Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 6: Wartość oczekiwana, wariancja, kwan- tyle rzędu q. Standaryzacja rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana (in. wartość średnia)
EX =
∞
Z
−∞
xdF (x) =
P
n∈T
xnpn, gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(xn, pn), n ∈T};
∞
R
−∞
xf (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
Wartość oczekiwana istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
Przykłady:
Rozkład Bernoulliego: Dla X o rozkładzie B(n, p) mamy EX =
n
X
k=0
k n k
!
pk(1 − p)n−k = np
n
X
k=1
n − 1 k − 1
!
pk−1(1 − p)n−1−(k−1) =
= np
n−1
X
l=0
n − 1 l
!
pl(1 − p)n−1−l = np(p + 1 − p)n−1 = np.
Rozkład wykładniczy: Dla X o rozkładzie E xp(λ) mamy EX =
∞
Z
0
xλe−λxdx = 1 λ
∞
Z
0
t2−1e−tdt = 1
λ · Γ(2) = 1 λ.
Kwantyle rzędu q, 0 < q < 1.
Mediana (in. wartość środkowa), kwartyle.
Kwantyl rzędu q to taki punkt xq, dla którego F (xq) ¬ q ¬ lim
x→xq
F (x).
Jeśli dystrybuanta jest funkcją ciągłą, to warunek ten upraszcza się do F (xq) = q.
Mediana to x0,5, kwantyl rzędu q = 0, 5.
Kwartyle to x0,25 i x0,75, kwantyle rzędu q = 0, 25 i q = 0, 75.
Zarówno mediana jak wartość oczekiwana są miarami położenia rozkładu zmiennej losowej X.
1
Wariancja (in. dyspersja)
D2X = EX2− (EX)2 = E(X − EX)2 Inne oznaczenie: VarX.
Można pokazać, że
D2X =
∞
Z
−∞
x2dF (x) − (EX)2 =
=
X
n∈T
x2npn− (EX)2, gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(xn, pn), n ∈T};
∞
Z
−∞
x2f (x)dx − (EX)2, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
Inaczej,
D2X =
∞
Z
−∞
(x − EX)2dF (x) =
=
X
n∈T
(xn− EX)2pn, gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(xn, pn), n ∈T};
∞
Z
−∞
(x − EX)2f (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
Wariancja istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
DX =√
D2X to odchylenie standardowe.
Wariancja i odchylenie standardowe są miarami rozproszenia rozkładu X.
Fakt:
(a) Zawsze D2X 0.
(b) D2X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P (X = EX) = 1 tzn. gdy X przyjmuje tylko jedną wartość (identyczną wtedy z wartością oczekiwaną). Taka zmienna losowa (taki rozkład) nazywana jest zdegenerowaną.
Moment rzędu r > 0, moment centralny rzędu r > 0
EXr, E|X − EX|r, określone wtedy, gdy zbieżne są odpowiednie całki, szeregi.
(Wariancja X to moment centralny rzędu 2.) Przykłady do zad. 4.1 - 4.2
2
Wartość oczekiwana transformacji zmiennej losowej X:
EY = Eg(X) =
∞
Z
−∞
g(x)dF (x) =
X
n∈T
g(xn)pn, gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(xn, pn), n ∈T};
∞
Z
−∞
g(x)f (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
o ile całka (szereg) zbieżna.
Wniosek:
Jeśli istnieje EX, to
E(aX + b) = aEX + b oraz jeśli istnieje D2X, to
D2(aX + b) = a2D2X.
Dowód: D2(aX + b) = E(aX + b − (aEX + b))2 = a2E(X − EX)2 = a2D2X.
Przykłady do zad. 4.3
Rozkład normalny z parametrami m ∈
Ri σ > 0
w skrócie N (m, σ).
Jest to rozkład o gęstości f (x) = 1
√2πσe−(x−m)22σ2 .
Jeżeli X ma rozkład N (m, σ), to EX = m oraz D2X = σ2.
• Jeśli X ma rozkład N (m, σ), to X − m
σ ma rozkład N (0, 1), zwany standardowym rozkładem normalnym.
• Dystrybuantę rozkładu N (0, 1) oznaczamy zwykle Φ(x).
Wartości Φ(x) dla 0 ¬ x ¬ 4, 417 znajdują się w tablicach, dla większych x wartość Φ(x) to prawie 1.
Natomiast dla x < 0 stosujemy wzór Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Carl Gauss (1777-1855), Niemiec, zastosował ten rozkład do losowych błędów.
Wcześniej rozkład był wprowadzony przez A. de Moivre’a w 1733 r.
Nazwa „normalny” wprowadzona przez H. Poincarè.
Przykłady do zad. 4.4
3
