Temat: Wzory redukcyjne.
Na poprzednich lekcjach nauczyliśmy się odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych kątów o mierze do 900 (w tym celu korzystaliśmy z dwóch tabel – jednej małej tylko dla kątów 300,450,600 oraz drugiej dużej, gdzie umieszczone było wartości funkcji trygonometrycznych kątów od 00-900)
Jedną z większych trudności w trygonometrii jest podawanie wartości funkcji trygonometrycznych np.
dla kątów rozwartych. Ta trudność bierze się z tego iż w tablicach trygonometrycznych zazwyczaj brakuje wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów innych niż ostre (czyli dla kątów większych niż 90°°). W poznaniu wartości funkcji dla np. kątów rozwartych przydatne są właśnie wzory redukcyjne. (Te wzory macie w tablicach matematycznych).
Jak korzystać z tych wszystkich wzorów? Już pokazuję.
Ćwiczenie 1. Oblicz:
a)sin1200
Pomyślmy… 1200… mogę taki kąt uzyskać z działania 900+300 !!! Zatem zapiszę tak:
sin1200=sin(900+300). Ten zapis przypomina wzór z pomarańczowej ramki : sin(900+α)=cosα. Zatem:
sin1200=sin(900+300)=cos300=
√
32 cos 300 odczytujemy z tabeli wart. funkcji trygonom.
Ale… ktoś powie: że 1200 mogę też uzyskać z działania 1800-600 . Zgadza się. Wtedy zapiszemy tak:
sin1200=sin(1800-600). Ten zapis przypomina wzór z pomarańczowej ramki: sin(1800-α)=sinα.
Zapiszmy:
sin1200=sin(1800-600)=sin600=
√
32
Wniosek: nie ważne jak rozpiszemy dany kat (większy niż 900) – czy jako 900+… czy jako 1800- ….
Wartości funkcji trygonometrycznych naszego kąta z obu rozpisań wyjdą takie same.
b) sin 1500
sin1500=sin(900+600)=cos600= 1 2
c) sin 1350
sin 1350=sin(900+450)=cos450=
√
22
d) cos1200
cos1200=cos(900+300)= - sin300= - 1 2
e) cos 1500
cos 1500=cos(900+600)= - sin 600= -
√
32 f) tg1200
tg1200=tg(1800-600)= -tg600= -
√
3g) sin 4050 jeśli kąt w nawiasie jest większy niż 3600 w przypadku sinα i cosα, to korzystamy ze wzorów pod pomarańczową tabelką
sin4050=sin(3600+450)=sin450=
√
22
Przydatne będą również poniższe cztery zależności, których musicie nauczyć się na pamięć:
Z powyższych wzorów wynika, ze np. sin(-300)= - sin300.
A teraz coś trudniejszego… co w sytuacji, kiedy będziemy mieć do obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kąta powyżej 180o ? np.: cos3150? Możemy korzystać kilka razy ze wzorów z pomarańczowej ramki:
sin3150= sin(1800+1350)= - sin1350= - sin(900+450)= - sin450= -
√
22 drugi raz ze wzorów
Drugim sposobem na policzenie sin3150 jest zastosowanie jednego z poniższych wzorów (tego, w którym wynik działania w nawiasie będzie najbliższy naszemu 3150) :
sin3150=sin(2700+450)= - cos450= -
√
22 . Może i szybszy sposób, ale niestety nie wszystkie te wzory są w tablicach matematycznych. (wzory te wpiszcie na końcu w zeszycie)
Praca domowa:
Zad. 6.85/172 zbiór zadań (*wskazówka: oblicz najpierw wartości : tg1350, ctg 1500… a następnie gotowe wyniki wstaw do przykładu ze zbioru zadań)