Elektrodynamika z elementami teorii pola
Wykład 9
Pola zmienne w czasie.
Zastanawiaj c si nad sensem funkcji podcałkowej w prawie Biota – Savarta, dostrzegli my mo liw rol zmiennego pola elektrycznego. Formalne podstawy do uogólnienia prawa
kr enia dla B, daje – z jednej strony to samo ciowe znikanie dywergencji rotacji – z drugiej, znikanie dywergencji sumy g sto ci pr du i pochodnej pola elektrycznego:
d ) div( d
d div div d
d div d
0 0 E
j t t D
t j
j + ρ = + = +ε
=
d ) ( d
rot 0 0 E
j t B = µ +ε
Powy sze argumenty to nie jest dowód! (Jak wykluczy , na przykład, obecno po prawej stronie rotacji dowolnego wektora zbudowanego z wy szych
pochodnych czasowych, albo nieliniowo z dowolnych pot g pól, w tym co najmniej jednej pochodnej po czasie?)
Zasada brzytwy Occama: dodawa tylko to, co absolutnie niezb dne.
Historycznie, a tak e w wi kszo ci podr czników, wpływ zmienno ci pola w czasie na inne pola, został najpierw zbadany dla przypadku zmiennego pola magnetycznego.
Jest to szeroko dyskutowane na wszystkich szczeblach nauczania zjawisko indukcji elektromagnetycznej zwi zane z nazwiskiem Michała Faradaya.
Pojawienie si siły elektromotorycznej indukcji (czyli całki po obwodzie z siły Lorentza) dla obwodów (w cało ci lub cz ci) poruszaj cych si w polu B jest zupełnie naturalne.
Szkolny przykład z pr tem sun cym na szynach:
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
FL /e = ( v + ) ×B d
d t l
a ⊗
v
Sił Lorentza ma dwie składowe: wzdłu pr ta i prostopadł , hamuj c ruch.
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
B S avB =
= E
a ⊗
v
Φ
−
= E
Kontur zorientowany zgodnie z pr dem na rysunku ma strumie dodatni. Strumie ten maleje, wi c:
t B d l ×
Praca przeciw sile na drodze wynosid v d t
(
v B)
lt v t B
l d d
d
d × ⋅ = × ⋅
−
I wygl da jak praca siły Lorentza, zwi zana z pr dko ci pr ta v, na przesuni ciu wzdłu przewodnika.
To wygodna równowa no . Pozory s jakby sprzeczne z faktem, e siła Lorentza nie wykonuje pracy. Ale to nie siła Lorentza naprawd pracuje, a czynnik zewn trzny zmuszaj cy pr t do ruchu.
Przykład powy szy wystarcza do ustalenia współczynnika, do zilustrowania poj cia siły elektromotorycznej, oporu wewn trznego, roli pola elektrycznego i ró nicy potencjałów.
Dla uzyskania uogólnienia jest to przykład zbyt prosty.
) d ( d
) (
d /
E = FL e l = v× B ⋅ l =− B⋅ v× l
S n l
t
vd ×d = − d
Strumie w chwili pó niejszej jest mniejszy: dΦ = − BndS = dt B⋅(v ×dl ) = −Edt
v
t
d E = − d Φ
dl vdt n
Ciekawa mo liwo zastosowania zasady wzgl dno ci.
dl vdt
n
W układzie obwodu, to ródło pola si oddala, a pole magnetyczne słabnie. Jego strumie maleje w tym samym tempie, ale czy pojawia si SEM???
Faraday, ju na samym pocz tku odkrył, e TAK.
SEM to ju nie praca przeciw składowej siły Lorentza - to musi by praca pola elektrycznego.
S E n
l
B
E d rot d
E = =
Zasada wzgl dno ci wymaga by te dwie SEM były równe!
Tak wcze niej ustalił Faraday. Przez 80 lat wygl dało to na przypadek. Einstein od tej równo ci zacz ł swoje argumenty za stosowalno ci zasady wzgl dno ci ruchu do zjawisk elektromagnetycznych.
−
=
=
= n B S
S t E
n
vB
d
d E d
d
rot
E
−
=
−
= n B S n B S
S t E
n d d
d d d
rot
B E = − rot
) (
rot B = µ
0j + ε
0E div B = 0 ε ρ
= 1 div
0
E
To jest komplet równa elektrodynamiki w pró ni.
D j
H = +
rot divB = 0
B E = −
rot
div D = ρA to równania elektrodynamiki w materii:
„Równania pró niowe” s prawdziwe te w materii, ale wtedy g sto ci i pr dy musz by kompletne, z uwzgl dnieniem szybko zmiennych pr dów i ładunków atomowych.
„Równania w materii” zawieraj pola u rednione, a g sto ci pr du i ładunku dotycz tylko ładunków makroskopowych. Ich niesprzeczno wewn trzna jest widoczna, ale uzyskanie tych równa dla pól zmiennych wymaga wi cej pracy ni to nas kosztowało dla pól
statycznych. Wyniki s te mniej uniwersalne. Przy du ych cz sto ciach łatwo dochodzi do naruszenia mo liwo ci sensownego u rednienia. Nie b dziemy bada tego problemu.
Równania w całkowicie pustej przestrzeni (tj. bez )ρ ibez j
E B
0 0rot = µ ε div B = 0
B E = −
rot div E = 0
s jednorodne, a mimo to (w przeciwie stwie do równa statycznych) mog mie rozwi zania.
∂
− ∂
∂ ε ∂ µ
∂ = ε ∂ µ
= ε
µ
= E E B
B rot t t
rot t rot
rot
0 0 0 0 0 0B B
0 0 22) t
div (grad
∂ ε ∂ µ
−
=
∆
− t
20
2 0
0
− ∆ =
∂ ε ∂
µ B
To słynne równanie falowe. Identyczne obowi zuje dla składowych E.
Fala płaska w kierunku x:
0 )
,
2
(
2 2
2 0
0
=
∂
− ∂
∂ ε ∂
µ f t x
x
t
0 ) , 1 (
2 2 2
2
2 =
∂
− ∂
∂
∂ f t x
x t
c
0 ) , 1 (
4 ) 1 , 2 (
1 2
1 2
1 2
1
) , ( ))
, ( ), , ( (
)/2 (
)/2 (
2 2 2
2 2 2
∂ =
− ∂
∂
= ∂
∂
− ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ =
∂ η
∂ + ∂
∂
∂ η
∂
∂
∂
∂ ξ
∂ + ∂
∂
∂ ξ
∂
= ∂ η ξ η
η ξ
∂ ξ
∂
∂
η + ξ
=
−
= η
η
− ξ
= +
= ξ
x t x f
t x c
t x f
t c x
t c
x t x f
x t
t x
x t
x t t
f
c t
x ct
x x
ct
) ( )
( )
( ))
, ( ), , ( (
0 2 = ′ η = η + ξ
η
∂
∂ η
∂
∂ ξ
∂
= ∂ η ξ η
η ξ
∂ ξ
∂
= ∂ f t x f f F f F G
) (
)
(ct x G ct x
F
f = − + +
Ogólne rozwi zanie dwuwymiarowego równania d’Alemberta.Pole uwolnione od ródeł.
Nowa realno . Nie tylko sposób zapisu siły. Realno ta opisana jest
równaniami dynamicznymi. Ma (zapewne) energi i p d. Musimy to zbada .
