(90⁰+60⁰)=cos60⁰= 1 2

c) sin 135⁰

sin 135⁰=sin(90⁰+45⁰)=cos45⁰=

√

2

d) cos120⁰

cos120⁰=cos(90⁰+30⁰)= - sin30⁰= - 1 2

e) cos 150⁰

cos 150⁰=cos(90⁰+60⁰)= - sin 60⁰= -

√

2 f) tg120⁰

tg120⁰=tg(180⁰-60⁰)= -tg60⁰= -

√

g) sin 405⁰ jeśli kąt w nawiasie jest większy niż 360⁰ w przypadku sinα i cosα, to korzystamy ze wzorów pod pomarańczową tabelką

sin405⁰=sin(360⁰+45⁰)=sin45⁰=

√

2

Przydatne będą również poniższe cztery zależności, których musicie nauczyć się na pamięć:

Z powyższych wzorów wynika, ze np. sin(-30⁰)= - sin30⁰.

A teraz coś trudniejszego… co w sytuacji, kiedy będziemy mieć do obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kąta powyżej 180^o ? np.: cos315⁰? Możemy korzystać kilka razy ze wzorów z pomarańczowej ramki:

sin315⁰= sin(180⁰+135⁰)= - sin135⁰= - sin(90⁰+45⁰)= - sin45⁰= -

√

2 drugi raz ze wzorów

Drugim sposobem na policzenie sin315⁰ jest zastosowanie jednego z poniższych wzorów (tego, w którym wynik działania w nawiasie będzie najbliższy naszemu 315⁰) :

sin315⁰=sin(270⁰+45⁰)= - cos45⁰= -

√

2 . Może i szybszy sposób, ale niestety nie wszystkie te wzory są w tablicach matematycznych. (wzory te wpiszcie na końcu w zeszycie)

Praca domowa:

Zad. 6.85/172 zbiór zadań (*wskazówka: oblicz najpierw wartości : tg135⁰, ctg 150⁰… a następnie gotowe wyniki wstaw do przykładu ze zbioru zadań)