PROPRI ´ ET ´ ES TOPOLOGIQUES ET COMBINATOIRES DES ´ ECHELLES DE NUM ´ ERATION

VOL. 84/85 2000 PART 2

PROPRI ´ ET ´ ES TOPOLOGIQUES ET COMBINATOIRES DES ´ ECHELLES DE NUM ´ ERATION

PAR

GUY B A R A T (PARIS), TOMASZ D O W N A R O W I C Z (WROC LAW), ANZELM I W A N I K

PIERRE L I A R D E T (MARSEILLE) Abstract. Topological and combinatorial properties of dynamical systems called odometers and arising from number systems are investigated. First, a topological clas- sification is obtained. Then a rooted tree describing the carries in the addition of 1 is introduced and extensively studied. It yields a description of points of discontinuity and a notion of low scale, which is helpful in producing examples of what the dynamics of an odometer can look like. Density of the orbits is also discussed.

1. Introduction. Une ´ echelle de num´ eration pour les entiers naturels (z´ ero compris) est, par d´ efinition, une suite strictement croissante d’entiers G = (G _n ) _n avec G ₀ = 1. Cette ´ echelle fix´ ee, tout entier naturel n s’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme

n = X

k≥0

e k (n)G k

(1)

avec e _k ∈ N ^et

∀m ∈ N ^,

m

X

k=0

e k G k < G m+1 . (2)

Le mot infini J _G (n) := e ₀ (n)e ₁ (n)e ₂ (n) . . . est par d´ efinition le G-d´ evelop- pement de n; e _j (n) en est le j-i` eme chiffre, il est nul pour tout j assez grand.

Nous renvoyons ` a [Fra] pour une pr´ esentation g´ en´ erale de tels syst` emes.

L’´ echelle de num´ eration G n = b ⁿ correspondant au d´ eveloppement en base enti` ere b ≥ 2 n’est peut-ˆ etre pas la plus simple, mais sans nul doute la plus utilis´ ee en pratique avec b = 10. Les propri´ et´ es statistiques de cette num´ eration ont tout d’abord ´ et´ e abord´ ees par le biais de la somme des chiffres comme ce fut le cas dans les travaux fondateurs de R. Belleman et H. N. Shapiro [BeSh] ou de J. B´ esineau [Be]. Les tr` es nombreux prolonge –

2000 Mathematics Subject Classification: Primary 54H20; Secondary 11A63, 05C05.

Key words and phrases: dynamical system, odometer, number system, adding ma- chine, rooted tree.

Les premier et quatri` eme auteurs sont partiellement financ´ es par le MENRT, contrat 95-99.

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ments qui ont suivi portaient ` a la fois sur des num´ erations plus g´ en´ erales (Cantor, Ostrowski, Fibonacci. . . ) et sur l’´ etude statistique (valeurs moyen- nes, moments, distributions asymptotiques, corr´ elations) de fonctions dites additives (ou multiplicatives) dont la fonction somme des chiffres est le pro- totype de base. Le lecteur est renvoy´ e ` a [Li1] ou ` a [Ba] pour une liste de r´ ef´ erences sur le sujet. Pour des publications post´ erieures ` a ces travaux, citons par exemple [DrGa, Ma].

Dans la num´ eration en base fixe, l’addition de 1 sur N se calcule ais´ ement par un automate s´ equentiel ` a deux bandes. Il en va de mˆ eme pour certaines

´

echelles tr` es particuli` eres compl` etement d´ ecrites par C. Frougny dans [Fro].

Dans le cas g´ en´ eral, l’addition de 1 repose sur une ´ etude directe du trans- fert de la retenue et se prolonge de mani` ere naturelle en une application τ sur l’ensemble K <sub>G</sub> des suites e = e <sub>0</sub> e <sub>1</sub> e <sub>2</sub> . . . qui satisfont ` a (2), d´ efinissant ainsi un syst` eme dynamique (K <sub>G</sub> , τ ) appel´ e G-odom` etre (cf. section 2.3).

L’exemple G _n = q ⁿ est classique; l’odom` etre correspondant (q-adding ma- chine) est topologiquement conjugu´ e ` a l’addition de 1 dans le groupe des entiers q-adiques. Un autre exemple classique est celui de l’´ echelle de Fi- bonacci (G 1 = 2, G n+2 = G n+1 + G n ) pour laquelle l’odom` etre est – ` a un ensemble d´ enombrable pr` es – topologiquement conjugu´ e ` a la translation du nombre d’or modulo 1. L’article [GrLiTi] est le point de r´ ef´ erence de ce tra- vail. On y trouve notamment une caract´ erisation de la continuit´ e de τ (voir le th´ eor` eme 5 infra), ainsi qu’une ´ etude d´ etaill´ ee des ´ echelles associ´ ees aux β-d´ eveloppements de Parry [Pa]. Dans certains cas, les conditions (2) peu- vent s’exprimer par un diagramme de Bratteli simple, c’est-` a-dire qu’il existe une suite M = (M ⁽ⁿ⁾ ) n de matrices d’incidence (M ⁽ⁿ⁾ ) ij (0 ≤ i < G n+1 /G n

et 0 ≤ j < G _n+2 /G _n+1 ) de telle sorte que K _G co¨ıncide avec le compactum de Bratteli K(M ) donn´ e par

K(M ) := {x ∈ N ^{ω : ∀n ∈} N ^{, 0 ≤ x} n < G n+1 /G n & M _x ⁽ⁿ⁾

_x

= 1}.

(3)

Les deux exemples pr´ ec´ edents illustrent cette situation particuli` ere : pour chaque n, M <sup>(n)</sup> est ´ egale ` a la matrice carr´ ee d’ordre q dont tous les coeffi- cients sont ´ egaux ` a 1 dans le premier cas et M <sup>(n)</sup> = ( <sup>1 1</sup> <sub>1 0</sub> ) dans le second. Le G-odom` etre est alors isomorphe au classique syst` eme adique introduit par Vershik [Ve]. D’autres ´ echelles ont ´ et´ e r´ ecemment d´ ecrites par H. Bruin, G.

Keller et M. St. Pierre dans [BrKrStP]; ces auteurs construisent ainsi des G- odom` etres qui sont m´ etriquement isomorphes ` a l’action d’applications unimodulaires f restreintes ` a l’espace des points limites du point critique (attracteurs dits sauvages).

L’objet de cet article est de poursuivre l’´ etude g´ en´ erale des odom` etres

commenc´ ee dans [Li2] et [GrLiTi]. Il est ´ emaill´ e de nombreux exemples,

simples ou ´ elabor´ es, destin´ es ` a r´ epondre ` a une question naturelle relative ` a

un objet encore peu ´ etudi´ e : que peut-il se produire? que ne peut-il pas se

produire? La section 2 fixe quelques notations et conventions avant de rap- peler bri` evement la d´ efinition d’un G-odom` etre. L’ensemble K G est muni d’une topologie m´ etrisable compacte (la topologie produit). La section 3 est consacr´ ee ` a la classification de ce compact. Deux cas sont possibles (th´ eor` eme 2) : soit K G est exactement N muni d’une topologie compacte appropri´ ee, soit K G est hom´ eomorphe ` a l’ensemble de Cantor.

L’arbre des retenues est introduit ` a la section 4. Les nœuds de cet ar- bre sont les entiers ≥ −1 avec −1 comme racine. Il analyse et rend compte de propri´ et´ es de nature combinatoire, topologique et dynamique li´ ees ` a la repr´ esentation chiffr´ ee des nombres entiers suivant une ´ echelle. Les fonctions descente et hauteur de l’arbre sont introduites et l’on montre que toute struc- ture d’arbre monotone sur N ∪ {−1} (cf. section 4.2 pour ces d´ efinitions) est arbre des retenues pour une infinit´ e non d´ enombrable d’´ echelles. C’est l’occasion ici de d´ efinir les ´ echelles dites basses et celles de type fini (sec- tion 4.3) qui jouent un rˆ ole important et pr´ esentent une grande diversit´ e d’´ echelles que nous illustrons par de nombreux exemples.

A la section 5, nous ´ etudions la continuit´ e de l’odom` etre. Celle-ci a ´ et´ e caract´ eris´ ee dans [GrLiTi] par la propri´ et´ e C 1 ´ enonc´ ee dans le th´ eor` eme 5 infra. Nous en donnons une nouvelle caract´ erisation en termes de l’arbre des retenues, ` a savoir que chaque sommet de l’arbre est de degr´ e fini (pro- pri´ et´ e C <sub>2</sub> du th´ eor` eme 5). La densit´ e des orbites retient ensuite l’attention;

en particulier, les odom` etres admettant des orbites non denses sont caract´ e- ris´ es.

Des questions comme l’existence d’une mesure invariante pour l’odo- m` etre, ou encore de savoir dans quels cas il y a unique ergodicit´ e, ne sont pas abord´ ees ici. Elles font parties d’un programme d´ evelopp´ e dans un deuxi` eme article [BaDoLi], o` u l’on r´ epond notamment, par l’affirmative, ` a la conjecture suivante ´ enonc´ ee par l’un des auteurs [Li3] : l’odom` etre ne peut pas ˆ etre d’entropie strictement positive.

2. L’odom` etre

2.1. Notations et conventions pratiques. Une suite finie x de longueur

k, ` a valeurs dans un ensemble X, est repr´ esent´ ee indiff´ eremment comme

un k-uplet (x ₁ , . . . , x _k ) ou un mot x ₁ . . . x _k sur X, appel´ e alors alphabet ;

la longueur de ce mot est alors k. La suite vide (de longueur 0), ou mot

vide, est not´ ee ∧; sa longueur est 0. L’ensemble des mots sur X, not´ e X _∗

(au lieu de A ^∗ comme c’est souvent l’usage), est muni de sa structure de

mono¨ıde correspondant ` a l’op´ eration de concat´ enation sur les mots. Pour

tout mot ou lettre w, la notation w ⁽ⁿ⁾ , ou simplement w ⁿ s’il n’y a pas de

confusion possible, repr´ esente le mot obtenu par n concat´ enations du mot

w avec lui-mˆ eme. Par convention, w ⁽⁰⁾ = ∧.

Une suite x ` a valeurs dans X est d´ efinie sur N = {0, 1, 2, . . .}; elle est repr´ esent´ ee soit par (x n ) n , soit comme un mot infini x 0 x 1 x 2 . . . sur l’alphabet X. L’´ ecriture x 0 . . . x k a <sup>ω</sup> signifie que x n = a pour tout n > k, et pour m < n on pose x]m, n] = x m+1 . . . x n . Si X est muni d’une topologie, l’ensemble X <sup>ω</sup> des suites ` a valeurs dans X est muni de la topologie produit usuelle. Enfin, si z est un nombre r´ eel, on note bzc := max{n ∈ Z : n ≤ z} la partie enti` ere de z.

2.2. Construction du G-compactifi´ e de N ^{.Le d´} eveloppement (1) dans une ´ echelle G conduit naturellement ` a introduire l’ensemble K <sub>G</sub> des suites e = e <sub>0</sub> e <sub>1</sub> e <sub>2</sub> . . . ` a valeurs dans N , appartenant au produit

Ω :=

∞

Y

m=0

{0, 1, . . . , bG m+1 /G _m c}

et qui satisfont ` a (2). L’ensemble K G est alors une partie compacte de Ω, appel´ ee G-compactifi´ e de N <sup>. De fait,</sup> N s’envoie dans K G par l’injection cano- nique n 7→ J G (n), l’entier n ´ etant identifi´ e au mot infini J G (n). De mani` ere

´

evidente, pour x ∈ K G et m ≥ 0, le mot infini x 0 . . . x m 0 ^ω correspond au G-d´ eveloppement de l’entier

S m+1 (x) := x 0 G 0 + . . . + x m G m .

Il en r´ esulte que l’image canonique J _G ( N ^{) de} N ^{dans K} G est partout dense.

Inversement, soit w = w ₀ . . . w _m un mot sur l’alphabet N ^(w i ∈ N ^pour chaque indice i). Il est dit G-admissible si w0 ^ω ∈ K _G ; il existe alors un unique entier n tel que J _G (n) = w0 ^ω et il sera pratique d’utiliser de mani` ere

´

equivalente les notations n, w, J G (n) et w0 ^ω . A l’usage, la r´ ef´ erence ` a l’´ echelle sera omise lorsqu’aucune ambigu¨ıt´ e ne sera ` a craindre. Enfin, le cylindre dans K G de base w sera not´ e [w], i.e.

[w 0 . . . w m ] := {x ∈ K G : x 0 . . . x m = w 0 . . . w m }

et e k : K G → N ^{(k ∈} N ^{) d´} esignera la fonction k-i` eme coordonn´ ee, de sorte que x = e 0 (x)e 1 (x)e 2 (x) . . .

2.3. Successeur et odom` etre.Le calcul du successeur d’un entier n (ou addition de 1) dans l’´ echelle G consiste tout d’abord ` a d´ eterminer ` a partir du G-d´ eveloppement J (n) = e ₀ e ₁ e ₂ . . . de n le plus grand indice m pour lequel P m

k=0 e _k G _k = G _m+1 − 1, de sorte que le G-d´ eveloppement de n + 1 est donn´ e par

J (n + 1) = 0 ^(m+1) (e m+1 + 1)e m+2 e m+3 e m+4 . . . Si un tel indice n’existe pas, c’est que

J (n + 1) = (e 0 + 1)e 1 e 2 . . .

Cette construction algorithmique conduit ` a introduire pour tout ´ el´ ement x = x 0 x 1 x 2 . . . de K G l’ensemble

D(x) := n d ≥ 0 :

d

X

k=0

x k G k = G d+1 − 1 o ,

puis de prolonger l’addition de 1 en une application τ : K G → K G d´ efinie, pour les x tels que D(x) est fini, par

τ (x) = 0 ^(l+1) (x l+1 + 1)x l+2 x l+3 x l+4 . . . (4)

o` u l := max D(x) si D(x) est non vide, l = −1 sinon, et τ (x) := 0 ^ω lorsque D est infini. Dans tous les cas, on voit facilement que

τ (x) := lim

n J (S n (x) + 1).

L’ordre total sur N se prolonge aussi de mani` ere naturelle en un ordre  sur K G , dit antipodal. Par d´ efinition, x  y si x = y ou s’il existe un indice m tel que x m < y m et x k = y k pour tous les indices k strictement plus grands que m. Si l’intervalle ]x, →[ = {y ∈ K <sub>G</sub> : x  y, x 6= y} n’est pas vide (dans tous les cas, il forme une chaˆıne finie ou d´ enombrable), alors il admet un plus petit ´ el´ ement x <sup>+</sup> pour l’ordre antipodal; c’est le successeur de x et τ (x) = x <sup>+</sup> . Par contre, si ]x, →[ est vide, cela ´ equivaut ` a D(x) infini et donc τ (x) = 0 ^ω par construction. Nous renvoyons ` a [GrLiTi] pour une description plus d´ etaill´ ee de l’odom` etre (K G , τ ) ainsi construit.

Lorsque les conditions (2) correspondent ` a un diagramme de Bratteli d´ etermin´ e par une suite de matrices d’incidence M <sup>(n)</sup> de sorte que K G soit donn´ e par (3), la construction de τ , comme application successeur, co¨ıncide, aux points extr´ emaux pr` es, avec la transformation adique de Vershik [Ve]

(voir aussi [HePuSk] pour une g´ en´ eralisation). Cette identification rel` eve donc d’une propri´ et´ e particuli` ere de l’´ echelle G, mais en g´ en´ eral K G n’est pas d´ ecrit par un tel diagramme. On illustrera ces deux situations dans les exem- ples 1, 2 et 3 de la section 4.1. Dans la section suivante, nous caract´ erisons les cas o` u K G est d´ enombrable; ils ne rel` event pas de la construction par diagrammes de Bratteli simples.

3. Classification topologique. La structure topologique de K _G est essentiellement li´ ee ` a sa cardinalit´ e, que nous allons donc commencer par

´

etudier. Comme le montre le cas dyadique (G _n = 2 ⁿ ) et bien d’autres ´ echelles classiques, l’op´ eration de compactification ne donne pas en g´ en´ eral un en- semble d´ enombrable. La proposition suivante fournit diverses caract´ erisa- tions des cas o` u cela advient.

Th´ eor` eme 1. Pour une ´ echelle de num´ eration G, les propri´ et´ es suiv-

antes sont ´ equivalentes :

(i) K G est d´ enombrable;

(ii) la suite (G _n+1 − G n ) _n est born´ ee;

(iii) J G ( N ^{) = K} G ;

(iv) K G poss` ede au moins un point isol´ e.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Supposons la suite (G n+1 − G n ) n non born´ ee. Il existe alors une suite strictement croissante d’entiers σ(n), n ≥ 0, telle que

G _σ(0) + G _σ(1) + . . . + G _σ(n) < G _σ(n)+1 .

Par exemple σ(0) = 0, σ(1) = 1, puis, les σ(k) ´ etant d´ ej` a d´ etermin´ es pour 0 ≤ k ≤ n, remarquons qu’il existe, par hypoth` ese, un entier m ≥ σ(n) tel que G _σ(0) + G _σ(1) + . . . + G _σ(n) < G m+1 − G m . Il suffit alors de choisir σ(n + 1) = m. Posons Σ = σ( N ). Par construction, pour toute partie S de Σ, le mot infini e(S) ∈ {0, 1} ^N tel que e(S) k = 1 si k ∈ S et e(S) k = 0 sinon, est dans K G ; donc K G n’est pas d´ enombrable. L’implication (i)⇒(ii) en r´ esulte par contrapos´ ee.

(ii)⇒(iii). Remarquons tout d’abord que, par unicit´ e du G-d´ eveloppe- ment, les ´ el´ ements de K G dont le d´ eveloppement est form´ e de chiffres tous nuls sauf un nombre fini sont exactement les ´ el´ ements de J G ( N ^{). D’autre} part, si la suite (G n+1 − G n ) n est born´ ee, disons par M , alors pour tout entier m assez grand, le G-d´ eveloppement de m est de la forme J (m) = e 0 . . . e k 0 ^(n−k−1) 10 ^ω avec e 0 + e 1 G 1 + . . . + e k G k ≤ M (et G n ≤ m < G n+1 ).

Il en r´ esulte que J G ( N ^{) = J G (} N ^{) = K G .}

(iii)⇒(iv). Cette implication r´ esulte du fait g´ en´ eral selon lequel, dans un espace de Baire d´ enombrable, l’ensemble des points isol´ es forme une partie dense de cet espace.

(iv)⇒(i). Si x = x 0 x 1 x 2 . . . est un point isol´ e de K G , il existe l tel que [x 0 . . . x l ] = {x}, donc, en fait, x = x 0 . . . x l 0 ^ω et, pour tout entier p ≥ 0, le mot infini x ₀ . . . x _l 0 ^(p) 10 ^ω n’appartient pas ` a K _G . En d’autres termes, et en accord avec (2), G _n+1 − G n ≤ S l+1 (x) pour n ≥ l + 1. La suite n 7→ G _n+1 − G _n est donc born´ ee, et puisque (ii) implique (iii), K _G est d´ enombrable.

Ces ´ equivalences permettent de donner une description topologique pr´ ecise de K _G .

Th´ eor` eme 2. (i) Si K _G est d´ enombrable, alors a := lim sup

n

(G n+1 − G n ) < ∞ et K ⁰ _G = {J G (0), . . . , J G (a − 1)}.

(ii) Si K G n’est pas d´ enombrable, alors K G est hom´ eomorphe ` a l’ensemble

triadique de Cantor.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (i) Supposons K G d´ enombrable. D’apr` es le th´ eo- r` eme 1, a := lim sup _n (G n+1 − G n ) est fini. Alors, e 0 e 1 . . . e l 0 ^ω ∈ K ⁰ _G si et seulement s’il existe une infinit´ e d’entiers p ≥ 0 tels que e 0 e 1 . . . e l 0 ^(p) 10 ^ω ∈ K G , donc si et seulement si e 0 + e 1 G 1 + . . . + e l G l < G n+1 − G n pour une infinit´ e de valeurs de n. Ainsi, K ⁰ _G = {J (0), . . . , J (a − 1)}.

(ii) Si K G n’est pas d´ enombrable, alors il est parfait d’apr` es le th´ eor` eme 1.

En outre, K G est compact, m´ etrisable, totalement discontinu; c’est l` a la caract´ erisation topologique de l’ensemble de Cantor.

4. L’arbre des retenues

4.1. D´ efinition et exemples. Rappelons, pour x ∈ K G , la notation S n+1 (x) = P n

k=0 x k G k . Par d´ efinition, D(x) est aussi l’ensemble des en- tiers d ≥ 0 tels que S d+1 (x) = G d+1 − 1. En particulier D(0 ^ω ) = ∅ et d ∈ D(G d+1 −1). L’ensemble D(x), s’il n’est pas vide, sera index´ e par ordre crois- sant et d k (x) d´ esignera son k-i` eme ´ el´ ement. En particulier d 1 (x) = min D(x).

Soit maintenant d ∈ D(x) et soit k un entier tel que 0 ≤ k ≤ d + 1; alors, S _k (x) = S _k (S _d+1 (x)) = S _k (G _d+1 − 1),

ce qui montre que D(x) ∩ {0, . . . , d} = D(G d+1 − 1). Ainsi, pour x et y dans K G , d ∈ D(x) ∩ D(y) entraˆıne D(x) ∩ {0, . . . , d} = D(y) ∩ {0, . . . , d}. Cette remarque permet de d´ ecrire le ph´ enom` ene des sauts de retenues par une relation d’arbre % G , dont l’ensemble des nœuds est A ^{:= {−1} ∪} N ^{et dont} les branches sont d´ etermin´ ees comme suit :

(i) {−1, n} ∈ % G si et seulement si D(G n+1 − 1) = {n};

(ii) {m, n} ∈ % _G (en supposant m < n) si et seulement si m = max(D(G n+1 − 1) \ {n}).

Nous enracinerons l’arbre en −1. La structure d’arbre enracin´ e ainsi d´ ecrite sur A ^{sera not´ e T G} . Rassemblons les divers cas qui impliquent l’exis- tence de branches dans T G :

Proposition 1. Il existe une branche de l’arbre des retenues T G entre m et n (m < n) si et seulement si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

(i) m = −1 et n = 0;

(ii) m = −1 et J (G _n+1 − 1) = a 0 . . . a _n 0 ^ω avec D(a ₀ . . . a _n−1 0 ^ω ) = ∅;

(iii) m ≥ 0 est le plus grand entier k < n tel que J (G _n+1 − 1) = a ₀ . . . a _n 0 ^ω et J (G _k+1 − 1) = a ₀ . . . a _k 0 ^ω .

Tirons quelques premi` eres cons´ equences :

Corollaire 1. (i) Si G n+1 = a n G n + b n avec a n ≥ 1 et 1 ≤ b n < G 1 , alors il existe une branche entre −1 et n.

(ii) Il existe une branche entre les entiers n ≥ 0 et n + 1 si et seulement

si G n+1 divise G n+2 .

D ´ e m o n s t r a t i o n. (i) est une cons´ equence de la proposition 1(ii). Mon- trons (ii). S’il existe une branche entre n et n + 1, d’apr` es la proposition 1(iii) on peut ´ ecrire G n+2 − 1 = a n+1 G n+1 + (G n+1 − 1), avec a n+1 ≥ 1, et donc G n+2 = (a n+1 + 1)G n+1 . R´ eciproquement, si G n+2 = (a + 1)G n+1 et J (G n+1 −1) = a 0 . . . a n 0 <sup>ω</sup> alors, imm´ ediatement, J (G n+2 −1) = a 0 . . . a n a0 <sup>ω</sup> , d’o` u une branche entre n et n + 1.

Avant de poursuivre l’´ etude de ces arbres, examinons quelques cas parti- culiers.

Exemple 1 (arbre lin´ eaire). Il est facile de voir que les ´ echelles de Cantor, qui sont les ´ echelles de la forme G n+1 = d n G n , d n ≥ 2, ont pour arbre des retenues l’arbre lin´ eaire pour lequel il existe une branche entre n et n + 1 pour tout entier n ≥ −1. D’apr` es le corollaire 1, la r´ eciproque est vraie : toute ´ echelle dont l’arbre des retenues est lin´ eaire est une ´ echelle de Cantor.

D’autre part, K G est d´ ecrit par le diagramme de Bratteli dont les matrices d’incidence ont tous leurs coefficients ´ egaux ` a 1. L’odom` etre est donc ici le syst` eme adique de Vershik [Ve] qui est isomorphe ` a l’addition de 1 dans le groupe des entiers (d ₀ , d ₁ , d ₂ , . . .)-adiques lim

←− ⁿ Z ^/d 0 . . . d _n Z ^.

Exemple 2 (arbre buisson). Pour l’´ echelle G _n = n + 1, il y a une branche entre la racine et chaque nœud n ≥ 0; il en est de mˆ eme des

´

echelles de la forme G _n = (q ⁿ⁺¹ − 1)/(q − 1) (q entier ≥ 2) qui sont toutes des cas particuliers du corollaire 1(i). Notons que l` a encore, K <sub>G</sub> n’est pas d´ ecrit par un compactum de Bratteli selon [Ve]. Pour q ≥ 2, on obtient un odom` etre uniquement ergodique d’apr` es [Do] (voir aussi [BaDoLi]) et d’apr` es un r´ esultat de Vershik ([Ve], th´ eor` eme 3), il est m´ etriquement iso- morphe ` a un syst` eme adique dont le diagramme de Bratteli associ´ e (qui n’est pas unique) ne correspond pas ` a l’´ echelle sous-jacente.

Exemple 3 (arbre de Fibonacci). L’´ echelle est donn´ ee par la suite de Fi- bonacci F n = 1, 2, 3, 5, . . . qui v´ erifie F n+2 − F n+1 = F n (n ≥ 1). L’arbre des retenues dit de Fibonacci est donc form´ e d’apr` es la proposition 1(iii) de deux chaˆınes infinies {−1, 0, . . . , 2n, 2n + 2, . . .} et {−1, 1, . . . , 2n + 1, 2n + 3, . . .}.

Il en est de mˆ eme des ´ echelles d’Ostrowski [Os] d´ efinies par la donn´ ee d’une suite d’entiers a n ≥ 1 et les relations de r´ ecurrence G n+2 = a n+1 G n+1 + G n

avec G 0 = 1, G 1 = a 0 si a 0 > 1 et G 1 = a 1 + 1 sinon. Dans cet exemple, pour tout e = e 0 e 1 e 2 . . . ∈ K G , (2) est ´ equivalent ` a

∀k ≥ 1, e _k = a _k+1 ⇒ e _k = 0;

l’odom` etre est alors exactement la premi` ere r´ ealisation adique, d´ ecrite dans

[SiVe], de la translation x 7→ x + α sur le tore R ^/ Z , les entiers a n ´ etant les

quotients partiels du d´ eveloppement en fraction continu´ ee de α.

Remarque 1. Les exemples pr´ ec´ edents montrent bien que deux ´ echelles de mˆ eme arbre des retenues peuvent d´ eterminer des odom` etres tr` es diff´ erents ou pr´ esenter des caract´ eristiques communes. Par exemple, l’arbre lin´ eaire caract´ erise toute une classe de transformations parfaitement identifi´ ees sur le plan spectral. Mais en g´ en´ eral, il n’y a pas d´ ependance directe entre les pro- pri´ et´ es spectrales d’un odom` etre et son arbre des retenues. C’est notamment le cas de l’arbre buisson donnant aussi bien un G-compactifi´ e de N <sup>d´ enom-</sup> brable (d’odom` etre banal, sans mesure invariante) qu’un ensemble de Cantor (d’odom` etre uniquement ergodique et faiblement m´ elangeant, cf. [Do]).

4.2. Descente, hauteur et ´ echelles basses. Dans toute la suite, nous n’en- visagerons sur A que des relations d’arbre α enracin´ ees en −1, α d´ esignant aussi bien la relation que l’arbre enracin´ e correspondant. Pour deux nœuds n et m quelconques de α, d _α (n, m) d´ esignera la distance g´ eod´ esique de n

`

a m dans l’arbre α. Si n 6= m, d _α (n, m) est le plus petit entier k tel qu’il existe un chemin (a ₀ , a ₁ , . . . , a _k ) sur l’arbre α (i.e. {a _i , a _i+1 } ∈ α pour i = 0, . . . , k − 1) allant de a 0 = n ` a a k = m. Par d´ efinition d’un arbre, ce chemin existe toujours, il est unique et sa longueur est k. La hauteur d’un nœud dans l’arbre α, par rapport ` a la racine, est par d´ efinition H α (m) = d α (−1, m). L’arbre α sera dit monotone si pour tout nœud m 6= −1, le chemin (−1, m 1 , . . . , m k ) allant de −1 ` a m k = m est ordonn´ e croissant, i.e. −1 < m 1 < . . . < m k . A chaque arbre monotone α, nous associerons l’application T α : A ^→ A ^appel´ ee descente de l’arbre, d´ efinie par T α (−1) =

−1 et pour m ∈ N ^{, T} α (n) = m si {m, n} ∈ α et m < n. R´ eciproquement, il est clair que toute application T : A ^→ A telle que T (−1) = −1 et T (n) < n si n ∈ N ^d´ etermine une structure d’arbre α unique sur A dont T est la descente.

Th´ eor` eme 3. (i) L’arbre des retenues d’une ´ echelle est monotone.

(ii) Soit α une relation d’arbre monotone sur A . Alors, il existe une

´

echelle G dont l’arbre des retenues est α.

D ´ e m o n s t r a t i o n. La partie (i) du th´ eor` eme est une cons´ equence di- recte de la construction de l’arbre des retenues. La partie (ii) est un corollaire du r´ esultat suivant plus pr´ ecis.

Th´ eor` eme ^{4 (et d´} efinition). Soit α une relation d’arbre monotone sur A de descente T (·) et de fonction hauteur H(·). Alors :

(i) La suite des entiers M _n (n ≥ 0) d´ etermin´ es par M ₀ = 1 et M n+1 = M n + M _{T (n)} + . . . + M _T

(n) + 1 = M n + M _{T (n)+1} (5)

est une ´ echelle dont l’arbre des retenues est α; cette ´ echelle est dite ´ echelle

basse de α (de mˆ eme, une ´ echelle G sera dite basse si elle est ´ echelle basse

de % G , son arbre des retenues).

(ii) Pour toute ´ echelle G dont l’arbre des retenues est α, on a M n ≤ G n

pour tout n.

D ´ e m o n s t r a t i o n. La propri´ et´ e (ii) est une cons´ equence sans surprise du fait g´ en´ eral que pour tout n ≥ 0,

D(G n+1 − 1) = {n, T (n), . . . , T ^h−1 (n)},

o` u h := card D(G n+1 − 1) = H(n) et o` u H(·), T (·) sont respectivement les fonctions hauteur et descente associ´ ees ` a l’arbre des retenues de G, tandis que

J (G n+1 − 1) = a n,0 . . . a n,n 0 ^ω (∈ K G )

avec des entiers a n,d ≥ 1 pour tout d ∈ D(G n+1 − 1). Il reste ` a d´ emontrer (i).

Par construction, (M _n ) _n est une ´ echelle et le M -d´ eveloppement de M _n+1 − 1 est donn´ e par (5). Il en r´ esulte que

D(M n+1 − 1) = {n, T (n), . . . , T ^H(n)−1 (n)},

ce qui montre que T (·) (resp. H(·)) est la fonction descente (resp. hauteur) de l’arbre des retenues de l’´ echelle M .

Tout arbre monotone d´ etermine de mani` ere univoque une ´ echelle basse d’apr` es le th´ eor` eme 4(ii). Pour l’arbre lin´ eaire (exemple 1), cette ´ echelle est celle de la num´ eration binaire; pour l’arbre buisson (exemple 2), c’est l’´ e- chelle G _n = n + 1, la plus petite donc, et pour l’arbre de Fibonacci (exem- ple 3), c’est l’´ echelle de mˆ eme nom.

La croissance d’une ´ echelle basse est limit´ ee; en effet :

Proposition 2. Soit α un arbre monotone sur A ^d’´ echelle basse M . Alors M n ≤ 2 ⁿ pour tout n ≥ 0. De plus, la borne est atteinte car l’´ echelle n 7→ 2 ⁿ est une ´ echelle basse.

D ´ e m o n s t r a t i o n. D’apr` es (5), M n+1 = M n + M <sub>T (n)+1</sub> , donc M n+1 ≤ 2M n avec M 0 = 1, d’o` u M n ≤ 2 ⁿ par r´ ecurrence sur n avec ´ egalit´ e si T (n) = n − 1 pour tout n ≥ 0.

Remarque 2. Il est possible de contrˆ oler compl` etement l’´ echelle G ` a partir de son arbre des retenues ` a condition d’effectuer un ´ etiquetage des branches. Plus pr´ ecis´ ement, si {m, n} ∈ % G , m < n, on sait [GrLiTi] que

G n+1 − G m+1 = a n,m+1 G m+1 + . . . + a n,n G n

(6)

pour des entiers a n,i ≥ 0, m < i ≤ n et a n,n ≥ 1, d’o` u l’´ etiquetage E G :

% G → N ∗ d´ efini par

E G (m, n) := a n,m+1 . . . a n,n (m < n).

(7)

Notons que le mot E G (m, n) est de longueur n − m. Il est clair que la con-

naissance de l’arbre ´ etiquet´ e (% G , E G ) d´ etermine compl` etement G. R´ ecipro-

quement, soit α une relation d’arbre monotone sur A et soit E : α → N ∗

un ´ etiquetage des branches {m, n} (m < n) de α par des mots E(m, n) sur l’alphabet N , de longueur n − m et de derni` ere lettre a n,n ≥ 1. Consid´ erons alors la suite des entiers (G n ) n d´ etermin´ ee par

G ₀ = 1 et G _n+1 = 1 +

H(n)−1

X

k=0

X

T

(n)<j≤T

(n)

a _T

(n),j G _j , (8)

o` u H(·) et T (·) sont respectivement hauteur et descente de α. Il est imm´ ediat que G est une ´ echelle. C’est exactement l’´ echelle basse de α si E(m, n) = 0 ^(m−n−1) 1. Dans le cas g´ en´ eral, l’arbre T G ne co¨ıncide pas avec α. Pour que T G = α, il faut et il suffit que pour tout n ≥ 0 on ait

(∀j) 

T (n) < j ≤ m ⇒ X

T (n)<k≤j

a _n,k G _k < G _j+1 − G _{T (n)+1}  . Donnons une suite ` a ces remarques :

Proposition 3. Soit α une relation d’arbre monotone sur A ^{et soit Γ} une ´ echelle quelconque. Il existe une infinit´ e non d´ enombrable d’´ echelles G telles que % _G = α et v´ erifiant Γ _n ≤ G n pour tout n ≥ 0.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Il suffit de remarquer tout d’abord que l’´ etiquetage E : α → N ∗ d´ efini par E(m, n) = 0 ^(n−m−1) b n (m < n), o` u n 7→ b n est une suite d’entiers ≥ 1, d´ etermine par (8), c’est-` a-dire ici par

G n+1 := 1 +

H(n)−1

X

k=0

b _T

(n) G _T

(n)

avec T = T _α et H = H _α , une ´ echelle d’arbre des retenues % _G = α; reste ` a choisir les b n suffisamment grands (par exemple, b n ≥ Γ n+1 ).

Remarque ^{3. Si K} G est d´ enombrable, il est facile de voir que les fonc- tions descente et hauteur associ´ ees ` a l’arbre des retenues sont born´ ees. La r´ eciproque est fausse puisque pour une arbre monotone α de descente born´ ee (ou de hauteur born´ ee, ce qui est la mˆ eme chose), l’´ echelle construite ` a partir de l’´ etiquetage E : α → N ∗ (cf. remarque 2) d´ efini par E(m, n) = 0 ^(n−m−1) 2 (m < n) v´ erifie G n+1 − G n > G n .

4.3. Echelles de type fini

D´ efinition . Un arbre sera dit de type fini si le degr´ e de chaque nœud (le nombre de branches issues de ce nœud) est fini.

Par extension, une ´ echelle sera dite de type fini si son arbre des retenues

l’est. L’introduction de cette notion trouvera sa pleine justification dans

l’´ etude de la continuit´ e de l’odom` etre. La proposition suivante exploite sim-

plement les d´ efinitions; sa d´ emonstration est laiss´ ee au lecteur.

Proposition 4. Soit α un arbre monotone sur A . Les propri´ et´ es sui- vantes sont ´ equivalentes :

(i) α est de type fini ;

(ii) pour tout n ∈ A , l’ensemble T _α ⁻¹ (n) est fini ; (iii) lim n T α (n) = ∞;

(iv) pour tout h ∈ N , l’ensemble H _α ⁻¹ (h) est fini ; (v) lim n H α (n) = ∞.

Exemple 4 (arbre q-lin´ eaire). Consid´ erons une partition de N ^{en q} parties infinies P j (0 ≤ j < q) et d´ efinissons l’arbre monotone sur A ^{dont la} descente T est d´ etermin´ ee pour x ∈ P j par T (x) = max({−1} ∪ {n ∈ P j : n < x}). Le cas particulier o` u P j = {n : n ≡ j (mod q)} donne l’´ echelle basse Q commen¸cant par 1, . . . , q − 1 et satisfaisant ` a la r´ ecurrence Q _n+1 = Q _n + Q _n−q+1 . Cette ´ echelle est de type fini.

Exemple 5 (arbre rideau). La construction pr´ ec´ edente se g´ en´ eralise en consid´ erant une partition d´ enombrable de N en parties infinies P j (j = 0, 1, 2, . . .). L’´ echelle correspondant aux parties P n = 2 ⁿ⁺¹ N ^{+ 2 n − 1 sera} dite de van der Corput . Cette ´ echelle n’est pas de type fini.

Exemple 6 (arbre peigne). D´ efinissons l’arbre par sa descente, ` a savoir T (2(n + 1)) = T (2n + 1) = 2n si n ≥ 0. L’´ echelle basse correspondante M se d´ etermine explicitement, ` a savoir M 2n+j = 2 ^j ·3 ⁿ pour n ≥ 0 et j = 1, 2.

Cette ´ echelle est de type fini.

Exemple 7 (arbre lin´ eaire+buisson). Choisissons une partie infinie P de N , de compl´ ementaire Q = N \P infini. La descente de l’arbre est alors d´ efinie par T (Q) = {−1} et pour x ∈ P , T (x) = max({−1} ∪ {n ∈ P : n < x}).

Cette ´ echelle n’est pas de type fini.

Exemple 8 (arbre binaire). Il s’agit de l’arbre classique des choix bi- naires. Pour le d´ eterminer compl` etement, il convient de num´ eroter les nœuds de mani` ere ` a obtenir un arbre monotone sur A . Nous adopterons la num´ ero- tation d´ etermin´ ee par la fonction descente suivante : T (2k) = T (2k + 1) = k − 1 pour k ≥ 0. Cette ´ echelle est de type fini; l’´ echelle basse associ´ ee B v´ erifie la r´ ecurrence B n+1 = B n + B _bn/2c .

Proposition 5. Soit G une ´ echelle de type fini. Alors : (j) lim n (G n+1 − G n ) = ∞;

(jj) K _G est un espace de Cantor.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Supposons que (j) ne soit pas v´ erifi´ ee; alors, il existe

une constante C ≥ 1 telle que G n+1 − G n ≤ C pour une infinit´ e d’entiers

n. Pour de tels entiers, on a donc G m+1 = G m + b m avec 1 ≤ b m ≤ C,

d’o` u T G (m) ≤ r pour un entier r quelconque v´ erifiant G r ≥ C. Par suite, il

existe r 0 ∈ A ^{tel que T} G ⁻¹ (r 0 ) soit infini. L’indice de T G en r 0 est donc infini,

contrairement ` a l’hypoth` ese. La propri´ et´ e (jj) est une cons´ equence directe de (j) et des th´ eor` emes 1 et 2.

Remarque 4. Une cons´ equence de la proposition 3 est qu’il existe des

´

echelles dont la croissance est arbitrairement grande et dont l’arbre des retenues n’est pas de type fini. La proposition ci-dessus montre qu’une

´

echelle G de type fini v´ erifie n´ ecessairement lim n G n+1 /(n + 1) = ∞ et il est possible de construire de telles ´ echelles de croissance surlin´ eaire arbitaire- ment lente comme le montre la proposition suivante.

Proposition ^{6. Soit (L n ) n} une suite d’entiers ≥ 1 telle que lim n L n+1 /(n + 1) = ∞. Alors il existe un arbre monotone sur A ^dont l’´ echelle basse associ´ ee M est de type fini et de plus M _n ≤ L n d` es que n est assez grand.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Commen¸ cons par ´ etablir le lemme suivant :

Lemme 1. Pour toute suite strictement croissante d’entiers N _m ≥ 1 (m ≥ 1) il existe un arbre monotone sur A ^{dont l’´} echelle basse M est donn´ ee par

M _n =  n + 1 si 0 ≤ n ≤ N 1 , M n−1 + M m si N m < n ≤ N m+1

(9)

(en particulier M n = M N

+ (n − N m )M m dans le dernier cas). De plus, cette ´ echelle est de type fini.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Construisons l’application T : A ^→ A ^{en posant} T (n) = −1 si 0 ≤ n < N 1 et T (n) = m − 1 si N m ≤ n < N m+1 . Alors, il existe une relation d’arbre monotone α (unique) sur A dont T est la descente. De plus, par construction lim n T (n) = ∞, donc α est de type fini (proposition 4). Soit M l’´ echelle basse associ´ ee ` a α. Par construction, M 0 = 1 et M n+1 = M n + 1 pour n = 0, . . . , N 1 − 1, d’o` u M k = k + 1 pour 0 ≤ k ≤ N 1 . Dans le cas de N m < n ≤ N m+1 , par d´ efinition de M on a M _n = M _n−1 + M _{T (n−1)+1} = M _n−1 + M _m .

Pour terminer la d´ emonstration de la proposition 6, nous allons cons- truire une suite strictement croissante d’entiers N _m telle que l’´ echelle basse M qui lui est associ´ ee par le lemme 1 et sa d´ emonstration v´ erifie M _n ≤ L _n pour tout n ≥ N ₁ . Remarquons que si N ₁ , . . . , N _m sont d´ ej` a construits, alors la fonction descente T est d´ etermin´ ee sur {−1, 0, 1, . . . , N _m − 1} et l’´ echelle (M n ) n est connue pour n = 0, 1, . . . , N m . Nous construisons (M k ) k

par r´ ecurrence en mˆ eme temps qu’une autre suite d’entiers λ k . Commen¸ cons par choisir λ 1 > λ 0 = 2. Il existe N 1 ≥ 2 tel que nλ 1 ≤ L n pour n ≥ N 1 . Alors T vaut −1 sur {−1, 0, . . . , N 1 − 1}, et M k = k + 1 pour 0 ≤ k ≤ M N

. En particulier,

M N

= N 1 + 1 ≤ λ 0 N 1 ≤ L N

.

Choisissons ensuite λ 2 > max{λ 1 , M 2 } puis N 2 tel que nλ 2 ≤ L n pour n ≥ N 2 . Puisque, par construction, T (k) = 0 pour N 1 ≤ k < N 2 , on a pour n tel que N 1 < n ≤ N 2 ,

M n = M n−1 + M 1 = M N

+ (n − N 1 )M 1

≤ N ₁ λ ₀ + (n − N ₁ )M ₁ < nλ ₁ ≤ L _n

et, en particulier, M _N

≤ N ₂ λ ₁ . Si maintenant N _k et λ _k sont d´ efinis pour k ≤ m, choisissons λ _m+1 > max{λ _m , M _m+1 } puis N _m+1 de sorte que nλ _m+1

≤ L n pour n ≥ N m+1 . Il y a donc un large arbitraire dans la construction des deux suites (M k ) et (λ k ) k . Soit alors M l’´ echelle construite au lemme 1 et montrons par r´ ecurrence sur m qu’elle v´ erifie

M N

≤ N m+1 λ m ≤ L N

, M n ≤ L n pour N m < n ≤ N m+1 . Ces conditions sont remplies pour m = 1 par ce qui pr´ ec` ede. Supposons-les v´ erifi´ ees pour m. Alors, si N m+1 < n ≤ N m+2 , on a

M n = M N

+ (n − N m+1 )M m+1

≤ N _m+1 λ _m + (n − N _m+1 )M _m+1 ≤ nλ _m+1 . D’o` u M n ≤ L n et M N

≤ N m+2 λ m+1 ≤ L N

.

La condition lim n (G n+1 − G n ) = ∞ n’est pas suffisante pour que l’´ echelle soit de type fini, comme le montre l’exemple G n+1 = 2G n + 1; elle l’est dans le cas particulier des ´ echelles basses :

Proposition 7. Pour une ´ echelle basse G, les propri´ et´ es suivantes sont

´

equivalentes :

(j) lim n (G n+1 − G n ) = ∞;

(jj) G est de type fini.

D ´ e m o n s t r a t i o n. L’implication (jj)⇒(j) est une partie de la proposi- tion 5; elle n’utilise pas l’hypoth` ese d’´ echelle basse. R´ eciproquement, si G n’est pas de type fini, il existe a ∈ A et une infinit´ e d’entiers b tels que T (b) = a, ce qui donne G _b+1 = G _b + G _a+1 , puisque l’´ echelle est basse (cf.

th´ eor` eme 4), et contredit (j).

Remarque 5. Comme le montre la proposition 5, toute ´ echelle (G n ) de type fini v´ erifie lim n (G n+1 − G n ) = ∞. Le lemme 1 fournit une famille d’exemples d’´ echelles basses M de type fini telles que lim n M n+1 /M n = 1; il suffit pour cela de choisir la suite N m suffisamment croissante, de mani` ere

`

a ce que par exemple M m ≤ N m . En effet, en se r´ ef´ erant ` a (9), on a M n+1 /M n ≤ 1 + M m /M N

, or pour tout C ≥ 1 on a M k ≥ Ck d` es que k est assez grand (proposition 5). De mani` ere g´ en´ erale, on a

lim n

G _n+1 G n

= 1 ⇒ lim

n (n − T _G (n)) = ∞.

En effet, G n+1 ≥ G n +G _T

_(n)+1 dans tous les cas et l’hypoth` ese sur G n+1 /G n

assure l’existence de B > 1 tel que G n+1 ≤ BG n pour tout entier n. D’o` u G n+1 /G n ≥ 1 + 1/B ^n−T

⁽ⁿ⁾⁻¹ .

La r´ eciproque est fausse, mais si (G n ) n est une ´ echelle basse v´ erifiant lim(n − T G (n)) = ∞, alors lim inf G n+1 /G n = 1. De fait, s’il existe n 0 tel que, pour tout n > n 0 , G n+1 /G n ≥ 1 + β, on a

G _T

_(n)+1 /G n ≤ (1 + β) ^{−(n−max(n}

^,T

^(n)−1)) ,

donc G _T

_(n)+1 /G n tend vers 0 quand n tend vers l’infini, ce qui contredit G _T

_(n)+1 /G n = G n+1 /G n − 1 ≥ β pour n > n 0 . L’exemple suivant donne un cas extrˆ eme.

Exemple ^{9. L’id´} ee de la construction du lemme 1 peut servir de base pour exhiber des ´ echelles basses (M n ) n de type fini v´ erifiant

lim n (n − T (n)) = ∞ et lim sup

n

M n+1 /M n = 2.

Il suffit de pendre par exemple une suite N _m telle que N _2m+2 = N _2m+1 + 1 et N _2m+1 − N _2m > ma _m avec une suite d’entiers a _m ≥ 1 croissante, non born´ ee, et de d´ efinir l’arbre monotone sur A en prenant la descente T telle que T (n) = m − 1 pour N 2m ≤ n < N 2m+1 et T (N 2m+1 ) = N 2m+1 − a m . Le lecteur v´ erifiera qu’avec ce choix, on a

M N

+1

M N

≥ 2 − 1 m . 5. Continuit´ e et discontinuit´ e

5.1. Continuit´ e et ensemble ω-limite. Pour tout entier k ≥ 0, introdui- sons l’odom` etre partiel τ k : K G → K G d´ efini par

τ _k (x) =

( τ (x) si D(x) = ∅ ou max D(x) < k, 0 ^ω sinon.

De mani` ere imm´ ediate, l’application τ k est continue et, par d´ efinition de τ , lim k τ k (x) = τ (x). Il en r´ esulte que τ est une application bor´ elienne. La question de caract´ eriser sa continuit´ e se pose naturellement et une premi` ere r´ eponse se trouve d´ ej` a dans [GrLiTi] :

Th´ eor` eme 5. Soit une ´ echelle G et l’odom` etre τ : K G → K G correspon- dant. Alors, les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

(C 0 ) τ est continue;

(C 1 ) pour tout x ∈ K G il n’existe qu’un nombre fini d’entiers d pour lesquels il existe y ∈ K G tel que D(y) = D(x) ∪ {d};

(C 2 ) G est de type fini.

D ´ e m o n s t r a t i o n. L’´ equivalence entre (C 0 ) et (C 1 ) correspond au th´ eor` eme 1 de [GrLiTi] (p. 109). Celle entre (C 1 ) et (C 2 ) r´ esulte de la propo- sition 4, (i) et (ii).

Rappelons que si τ est continue, alors τ est surjective et (K G , τ ) est minimal ([GrLiTi], th´ eor` eme 2, p. 109). On s’int´ eresse maintenant ` a la des- cription de l’ensemble Disc(τ ) des ´ eventuels points de discontinuit´ e de τ ainsi qu’` a des exemples montrant la vari´ et´ e des possibilit´ es.

D´ efinition 1. On appelle ensemble ω-limite d’une ´ echelle G et l’on note ω(G) l’ensemble d´ eriv´ e de {G _n − 1 : n ∈ N ^{} dans K} G .

Autrement dit, ω(G) est l’ensemble des points d’accumulation de la suite n 7→ J _G (G _n − 1). Par compacit´ e de K _G , ω(G) est non vide et compact.

D’autre part, il est clair que

τ ⁻¹ (0) ⊂ ω(G).

Donnons un exemple simple : si la suite n 7→ G n+1 − G n est born´ ee, alors {a − 1} ⊂ ω(G) ⊂ {0, . . . , a − 1}, avec a = lim sup _n (G n+1 − G n ).

Proposition 8. L’ensemble des points de discontinuit´ e de τ est Disc(τ ) = ω(G) \ τ ⁻¹ (0).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit x ∈ ω(G). Alors, il existe (n _k ) _k telle que x = lim _k (G _n

− 1), et lim _k τ (G _n

− 1) = lim _k G _n

= 0. Ainsi, ω(G) \ τ ⁻¹ (0) ⊂ Disc(τ ).

R´ eciproquement, soit x 6∈ ω(G) \ τ ⁻¹ (0). Si x ∈ τ ⁻¹ (0), soit N ∈ N ^{. Il} existe m ∈ D(x) tel que m > N . Alors, si y est un ´ el´ ement de K G v´ erifiant e k (y) = e k (x) pour tout k ≤ m, m appartient ` a D(y), d’o` u τ y ∈ [0 ^m+1 ]. On a donc bien lim y→x τ y = 0 = τ x; τ est continue en x. De mˆ eme, si x 6∈ ω(G), il existe un entier n 0 tel que pour tout n ≥ n 0 , le mot e 0 (x) . . . e n (x) ne soit le pr´ efixe d’aucun ´ el´ ement de K G de la forme G m − 1. Alors, si e 0 (x) . . . e n (x) est pr´ efixe de y, max D(y) est strictement inf´ erieur ` a n, d’o` u

τ y = e 0 (τ x) . . . e n (τ x)e n+1 (y)e n+2 (y) . . . Ainsi, lim _y→x τ y = τ x.

Remarque ^{6. Les ´ el´} ements de τ ⁻¹ (0) se lisent sur l’arbre des retenues en ce qu’ils correspondent bijectivement ` a ses branches infinies : τ x = 0 si et seulement si x = lim _k (G _n

− 1) avec n ₀ = −1 et {n _k , n _k+1 } ∈ % _G pour tout k. Il s’ensuit, d’apr` es le th´ eor` eme 3, que τ ⁻¹ (0) peut ˆ etre vide (cas de l’arbre buisson, exemple 2), de cardinalit´ e fini q quelconque (cas des arbres q-lin´ eaires, exemple 4), d´ enombrable (comme pour l’arbre rideau, exemple 5), ou non d´ enombrable, comme par exemple dans l’arbre binaire (exemple 8), ou encore dans tout arbre dont le degr´ e en chaque nœud est

≥ 3.

Dans le cas des ´ echelles basses, Disc(τ ) se lit ´ egalement sur l’arbre des retenues, ce qui fait l’objet de la proposition suivante.

Proposition 9. Soit G une ´ echelle basse. Alors, Disc(τ ) est exactement l’ensemble des G n+1 − 1 tels que le nombre de branches de T G issues du nœud n est infini. En particulier , Disc(τ ) ⊂ N ^.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soient G une ´ echelle basse et n un nœud de T G

dont sont issues une infinit´ e de branches. Il existe une suite strictement croissante d’entiers (m j ) j telle que, pour tout j, n < m j et {n, m j } ∈ % G . Alors, G m

+1 − 1 = G m

+ G n+1 − 1 tend vers G n+1 − 1 quand j tend vers l’infini, donc G n+1 − 1 ∈ Disc(τ ).

R´ eciproquement, soit x ∈ ω(G). Si x = e 0 (x) . . . e n (x)0 ^ω avec e n (x) 6= 0 (donc e _n (x) = 1), alors τ x 6= 0 et, pour un entier l quelconque, il existe m arbitrairement grand tel que e ₀ (x) . . . e _n (x)0 ^l soit pr´ efixe de G _m+1 − 1.

L’´ echelle ´ etant basse, il s’ensuit que e ₀ (x) . . . e _n (x) = G _n+1 − 1 et qu’il existe une suite strictement croissante (p _j ) _j telle que T (p _j ) = n, ce qui signifie qu’une infinit´ e de branches sont issues du nœud n. (Si x = 0, on peut consid´ erer n = −1 dans ce qui pr´ ec` ede). Enfin, si x ∈ ω(G) \ N <sup>, soit</sup> n i le i-` eme entier tel que e n

(x) = 1. Le mˆ eme raisonnement montre que e 0 (x) . . . e n

(x) = G n

+1 − 1, d’o` u {n i , n i+1 } ∈ % G et τ x = 0.

Remarque 7. Soit G une ´ echelle non n´ ecessairement basse. Supposons qu’il existe un nœud n de T G de degr´ e infini : il existe (n j ) j strictement croissante telle que {n, n j } ∈ % G . Alors, si x est la limite d’une suite ex- traite convergente de (G n

+1 − 1) j , on a max D(x) = n, donc τ x 6= 0 et τ est discontinue en x. De mˆ eme, si x ∈ ω(G) \ τ ⁻¹ (0) et n := max D(x), on a x = lim n (G n

+1 − 1) pour une suite strictement croissante d’entiers n j et, pour j suffisamment grand, {n, n j } ∈ % G . On obtient ainsi une nou- velle d´ emonstration du th´ eor` eme 5 avec une pr´ ecision suppl´ ementaire : pour chaque nœud n de degr´ e infini, il existe au moins un point x ∈ K G en lequel τ est discontinue tel que max D(x) = n.

5.2. Orbites. Le th´ eor` eme 2 de [GrLiTi] montre que, quand τ est con- tinue, le syst` eme dynamique (K G , τ ) est minimal. Si τ n’est pas continue, il est toujours loisible, ` a d´ efaut de parler de minimalit´ e, de se demander si toutes les orbites sont denses. Notons que, par construction, il existe toujours au moins une orbite dense : celle de 0. L’exemple trivial de G _n+1 = G _n + 1 montre que ce peut ˆ etre la seule.

Les deux r´ esultats suivants pr´ ecisent ce que doit ˆ etre une orbite non dense et donnent une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’il en existe.

Pour x ∈ K G , on note O τ (x) := {x, τ x, τ ² x, . . .} l’orbite de x suivant τ .

Pour simplifier, l’indice τ sera omis dans toute cette section.

Proposition 10. (i) Pour tout x ∈ K G , 0 ∈ O(x).

(ii) Toutes les orbites sont infinies.

(iii) Si K G est d´ enombrable, il existe des orbites non denses.

(iv) Si K _G n’est pas d´ enombrable, O(x) n’est pas dense si et seulement si O(x) ⁰ est fini , auquel cas O(x) ⁰ est un segment initial de N ^.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (i) Pour un ´ el´ ement x non nul de K G , 0 n’est pas adh´ erent ` a son orbite si et seulement s’il existe un entier M tel que max D(τ <sup>n</sup> x) < M pour tout n ∈ N . Or, si y ∈ K G est tel que max D(y) < M , on a S M +1 (τ y) = S M +1 (y) + 1. Appliqu´ e ` a l’ensemble des τ ⁿ x, cela implique que S M +1 (x) + n < G M +1 pour tout n, ce qui est absurde.

(ii) Si O(x) ´ etait finie, alors 0 ∈ O(x) d’apr` es (i), donc O(x) ⊃ N ^{, qui} est infini.

(iii) Si K _G est d´ enombrable, K _G = N <sup>poss` ede d’apr` es le th´ eor` eme 2 un</sup> nombre fini de points d’accumulation. Si a − 1 est le plus grand d’entre eux, alors a n’appartient ` a l’orbite ferm´ ee d’aucun entier n ≥ a + 1.

(iv) S’il existe n tel que τ ⁿ x = 0, alors O(x) est dense et O(x) ⁰ est infini.

On peut donc supposer que ce n’est pas le cas. Soient x ∈ K G et y ∈ O(x) ⁰ . Soit n ∈ N . Il existe une infinit´ e de m > G n tels que e k (τ ^m x) = y k pour tout k ≤ n. Alors, pour tout j ≤ S n+1 (y), e 0 (τ ^m−S

^(y)+j x) . . . e n (τ ^m−G

^+j x) = j, ce qui montre que tout entier inf´ erieur ou ´ egal ` a S n+1 (y) est point d’accumulation de O(x). En particulier, y 6∈ N <sup>entraˆıne</sup> N <sup>⊂ O(x) 0 , d’o` u</sup> O(x) = K G .

Exemple ^{10. Pour G n = (q n+1} − 1)/(q − 1), q ≥ 2, on remarque que qG n + (q − 1)(G n+1 + . . . + G n+s−1 ) = G n+s − s. Alors, x := q(q − 1) ^ω ∈ K G

et τ ^l x = 0 ^l q(q − 1) ^ω , d’o` u O(x) ⁰ = {0}.

Proposition 11. Il existe des orbites non denses si et seulement s’il existe une suite strictement croissante (m _k ) _k≥1 , une suite (M _k ) _k d’entiers strictement positifs major´ ee par G _m

et x = x ₀ x ₁ . . . ∈ K _G tels que, pour tout entier k, le d´ eveloppement de G _m

dans l’´ echelle G est donn´ e par

G m

− 1 = x m

−1 G m

−1 + . . . (10)

+ x _m

₊₁ G _m

₊₁ + (1 + x _m

)G _m

+ M _k − 1.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Si K G est d´ enombrable, l’´ equivalence est claire, en prenant m k+1 = m k + 1 et x m

= 0. Supposons d´ esormais K G non d´ enom- brable. Soit x ∈ K G dont l’orbite n’est pas dense. Soit M le plus grand point d’accumulation de cette orbite (dont l’existence est donn´ ee par la proposition 10(iv)). En vertu du mˆ eme r´ esultat, il existe (m k ) k≥1 strictement croissante et (M k ) k avec 0 < M k ≤ M < G m

pour tout k telles que, pour un certain j,

τ ^j x = 0 ^m

(1 + x _m

)x _m

₊₁ x _m

₊₂ . . . ,

τ ^j+M

x = 0 ^m

(1 + x m

)x m

+1 x m

+2 . . . et, pour tout k,

τ ^j+M

^+...+M

x = 0 ^m

(1 + x m

)x m

+1 x m

+2 . . . Cette suite d’´ egalit´ es est ´ equivalente ` a (10).

R´ eciproquement, supposons (10) muni des hypoth` eses aff´ erentes, et po- sons

x := 0 e ^m

(1 + x _m

)x _m

₊₁ x _m

₊₂ . . . On v´ erifie facilement que, par construction, x ∈ K e G et que

max D(τ ^M

^+...+M

x) = m e k+1 − 1.

L’orbite de e x n’admet alors qu’un nombre fini de points d’accumulation.

Corollaire 2. (a) Si , pour tout n, G n+1 −1 = a n G n +R n avec a n ≥ 1, R n < G n et (R n ) n born´ ee, alors il existe des orbites non denses.

(b) Si G est une ´ echelle basse, alors les propositions suivantes sont

´

equivalentes :

(i) toutes les orbites sont denses, (ii) τ ⁻¹ (0) est non vide.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (a) On applique la proposition 11 avec m k+1 = m k + 1 et pour m 0 un majorant de la suite (R n ) n .

(b) Si G est une ´ echelle basse, τ ⁻¹ (0) est non vide si et seulement s’il existe une branche infinie dans l’arbre des retenues T G , ce qui ´ equivaut, toujours pour une ´ echelle basse, ` a lim sup(G n+1 − G n ) = ∞, donc ` a K G non d´ enombrable d’apr` es le th´ eor` eme 2.

5.3. Exemples et contrexemples

Exemple 11. Dans le cas d’une ´ echelle basse, (10) se traduit par l’exis- tence d’une constante M et d’une suite strictement croissante (m k ) k telles que, pour tout k, T (m k ) ≤ M et T ^s

(m k+1 − 1) = m k pour un certain s k

(rappelons que T est la fonction descente introduite ` a la section 4.2). Cela permet de construire facilement des ´ echelles basses de croissance modulable dont les orbites ne sont pas toutes denses. Ainsi, si (m k ) k est donn´ ee, prenons G m

= G m

−1 + 1 et G m

+j = 2G m

+j−1 pour 1 ≤ j ≤ m k+1 − m k − 1, les premi` eres valeurs de G n , pour n < m 1 , ´ etant fix´ ees arbitrairement.

Exemple 12. Revenons sur l’exemple 5 en consid´ erant l’´ echelle basse associ´ ee ` a l’arbre de van der Corput. Si P n = {a <sup>(n)</sup> <sub>1</sub> , a <sup>(n)</sup> <sub>2</sub> , . . .}, o` u les a ⁽ⁿ⁾ _j sont rang´ es par ordre croissant, alors, τ ⁻¹ (0) = {lim(G _a

i

+1 − 1) : n ≥ 1},

τ ⁻¹ (0) ⁰ = {0} 6∈ τ ⁻¹ (0) et ω(G) = τ ⁻¹ (0). En particulier, τ ⁻¹ (0) n’est

pas ferm´ e. Cela donne ´ egalement un exemple o` u τ n’est pas continue, mais

surjective, car, d’apr` es [GrLiTi], τ est surjective si et seulement si τ ⁻¹ (0)

est non vide. Notons que la pr´ esente construction et ses propri´ et´ es restent

valables pour n’importe quel arbre rideau.

Exemple 13. Contrairement ` a ce qui se passe dans l’exemple pr´ ec´ edent, τ ⁻¹ (0) n’est pas en g´ en´ eral dense dans ω(G). C’est le cas notamment des

´

echelles de hauteur born´ ee, dont l’arbre buisson donne une famille.

Exemple 14. On a vu que si G n = an + b ` a partir d’un certain rang, l’odom` etre n’est pas continu. Il ne l’est pas non plus dans le cas o` u (G n ) n

est donn´ ee par un polynˆ ome du second degr´ e. Soit donc G n = an ² + bn + c pour n ≥ n 0 avec (a, b, c) ∈ N ^{∗ ×} Z ^× Z . Des calculs simples montrent que si l’on d´ efinit, pour r ≥ 1, k r := 2ar et n r := 2a ² r ² + br, alors, pour r suffisamment grand, on a G k

= 2an r + c et

G n

+d − 1 = G n

+d−1 + G k

+ (2ad + b − a − c − 1).

(11)

On choisit alors d comme le plus petit entier strictement positif tel que 2ad + b ≥ a + c + 1. L’´ ecriture (11) est alors un G-d´ eveloppement (pour r grand). Alors, H(G n

+d − 1) est born´ee pour r parcourant N , donc τ n’est pas continue en vertu de la proposition 5.

L’´ etude des propri´ et´ es des ´ echelles donn´ ees par G n = P (n) avec P ∈ Z [X] reste largement ouverte.

Exemple 15. Soit (G n ) n d´ efinie par G 0 = 1, G 1 = 2 et G n+1 := 2G n −1 pour n ≥ 1. Montrons que ω(G) = K _G .

Remarquons d’abord que G n = 2 ⁿ⁻¹ + 1 pour tout n ≥ 1 et que, pour k ∈ N ^{et l ≥ 1,}

G _k+1 + G _k+2 + . . . + G _k+l = G _k+l+1 + (l − 2 ^k − 1).

(12)

Soit x = x 0 x 1 . . . ∈ K G . D’apr` es (2), x n = 0 ou 1 et d’apr` es (12), il existe une infinit´ e d’indices σ(1) < σ(2) < . . . tels que x _σ(j) = 0 pour tout j. De plus, si u j := S _σ(j)+1 (x) et y j := x 0 x 1 . . . x _σ(j) 1 ^[2

^−u

^] 0 ^ω , (12) montre que y j ∈ K G et l’on v´ erifie par le calcul que y j = G _[2

−u

+σ(j)+1] − 1. Comme u j ≤ 2 ^σ(j) , 2 ^σ(j) − u j + σ(j) + 1 tend vers l’infini quand j tend vers l’infini, donc x ∈ ω(G), soit ω(G) = K G . Par ailleurs, si m ∈ N ^{et m ≤ G s+1 − 1, (12)} assure que pour tout k > s, on a m+G k+1 +. . .+G _k+2

−m = G _k+2

−m+1 −1.

Ainsi, tout mot fini sur K G est facteur d’une infinit´ e non d´ enombrable (on a une infinit´ e de choix d’entiers) d’images r´ eciproques de 0; en particulier, τ ⁻¹ (0) est dense dans K G . En transformant l’un des chiffres 1 d’un ´ el´ ement de τ ⁻¹ (0) en 0, on construit aussi une partie non d´ enombrable dense de ω(G) \ τ ⁻¹ (0).

Enfin, si l’on prend m = G n − 1 dans ce qui pr´ ec` ede, il s’ensuit que

toutes les branches de l’arbre T G sont infinies et que tous les nœuds en sont

de degr´ e infini. Autrement dit, de chaque nœud partent une infinit´ e de bran-

ches, de l’extr´ emit´ e desquelles partent ` a nouveau toujours une infinit´ e de

branches.

Exemple 16. La construction ci-dessous donne des odom` etres conti- nus; elle est suffisamment g´ en´ erale pour englober comme cas particuliers les

´

echelles d’Ostrowski et les r´ ecurrences lin´ eaires finies issues d’un β-shift.

Soit (M 1 , . . . , M d ) une partition finie de N . Choisissons un entier n 0 tel que n 0 ≥ max{min M 1 , . . . , min M d } et d´efinissons librement 1 = G 0 < G 1 <

. . . < G n

. Pour n > n 0 , on proc` ede par induction : il existe un unique l tel que n ∈ M l .

Soit m le pr´ ed´ ecesseur de n dans M _l . On pose G _n − 1 := X

m≤j<n

ν _j ^(l) G _j + (G _m − 1), (13)

o` u les entiers ν <sub>j</sub> <sup>(l)</sup> sont choisis de mani` ere ` a ce que G n > G n−1 et G m + P

m≤j<k ν _j ^(l) G j < G k pour tout k, m < k < n. Alors, (13) est un G-d´ evelop- pement, d’o` u T (n) ≥ m − 1 (on peut mˆ eme s’imposer T (n) = m − 1). On a donc lim n T (n) = ∞, et τ est continue d’apr` es la proposition 4.

In memoriam. Ce n’est gu` ere l’usage, dans la litt´ erature math´ ematique, de faire ´ etat de l’histoire d’un article. Il nous a sembl´ e que les circon- stances permettaient de d´ eroger bri` evement ` a cet usage. Le pr´ esent travail a commenc´ e en juillet 1998 ` a l’occasion de la visite concomitante d’Anzelm et de Guy ` a Marseille. Les id´ ees qui y sont n´ ees doivent beaucoup ` a la comp´ etence math´ ematique d’Anzelm, bien sˆ ur, mais aussi ` a l’enthousiasme et ` a la disponibilit´ e dont il fit montre alors, quand mˆ eme il ´ etait gravement atteint par la maladie qui allait l’emporter deux mois plus tard. C’est lors de la visite de Pierre ` a Wroc law en novembre que Tomasz, apr` es qu’il l’eut entendu pr´ esenter les premiers r´ esultats de ce travail, rejoignit le groupe.

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20, rue Fourcroy, F-75017 Paris E-mail: barat@weyl.math.tu-graz.ac.at Universit´ e de Provence

Centre de Math´ ematiques et Informatique 39, rue Joliot-Curie

F-13453 Marseille Cedex 13 E-mail: liardet@gyptis.univ-mrs.fr

Institute of Mathematics Technical University of Wroc law Wybrze ˙ze Wyspia´ nskiego 27 50-370 Wroc law, Poland E-mail: downar@im.pwr.wroc.pl

Received 2 August 1999; (3805)

revised 3 December 1999